二次函數(shù)中的線段、周長、面積問題典型例題

研析典型例題研析考點(diǎn)1二次函數(shù)與線段最值【一題多問·多題歸一】類型1

單條線段最值【模型題】(2025·揚(yáng)州中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象(記為G1)與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象(記為G2)經(jīng)過點(diǎn)A,C.直線x=t與兩個(gè)圖象G1,G2分別交于點(diǎn)M,N,與x軸交于點(diǎn)P.(1)求b,c的值.(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí),求MN的最大值.

模型建立

特征:(1)一端點(diǎn)在直線上,另一端點(diǎn)在拋物線上;(2)兩端點(diǎn)的連線平行坐標(biāo)軸.基本圖形

解題方法

(1)設(shè):設(shè)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo),并用橫坐標(biāo)表示點(diǎn)的縱坐標(biāo);(2)求:求直線的解析式,并用(1)中的橫坐標(biāo)表示直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo);(3)作差:用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的絕對值表示線段的長;(MN=|yM-yN|,PM=|yP-yM|)(4)求最值:利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

(3)根據(jù)平移得到拋物線y'的解析式,然后過點(diǎn)P作PT⊥y軸于點(diǎn)T,過點(diǎn)N作NK⊥x軸于點(diǎn)K,連接PM,即可得到∠NAB=∠OPM-45°=∠OPT=∠POB,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a,a2-a-14),根據(jù)tan∠NAB=tan∠OPT,列等式求出a的值即可.

【解析】(1)∵A(-1,0),B(3,0),在二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象上,設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=-(x-x1)(x-x2),∴y=-(x+1)(x-3),∴y=-x2+2x+3;(2)①把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,∴C(0,3),如圖,延長DC與x軸相交于點(diǎn)G,

∵DE+EH≥DH,∴當(dāng)DE+EH=DH時(shí),DE+EH最小,∵D(1,4),H(1,-1),∴DH=5.此時(shí)D,E,H三點(diǎn)共線且DH⊥x軸,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,3)與點(diǎn)C重合,滿足EF在線段BC上,∴DE+OF的最小值為5.應(yīng)用一:求三角形周長最小值1.(2024·宜賓中考)如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,-4),其頂點(diǎn)為D.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△BDM的周長最小.若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)P(3,0)為圓心,1為半徑的☉P上,連接AE,以AE為邊在AE的下方作等邊三角形AEF,連接BF.求BF的取值范圍.

應(yīng)用二:求三條線段之和最小值2.(2024·煙臺中考)如圖,拋物線y1=ax2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,OC=OA,AB=4,對稱軸為直線l1:x=-1.將拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2,拋物線y2與y軸交于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為E,對稱軸為直線l2.(1)分別求拋物線y1和y2的解析式;(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-6,0),動點(diǎn)M在直線l1上,過點(diǎn)M作MN∥x軸與直線l2交于點(diǎn)N,連接FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;(3)如圖2,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0,-2),動點(diǎn)P在拋物線y2上,試探究是否存在點(diǎn)P,使∠PEH=2∠DHE?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

應(yīng)用三:求四條線段之和最小值3.如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A,且其頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).(1)求拋物線的函數(shù)解析式;(2)點(diǎn)C(3,m)是該拋物線上的一點(diǎn),在x軸、y軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQBC周長最小,求P,Q的坐標(biāo).

模型抽象

如圖,在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小.模型解析

作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A',連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB.當(dāng)A',P,B三點(diǎn)共線時(shí),PA'+PB=A'B,此時(shí)為最小值(兩點(diǎn)之間線段最短).思路點(diǎn)撥

(1)用待定系數(shù)法得拋物線的解析式,進(jìn)而可得拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D',連接BD'交y軸于M,可知△BDM的周長最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故B,M,D'共線時(shí),DM+BM最小,最小值為BD'的長,此時(shí)△BDM的周長也最小;(3)以AP為邊,在AP下方作等邊三角形APQ,連接PE,QF,BQ,由思路點(diǎn)撥

(2)以MN,MF為鄰邊作出?FF'NM,作點(diǎn)D關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)D',則FM+MN+DN=F'N+ND'+MN=F'D'+2為最小;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l2的右側(cè)時(shí),∠PEH=2∠DHE,則EP和HE關(guān)于對稱軸l2對稱,求出直線EP的解析式,即可求解;當(dāng)點(diǎn)P在直線l2的左側(cè)時(shí),由NH=NE,求出N點(diǎn)坐標(biāo),即可求解.模型抽象

已知A,B兩點(diǎn),MN長度為定值,確定M,N位置,使得AM+MN+NB值最小.模型解析

∵M(jìn)N為定值,∴只要AM+BN值最小即可.將AM平移使M,N重合,AM=A'N,將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB.構(gòu)造點(diǎn)A'關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A″,連接A″B,可依次確定N,M位置,即可求解.思路點(diǎn)撥

(2)作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B',作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C',連接C'B'交x軸、y軸分別于點(diǎn)P,Q,四邊形PQBC周長=BQ+PQ+PC+BC=B'Q+PQ+C'P+CB=C'B'+CB.求直線B'C'的解析式,問題求解.模型抽象

在OA,OB上分別取點(diǎn)M,N使得四邊形PMNQ的周長最小.模型解析

考慮PQ是條定線段,故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可,類似,分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于OA,OB的對稱點(diǎn)P',Q',化線段PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ',當(dāng)P',M,N,Q'共線時(shí),四邊形PMNQ的周長最小.考點(diǎn)2二次函數(shù)與面積問題例

(2025·龍東中考)如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4).(1)求b與c的值.(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PBC的面積與△ABC的面積相等.若存在,請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx+c的