三角形的證明及其應用第1節(jié)三角形內角和定理第1課時三角形的外角學習目標

1.能準確識別三角形的外角,并畫出三角形的所有外角.2.理解三角形外角的兩個推論,并能結合三角形內角和定理完成證明.3.會運用三角形外角的推論，解決角的數(shù)量關系證明、平行關系判定等簡單幾何問題.教學設計的基本環(huán)節(jié)協(xié)作破冰問題構建情境啟航教師示范鞏固拓展當堂檢測反思總結作業(yè)設計情境啟航

問題：觀察上面美麗的圖案，能讓你產(chǎn)生哪些思考？問題構建

問題1:圖中的∠1和∠2滿足怎樣的關系？你的依據(jù)是什么？位置關系：相鄰數(shù)量關系：互補依據(jù)是平角的定義，∠1和∠2是一對鄰補角.追問1:觀察右邊的圖形，你能否找到和問題1中類似的角？∠1和∠4，相鄰且和為180°.追問2:我們知道∠4是△ABC的一個內角，從三角形的角度觀察，對∠1的命名你有怎樣的猜想？∠1是∠4的外側的角，且與∠4具有互補關系問題構建

追問3:再次觀察這2組角，說說它們有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？從數(shù)量關系來著：兩組圖形中的兩個角和都是180°從位置來看：左圖中∠1與∠2鄰補角的定義只針對兩條相交直線；右圖中的∠1與∠4必須在三角形條件下，兩個的位置有區(qū)別，一個在三角形內部，另一個在三角形外部.問題構建

問題2：如圖,∠1是△ABC的一個外角.你能在圖中畫出△ABC的其他外角嗎？△ABC內角的一條邊與另一條邊的反向延長線所組成的角，叫作△ABC的外角.三角形外角的定義三角形三個內角，一共有6個外角.∠4的外角是∠1與∠5；∠2的外角是∠6與∠7；∠3的外角是∠8與∠9.問題構建

問題3:觀察下圖，∠1與其他角有什么關系？請證明你的結論，并與同伴進行交流.∠1與圖中其他角的關系主要有：與∠4的關系：∠1與∠4互為鄰補角，即∠1+∠4=180°.與∠2、∠3的關系：∠1等于∠2與∠3的和，即∠1=∠2+∠3.大小關系：∠1大于任何一個與它不相鄰的內角，即∠1＞∠2,∠1＞∠3.問題構建

追問：如圖，在△ABC中，∠1是∠4的外角，求證：（1）∠1=∠2+∠3（2）∠1＞∠2，∠1＞∠3證明：（1）在△ABC中∵∠2+∠3+∠4=180°（三角形內角和等于180°）∵∠1+∠4=180°（平角的定義）∴∠1=∠2+∠3（2）由（1）得：∠1=∠2+∠3∴∠1＞∠2，∠1＞∠3協(xié)作破冰由三角形內角和定理，可以得到推論

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.由此可得推論三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,已知∠A=50°，∠B=65°,則∠ACD=_____°，不計算即可可判斷∠ACD>_____°11565像這樣,由一個基本事實或定理直接推出的定理,叫作這個基本事實或定理的推論.協(xié)作破冰例2:已知：如圖,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC求證:AD∥BC分析：只要具備什么條件，就能說明AD∥BC？

你還有其他的證明方法嗎？協(xié)作破冰已知：在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求證：AD∥BC

協(xié)作破冰例3：已知：如圖,P是△ABC內一點,連接PB，PC.求證：∠BPC＞∠A.問題4:你學過哪些關于角的不等關系的定理？這里能直接使用嗎？追問1:你遇到的困難是什么？三角形外角推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，不能直接使用.困難在于∠BPC和∠A不在同一個三角形中，缺少能關聯(lián)二者的角的橋梁.教師示范追問2:你能通過添加輔助線,構造出直接使用相關定理的圖形嗎？延長BP交AC于點D構造外角證明:如圖,延長BP交AC于點D,

∵

∠BPC是△PDC的一個外角（外角的定義）,∴

∠BPC>∠PDC

(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)∵

∠PDC是△PDC的一個外角（外角的定義）∴

∠PDC＞∠A

(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)∴

∠BPC＞∠A你還有別的證明方法嗎？教師示范方法二：輔助線:連接AP并延長,交BC于點E證明：在△ABP中,∠BPE是外角（外角的定義）∴∠BPE＞∠BAP(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)在△ACP中,∠CPE是外角（外角的定義）∴∠CPE＞∠CAP(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)∴∠BPE+∠CPE＞∠BAP+∠CAP∵∠BPE+∠CPE=∠BPC,∠BAP+∠CAP=∠BAC=∠A∴∠BPC＞∠A鞏固拓展如圖,∠1,∠2,∠3是△ABC的三個外角,那么∠1,∠2,∠3的和是多少度？∠1+∠2+∠3=360°問題5:觀察上面的結論，你有怎樣的猜想？三角形的外角和等于360°.追問1:你是怎樣計算的？方法一：同一組內角和外角的和是180°，3組共計180°×3=540°，內角和為180°，外角和等于：540°-180°=360°.鞏固拓展三角形外角的兩個推論是初中幾何證明角相等、角的和差關系的關鍵工具——這是鄰補角知識完全無法替代的.方法2：每一個外角都等于不相鄰兩內角的和，三個外角之和等于一組內角和的兩倍.如右圖：∵∠1=∠A+∠C∠2=∠A+∠B∠3=∠B+∠C∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠C+∠A+∠B+∠B+∠C=2(∠A+∠B+∠C)=2×180°=360°當堂檢測

C

當堂檢測

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反思總結1.推導三角形外角推論的過程中,我們用到了哪些已學的舊知識？這些舊知識是如何幫我們得出新結論的？2.三角形外角的兩個推論,分別能幫我們