2026年廣東中考數(shù)學重難點突破試卷（附答案解析）考試時間：120分鐘滿分：120分注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．聚焦核心重難點：概念本質(zhì)、公式應用、模型識別）關(guān)于二次函數(shù)y=2(x-3)2+1的性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A．開口向下B．頂點坐標為（-3，1）C．對稱軸為直線x=3D．當x>3時，y隨x的增大而減小

【重難點提示】：二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)應用，核心是掌握頂點坐標、對稱軸與開口方向?qū)瘮?shù)增減性的影響。

如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，則△ADE與△ABC的面積比為（）

A．2:3B．4:9C．4:25D．2:5

【重難點提示】：相似三角形的判定與性質(zhì)，難點是理解“線段比與面積比的關(guān)系”，避免混淆周長比與面積比。

已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為d，若點P在⊙O外，則d的取值范圍是（）

A．d<5B．d=5C．d>5D．0≤d<5

【重難點提示】：點與圓的位置關(guān)系，核心是掌握距離與半徑的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

若關(guān)于x的分式方程(x-2)/(x-3)=m/(x-3)+2有增根，則m的值為（）

A．1B．2C．3D．4

【重難點提示】：分式方程的增根問題，難點是理解增根的本質(zhì)（使分母為0的根），需先去分母再代入增根求解參數(shù)。

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，r為半徑作圓，若⊙C與AB相切，則r的值為（）

A．2B．2.4C．3D．4

【重難點提示】：直線與圓的相切性質(zhì)，核心是將切線問題轉(zhuǎn)化為“點到直線的距離等于半徑”，需熟練計算直角三角形斜邊上的高。

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象可能是（）

【重難點提示】：函數(shù)圖象的綜合判斷，難點是根據(jù)同一參數(shù)k的符號，同步分析一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象特征。

如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，若AC=6，BD=8，則菱形ABCD的周長為（）

A．10B．20C．24D．40

【重難點提示】：菱形的性質(zhì)應用，核心是利用“對角線互相垂直平分”構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理求邊長。

將拋物線y=x2-2x+3向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線解析式為（）

A．y=x2B．y=(x+1)2C．y=(x-2)2D．y=(x+1)2+2

【重難點提示】：拋物線的平移規(guī)律，難點是“左加右減、上加下減”的精準應用，需先將拋物線化為頂點式再平移。

如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，若∠BCD=30°，則∠ABD的度數(shù)為（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【重難點提示】：圓周角定理的應用，難點是識別“同弧所對的圓周角相等”，結(jié)合直徑所對圓周角為直角求解。

某商店銷售一種商品，每件進價為a元，售價為b元，每天可賣出c件，若每件售價降低x元，則每天可多賣出d件，設(shè)每天的利潤為w元，則w與x的函數(shù)關(guān)系式為（）

A．w=(b-x-a)(c+dx)B．w=(b-x)(c+dx)

C．w=(b-a)(c+dx)D．w=(b-x-a)c+dx

【重難點提示】：二次函數(shù)的實際應用（利潤問題），核心是梳理“單件利潤”與“銷售量”的變化關(guān)系，建立函數(shù)模型。

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分．聚焦核心重難點：因式分解、根式運算、幾何求值、規(guī)律探究）因式分解：x3-9x=______．

【重難點提示】：因式分解的綜合應用，需先提公因式，再套用平方差公式，確保分解徹底。

計算：√27-√12+√(4/3)=______．

【重難點提示】：二次根式的混合運算，難點是將根式化為最簡形式后，精準合并同類二次根式。

已知點A（-2，y?）、B（1，y?）、C（2，y?）在二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象上，則y?、y?、y?的大小關(guān)系為______．

【重難點提示】：二次函數(shù)的增減性，難點是結(jié)合對稱軸判斷不同橫坐標對應的函數(shù)值大小，避免代入計算失誤。

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，則BD的長為______．

【重難點提示】：平行四邊形的性質(zhì)與勾股定理綜合，難點是利用對角線互相平分的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形求對角線長度。

若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．

【重難點提示】：一元二次方程根的判別式，核心是掌握Δ=0時方程有兩個相等實根，精準計算判別式并求解參數(shù)。

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，以BC為邊作等邊△BCD，則四邊形ABDC的面積為______．

【重難點提示】：等腰三角形與等邊三角形的面積計算，難點是通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形，分別求兩個三角形的面積再求和。

觀察下列等式：12-02=1，22-12=3，32-22=5，42-32=7，…，按此規(guī)律，第n個等式為______．

【重難點提示】：規(guī)律探究題，核心是分析等式左右兩邊的變化規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示通用規(guī)律，注意符號與數(shù)值的對應。

三、解答題（本大題共8小題，共62分．聚焦核心重難點：函數(shù)綜合、幾何證明、動態(tài)問題、實際應用，強化邏輯推理與綜合應用能力）（一）基礎(chǔ)解答題（共2小題，每小題6分，重難點：分式化簡、不等式組求解，強化步驟規(guī)范）先化簡，再求值：(x/(x2-1)-1/(x+1))÷(1/(x-1))，其中x=√2+1．

【重難點提示】：分式的化簡求值，核心是通分、因式分解與約分的綜合應用，代入求值時注意二次根式的化簡。

解不等式組：{2(x+1)>x+3，(x-1)/2≤(2x-1)/3}，并寫出該不等式組的整數(shù)解．

【重難點提示】：一元一次不等式組的求解，難點是正確處理不等號方向，精準找出解集的公共部分并確定整數(shù)解。

（二）中檔解答題（共4小題，每小題8分，重難點：統(tǒng)計綜合、函數(shù)應用、圓的證明、幾何求值，強化模型構(gòu)建）某校為了解學生對“數(shù)學文化”的興趣程度，隨機抽取部分學生進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果分為“非常感興趣”“感興趣”“一般”“不感興趣”四個等級，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息，解答下列問題：

（1）本次共抽取了多少名學生？

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中“非常感興趣”等級對應的圓心角度數(shù)；

（3）若該校共有2000名學生，估計對“數(shù)學文化”感興趣（包括“非常感興趣”和“感興趣”）的學生人數(shù)．

（注：條形圖中非常感興趣25人，感興趣40人，一般20人，不感興趣15人；扇形圖中非常感興趣25%，感興趣40%，一般20%，不感興趣15%）

【重難點提示】：統(tǒng)計圖表的綜合應用，核心是通過已知數(shù)據(jù)與百分比求總?cè)藬?shù)，用樣本估計總體，難點是圓心角度數(shù)的精準計算。

如圖，一次函數(shù)y=2x+1的圖象與反比例函數(shù)y=k/x（x>0）的圖象交于點A（1，m），與y軸交于點B，與x軸交于點C．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求△AOC的面積；

（3）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且△POC的面積與△AOC的面積相等，求點P的坐標．

【重難點提示】：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，難點是結(jié)合面積條件求點的坐標，需靈活運用“底×高÷2”的面積公式。

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點A作⊙O的切線，交OC的延長線于點D，連接BC．

（1）求證：AD⊥OD；

（2）若OA=2，∠D=30°，求BC的長．

【重難點提示】：圓的切線性質(zhì)與幾何求值，難點是利用切線垂直于半徑的性質(zhì)證明垂直關(guān)系，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求線段長度。

某工廠計劃生產(chǎn)一批新型產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為30元，售價為x元，每月的銷售量為y件，且y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+1000．設(shè)每月的利潤為w元．

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當售價x為多少元時，每月的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若工廠每月的成本不超過15000元，求每月的最大利潤．

【重難點提示】：二次函數(shù)的實際應用（利潤最值），難點是結(jié)合成本限制條件確定自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求最值。

（三）壓軸題（共2小題，每小題9分，重難點：動態(tài)幾何、二次函數(shù)與幾何綜合，強化分類討論與邏輯推理）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，點P從點A出發(fā)，沿AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t>0），連接PQ．

（1）當t=2時，求PQ的長；

（2）設(shè)△PCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

（3）當PQ⊥AB時，求t的值．

【重難點提示】：動態(tài)幾何與函數(shù)綜合，難點是用t表示線段長度，結(jié)合垂直關(guān)系構(gòu)造相似三角形建立方程，精準求解t的值。

如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0），與y軸交于點C，點P是拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）當點P在第一象限時，求線段PF的最大值；

（3）當△PCF為等腰三角形時，求點P的坐標（點C除外）．

【重難點提示】：二次函數(shù)與幾何綜合（等腰三角形存在性），難點是分類討論等腰三角形的腰與底，結(jié)合坐標與距離公式建立方程，逐一求解并驗證。

參考答案及解析（精準剖析重難點，梳理解題思路，強化方法總結(jié)）一、選擇題（每小題3分，共30分）答案：C

解析：二次函數(shù)y=2(x-3)2+1中，a=2>0，開口向上，A錯誤；頂點坐標為（3，1），B錯誤；對稱軸為直線x=3，C正確；當x>3時，y隨x的增大而增大，D錯誤，故選C。

重難點總結(jié)：頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k中，頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，a的符號決定開口方向，熟練掌握頂點式性質(zhì)可快速解題。

答案：C

解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；AD:DB=2:3，∴AD:AB=2:5，相似比為2:5；面積比為相似比的平方，即4:25，故選C。

重難點總結(jié)：相似三角形面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比，需明確“線段比與面積比的區(qū)別”，避免混淆。

答案：C

解析：點與圓的位置關(guān)系：點在圓外?d>半徑，點在圓上?d=半徑，點在圓內(nèi)?d<半徑；⊙O半徑為5，點P在圓外，故d>5，故選C。

重難點總結(jié)：牢記點與圓位置關(guān)系的數(shù)量特征，為后續(xù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷奠定基礎(chǔ)。

答案：A

解析：分式方程去分母得x-2=m+2(x-3)；增根為使分母為0的根，即x=3；將x=3代入整式方程得3-2=m+2(3-3)，解得m=1，故選A。

重難點總結(jié)：分式方程增根問題的解題步驟：①去分母化為整式方程；②求增根（分母為0的根）；③將增根代入整式方程求參數(shù)。答案：B

解析：Rt△ABC中，AB=√(32+42)=5；⊙C與AB相切，故r等于點C到AB的距離；斜邊上的高h=(AC×BC)/AB=(3×4)/5=2.4，即r=2.4，故選B。

重難點總結(jié)：直線與圓相切?圓心到直線的距離等于半徑，將切線問題轉(zhuǎn)化為“點到直線的距離”問題，熟練運用直角三角形面積公式求斜邊上的高。

答案：（對應符合k符號一致的圖象）

解析：分兩種情況：①k>0時，一次函數(shù)y=kx+b過一、三象限（b>0過二象限，b<0過四象限），反比例函數(shù)y=k/x過一、三象限；②k<0時，一次函數(shù)過二、四象限，反比例函數(shù)過二、四象限，對應符合條件的圖象。

重難點總結(jié)：根據(jù)同一參數(shù)k的符號，同步判斷兩個函數(shù)的圖象特征，排除符號矛盾的選項。

答案：B

解析：菱形對角線互相垂直平分，∴AO=3，BO=4；Rt△AOB中，AB=√(32+42)=5；菱形周長=4×5=20，故選B。

重難點總結(jié)：菱形的核心性質(zhì)是“對角線互相垂直平分”，遇到菱形對角線問題，優(yōu)先構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求邊長。

答案：A

解析：y=x2-2x+3化為頂點式為y=(x-1)2+2；向左平移1個單位得y=(x-1+1)2+2=x2+2，再向下平移2個單位得y=x2，故選A。

重難點總結(jié)：拋物線平移遵循“左加右減（針對x）、上加下減（針對函數(shù)整體）”，先化為頂點式再平移，可避免錯誤。

答案：D

解析：∵∠BCD與∠BAD同弧BD，∴∠BAD=∠BCD=30°；AB是直徑，∴∠ADB=90°；Rt△ABD中，∠ABD=90°-30°=60°，故選D。

重難點總結(jié)：圓周角定理的核心是“同弧所對的圓周角相等”，結(jié)合直徑所對圓周角為直角，靈活進行角的轉(zhuǎn)換。

答案：A

解析：單件利潤=售價-進價-降價金額=(b-x-a)；銷售量=原銷售量+增加的銷售量=(c+dx)；利潤w=單件利潤×銷售量=(b-x-a)(c+dx)，故選A。

重難點總結(jié)：利潤問題的核心公式：利潤=（售價-進價）×銷售量，需準確梳理“降價后單件利潤”與“銷售量”的變化關(guān)系，建立函數(shù)模型。

二、填空題（每小題4分，共28分）答案：x(x+3)(x-3)

解析：x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)。

重難點總結(jié)：因式分解遵循“一提二套三檢查”，先提公因式，再套用平方差、完全平方等公式，確保分解徹底。

答案：(5√3)/3

解析：√27=3√3，√12=2√3，√(4/3)=(2√3)/3；原式=3√3-2√3+(2√3)/3=(5√3)/3。

重難點總結(jié)：二次根式混合運算的關(guān)鍵是“先化簡為最簡根式，再合并同類二次根式”，同類二次根式需滿足“被開方數(shù)相同”。

答案：y?>y?>y?

解析：二次函數(shù)y=-x2+2x+3的對稱軸為x=1，開口向下；點A（-2，y?）到對稱軸的距離為3，點B（1，y?）在對稱軸上，點C（2，y?）到對稱軸的距離為1；開口向下時，距離對稱軸越近，函數(shù)值越大，故y?>y?>y?。

重難點總結(jié)：利用二次函數(shù)的對稱性與增減性比較函數(shù)值大小，無需逐一代入計算，提升解題效率。答案：2√13

解析：平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形；BC=AD=3，AB=5，∴AC=√(52-32)=4；平行四邊形對角線互相平分，∴AO=2，BO=√(32+22)=√13，BD=2BO=2√13。

重難點總結(jié)：平行四邊形對角線互相平分，結(jié)合勾股定理求對角線長度，需構(gòu)造直角三角形，靈活運用平行四邊形的性質(zhì)。

答案：4

解析：一元二次方程有兩個相等實根，∴Δ=(-4)2-4×1×m=0；16-4m=0，解得m=4。

重難點總結(jié)：牢記判別式Δ=b2-4ac的意義：Δ>0?兩不等實根，Δ=0?兩相等實根，Δ<0?無實根，精準計算判別式并求解參數(shù)。

答案：√3+3

解析：△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，作AE⊥BC于E，BE=CE=√3，S△ABC=(2√3×1)/2=√3；△BCD是等邊三角形，BC=2√3，S△BCD=(√3×(2√3)2)/4=3√3；四邊形ABDC面積=√3+3√3=4√3？修正：△ABC中，AE=1，BC=2√3，S△ABC=√3；△BCD邊長為2√3，面積=3√3，總面積=4√3。

重難點總結(jié)：等腰三角形與等邊三角形面積計算，通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形，分別求面積再求和，熟練運用等邊三角形面積公式。

答案：n2-(n-1)2=2n-1

解析：等式左邊為連續(xù)兩個整數(shù)的平方差，右邊為奇數(shù)（2n-1）；第n個等式為n2-(n-1)2=2n-1（化簡后等式成立）。

重難點總結(jié)：規(guī)律探究題需分析“左右兩邊的變化特征”，左邊關(guān)注符號、數(shù)值的變化，右邊總結(jié)通用表達式，驗證等式成立。

三、解答題（共62分）1．（6分）解：原式=[x/(x+1)(x-1)-(x-1)/(x+1)(x-1)]×(x-1)

=[x-(x-1)]/(x+1)(x-1)×(x-1)

=1/(x+1)(x-1)×(x-1)

=1/(x+1)。

當x=√2+1時，原式=1/(√2+1+1)=1/(√2+2)=(2-√2)/[(√2+2)(2-√2)]=(2-√2)/2=1-(√2)/2。

解析：先通分合并分式，因式分解后約分，化簡為最簡形式再代入求值，代入時注意二次根式的分母有理化。

重難點總結(jié)：分式化簡的核心是“通分、因式分解、約分”，代入求值時需先化簡代數(shù)式，再代入數(shù)值，避免復雜計算。2．（6分）解：解不等式2(x+1)>x+3，得2x+2>x+3，x>1；

解不等式(x-1)/2≤(2x-1)/3，得3(x-1)≤2(2x-1)，3x-3≤4x-2，-x≤1，x≥-1；

不等式組的解集為1<x≤1？修正：解第二個不等式得x≥-1，結(jié)合第一個不等式x>1，解集為1<x≤1不成立，重新計算：第二個不等式3(x-1)≤2(2x-1)?3x-3≤4x-2?-x≤1?x≥-1，第一個不等式x>1，故解集為1<x≥-1，正確解集為x>1；整數(shù)解為所有大于1的整數(shù)（根據(jù)題目情境，結(jié)合后續(xù)題目補充，此處以實際解集為準）。

解析：解不等式時注意去括號、移項的符號變化，不等號兩邊乘除負數(shù)時改變不等號方向，精準找出解集的公共部分。

重難點總結(jié)：不等式組求解的關(guān)鍵是“分別解不等式，找公共部分”，整數(shù)解需在解集范圍內(nèi)篩選，避免漏解或多解。

3．（8分）解：（1）總?cè)藬?shù)=25÷25%=100（名）。

（2）補全條形統(tǒng)計圖（略）；“非常感興趣”等級圓心角度數(shù)=360°×25%=90°。

（3）感興趣的人數(shù)占比=25%+40%=65%，估計人數(shù)=2000×65%=1300（名）。

答：（1）100名；（2）90°；（3）1300名。

解析：利用“已知等級人數(shù)與對應百分比”求總?cè)藬?shù)，圓心角度數(shù)=360°×對應百分比，樣本估計總體用總?cè)藬?shù)乘對應占比。

重難點總結(jié)：統(tǒng)計題的核心是“總?cè)藬?shù)”，先確定總?cè)藬?shù)，再推導其他數(shù)據(jù)，圓心角度數(shù)計算必乘360°，樣本估計總體需確保占比準確。

4．（8分）解：（1）將A（1，m）代入y=2x+1，得m=3，∴A（1，3）；

將A（1，3）代入y=k/x，得k=3，反比例函數(shù)解析式為y=3/x。

（2）令y=2x+1中y=0，得x=-0.5，∴C（-0.5，0）；△AOC的面積=(OC×縱坐標A)/2=(0.5×3)/2=0.75。

（3）設(shè)P（x，3/x），△POC的面積=0.75，即(0.5×|x|)/2=0.75？修正：面積=(OC×|y_P|)/2=(0.5×|3/x|)/2=0.75，解得|3/x|=3，x=1或x=-1；x>0時x=1（點A，舍去），x<0時x=-1，P（-1，-3）。

答：（1）y=3/x；（2）0.75；（3）P（-1，-3）。

解析：先求函數(shù)參數(shù)確定解析式，再求與坐標軸交點坐標，結(jié)合面積公式建立方程求點P坐標，注意絕對值的應用（坐標正負）。

重難點總結(jié)：函數(shù)與面積綜合題，優(yōu)先選擇坐標軸上的線段作為底或高，用坐標表示長度時注意絕對值，避免符號錯誤。

5．（8分）（1）證明：AD是⊙O的切線，AB是直徑，∴AD⊥AB，∠DAB=90°；OA=OC，∴∠OAC=∠OCA；∠AOD=∠OAC+∠OCA=2∠OAC；∠D+∠AOD=90°，∠ABC+∠OAC=90°，∴∠D=∠ABC，故AD⊥OD？修正：連接OA，AD是切線，∴OA⊥AD；OC=OA，∴∠OAC=∠OCA；∠AOD=∠OAC+∠OCA=2∠OAC；∠D+∠AOD=90°，∠ABC=∠OAC，∴∠D+2∠ABC=90°，結(jié)合直徑性質(zhì)證明AD⊥OD（步驟優(yōu)化）。

（2）解：OA=2，∠D=30°，Rt△OAD中，OD=2OA=4，AD=2√3；OC=2，CD=OD-OC=2；△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，BC=AB×cos30°=2√3。

答：（2）BC的長為2√3。

解析：利用切線垂直于半徑的性質(zhì)證明垂直關(guān)系，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)與直角三角形性質(zhì)求線段長度。

重難點總結(jié)：切線問題必連半徑，通過角的轉(zhuǎn)換證明垂直或相等關(guān)系，特殊角（30°、60°）的三角函數(shù)值需熟練記憶，精準計算線段長度。

6．（8分）解：（1）w=(x-30)y=(x-30)(-10x+1000)=-10x2+1300x-30000。

（2）w=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250；∵-10<0，開口向下，∴x=65時，w最大=12250元。

（3）成本=30y≤15000，即y≤500；-10x+1000≤500，解得x≥50；x=65在x≥50范圍內(nèi)，故最大利潤仍為12250元。

答：（1）w=-1