高級數(shù)學建模能力測試題2026版第一部分：數(shù)據(jù)分析與模型構(gòu)建（共3題，每題20分）1.某城市交通流量預測模型（20分）背景：某中等城市交通管理部門希望利用歷史交通流量數(shù)據(jù)，建立模型預測未來一周工作日的交通擁堵情況。現(xiàn)有2023年1月至2025年12月的每日交通流量數(shù)據(jù)（單位：萬輛次/日），包含日期、天氣狀況、是否節(jié)假日、早晚高峰時段等變量。問題：（1）設(shè)計一個時間序列模型，預測未來一周工作日的每日交通流量；（2）分析天氣狀況和節(jié)假日對交通流量的影響程度；（3）若下周某日天氣預報顯示暴雨且為節(jié)假日，預測該日交通流量可能的變化范圍。2.某地區(qū)農(nóng)業(yè)灌溉優(yōu)化模型（20分）背景：某干旱地區(qū)農(nóng)業(yè)合作社需根據(jù)歷史氣象數(shù)據(jù)（降雨量、氣溫、土壤濕度）和作物需水量，優(yōu)化灌溉計劃以減少水資源浪費?，F(xiàn)有2020年至2025年的月度氣象數(shù)據(jù)和作物生長周期數(shù)據(jù)。問題：（1）建立作物需水量與氣象數(shù)據(jù)的回歸模型；（2）設(shè)計一個多目標優(yōu)化模型，在保證作物產(chǎn)量的前提下，最小化灌溉成本和水資源消耗；（3）若未來三個月降雨量預測減少20%，提出調(diào)整灌溉計劃的具體方案。3.某電商平臺用戶購買行為分析模型（20分）背景：某電商平臺希望分析用戶購買行為，以優(yōu)化推薦系統(tǒng)?，F(xiàn)有2023年至2025年的用戶購買數(shù)據(jù)，包含用戶年齡、性別、購買頻率、商品類別、購買金額等變量。問題：（1）建立用戶分群模型，識別不同用戶的購買偏好；（2）設(shè)計一個用戶購買概率預測模型，考慮用戶歷史行為和商品關(guān)聯(lián)性；（3）若平臺希望提升高價值用戶的復購率，提出基于模型的營銷策略建議。第二部分：優(yōu)化模型與決策分析（共3題，每題25分）4.某工廠生產(chǎn)計劃優(yōu)化模型（25分）背景：某電子廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，需合理安排每日生產(chǎn)計劃。已知產(chǎn)品A的利潤為50元/件，產(chǎn)品B的利潤為80元/件，生產(chǎn)受設(shè)備工時、原材料供應(yīng)和市場需求限制?，F(xiàn)有每日可用工時、原材料庫存和市場需求量數(shù)據(jù)。問題：（1）建立線性規(guī)劃模型，最大化每日總利潤；（2）若原材料價格波動，分析其對生產(chǎn)計劃的影響；（3）若需考慮環(huán)保約束（如廢氣排放量），如何調(diào)整模型。5.某城市公共資源分配模型（25分）背景：某市政府需將有限的醫(yī)療資源（如醫(yī)院床位、醫(yī)護人員）分配給各區(qū)，以最大化居民健康覆蓋率?，F(xiàn)有各區(qū)人口密度、患病率、現(xiàn)有醫(yī)療資源數(shù)據(jù)。問題：（1）建立資源分配模型，確保各區(qū)醫(yī)療需求得到滿足；（2）若某區(qū)突發(fā)傳染病，如何動態(tài)調(diào)整資源分配方案；（3）評估不同分配策略對醫(yī)療公平性的影響。6.某物流配送路徑優(yōu)化模型（25分）背景：某外賣平臺需為騎手規(guī)劃最優(yōu)配送路徑，以縮短配送時間并降低成本?，F(xiàn)有城市道路網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)、騎手起終點位置、訂單時間窗等數(shù)據(jù)。問題：（1）建立配送路徑優(yōu)化模型，考慮交通擁堵和訂單時效性；（2）若騎手數(shù)量有限，如何分配訂單以最小化平均配送時間；（3）若引入動態(tài)定價機制，如何結(jié)合模型調(diào)整價格。第三部分：風險管理與預測控制（共3題，每題25分）7.某金融機構(gòu)信貸風險評估模型（25分）背景：某銀行需評估貸款申請人的違約風險?，F(xiàn)有歷史貸款數(shù)據(jù)，包含申請人年齡、收入、信用評分、貸款金額、是否違約等變量。問題：（1）建立邏輯回歸模型，預測貸款違約概率；（2）分析哪些因素對違約風險影響最大；（3）若銀行希望將整體違約率控制在5%以內(nèi)，如何設(shè)定貸款審批閾值。8.某能源公司電力負荷預測模型（25分）背景：某電力公司需預測未來幾天的電力負荷，以合理安排發(fā)電計劃?，F(xiàn)有歷史負荷數(shù)據(jù)、氣溫、季節(jié)等變量。問題：（1）建立時間序列模型，預測未來三天的電力負荷；（2）分析極端天氣（如高溫）對電力負荷的影響；（3）若引入儲能系統(tǒng)，如何優(yōu)化發(fā)電與儲能的協(xié)同運行。9.某旅游景點客流預測與管理模型（25分）背景：某景區(qū)需預測客流量，以避免過度擁擠?，F(xiàn)有歷史客流數(shù)據(jù)、節(jié)假日、天氣預報等變量。問題：（1）建立客流預測模型，考慮季節(jié)性和突發(fā)事件（如疫情）的影響；（2）設(shè)計動態(tài)票價調(diào)整方案，以平滑客流分布；（3）若景區(qū)容量上限為1萬人，如何通過模型控制入園人數(shù)。答案與解析1.某城市交通流量預測模型（20分）（1）模型設(shè)計：可采用ARIMA模型或LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合節(jié)假日和天氣變量作為外生輸入。例如，ARIMA模型需進行季節(jié)性分解，外生變量通過虛擬變量法引入。（2）影響分析：通過回歸系數(shù)檢驗天氣（如暴雨系數(shù)為-0.5）和節(jié)假日（如系數(shù)為0.3）的影響，暴雨使流量下降，節(jié)假日上升。（3）預測范圍：若暴雨且節(jié)假日，流量可能下降15%（結(jié)合歷史數(shù)據(jù)置信區(qū)間）。2.某地區(qū)農(nóng)業(yè)灌溉優(yōu)化模型（20分）（1）回歸模型：采用多元線性回歸，如需水量=β?+β?×降雨量+β?×氣溫+β?×土壤濕度。（2）優(yōu)化模型：目標函數(shù)為min（灌溉成本+水資源浪費），約束為產(chǎn)量≥目標值，求解線性規(guī)劃。（3）調(diào)整方案：減少20%降雨量時，需增加灌溉頻率或調(diào)整作物品種（如需水量低的作物）。3.某電商平臺用戶購買行為分析模型（20分）（1）分群模型：采用K-Means聚類，按購買頻率、金額分群（如高頻高價值群、低頻低價值群）。（2）購買概率模型：可用邏輯回歸，如P（購買）=1/(1+exp(-(α+β?×歷史購買次數(shù)+β?×商品關(guān)聯(lián)度))。（3）營銷策略：對高價值用戶推送個性化優(yōu)惠券，低價值用戶增加促銷力度。4.某工廠生產(chǎn)計劃優(yōu)化模型（25分）（1）線性規(guī)劃模型：目標：50xA+80xB約束：工時≤可用工時，原材料≤庫存，需求量≤產(chǎn)量。（2）原材料價格波動：將價格作為參數(shù)，通過敏感性分析評估影響。（3）環(huán)保約束：增加廢氣排放≤上限的約束，需調(diào)整生產(chǎn)比例。5.某城市公共資源分配模型（25分）（1）資源分配模型：采用比例分配法，如各區(qū)分配床位數(shù)=（人口密度×患病率）/總患病人口×總床位數(shù)。（2）動態(tài)調(diào)整：突發(fā)傳染病區(qū)增加資源，其他區(qū)適當減少。（3）公平性評估：使用基尼系數(shù)衡量，優(yōu)化后降低0.1表示更公平。6.某物流配送路徑優(yōu)化模型（25分）（1）配送路徑模型：采用VRP模型，如遺傳算法求解最短路徑。（2）訂單分配：將訂單按騎手位置和訂單時效性分配，求解多目標優(yōu)化問題。（3）動態(tài)定價：結(jié)合路徑長度和擁堵情況調(diào)整價格，如擁堵路段提高5%。7.某金融機構(gòu)信貸風險評估模型（25分）（1）邏輯回歸模型：系數(shù)顯示信用評分影響最大（β=0.8）。（2）審批閾值：設(shè)定P（違約）>0.05時拒絕貸款。（3）策略建議：提高信用評分要求或增加抵押物。8.某能源公司電力負荷預測模型（25分）（1）時間序列模型：ARIMA(1,1,1)結(jié)合外生變量。（2）極端天氣影響：高溫使負荷增加30%（歷史數(shù)據(jù)）。（3）發(fā)電優(yōu)化：儲能系統(tǒng)優(yōu)先滿足