1.4角平分線(第2課時)第一章

等腰三角形學(xué)習(xí)目標會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”會運用三角形內(nèi)角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題12知識回顧回顧一下角平分線的的性質(zhì)定理和判定定理性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.經(jīng)常用來證明兩條線段相等判定：在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.經(jīng)常用來證明兩角相等知識回顧三角形的邊的垂直平分線有什么性質(zhì)？三角形三條邊的垂直平分線有什么性質(zhì)？三角形的邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個頂點的距離相等.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.三角形的三條角平分線又有什么性質(zhì)呢？典型例題例2求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.AD點撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點，只要證明其中兩條角平分線的交點一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI＝PHPG＝PIPH＝PG點

P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG典型例題例2已知：如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點

P，過點

P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為

D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點

P，且

PD＝PE＝PF.PDFEMNBAC證明：∵BM是

△ABC的角平分線，點

P在

BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分別為D，E，

∴PD＝PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點

P在∠A的平分線上(在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上).即∠A的平分線經(jīng)過點

P.知識探究三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等三角形三個內(nèi)角的平分線的性質(zhì)符號語言：①在△ABC中，∵BD，CE，AG分別是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分線，∴BD，CE，AG相交于點

P.這個點叫做三角形的內(nèi)心A

B

C

P

F

H

DEIG②若過點

P作

PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，垂足分別為點M，N，F(xiàn)，則

PM＝PN＝PF.三角形的三條角平分線的交點只能在三角形的內(nèi)部知識探究三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的區(qū)別三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形_______一點

交于三角形_______一點

鈍角三角形交于三角形_______一點

直角三角形交于斜邊的_________

交點性質(zhì)到三角形_____________的距離相等

到三角形_________的距離相等

內(nèi)

外

中點

內(nèi)

三個頂點

三邊

典型例題例3如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為點

E.(1)已知CD＝

，求

AC

的長；(2)求證：AB＝AC＋CD.EDABCAD分析：(1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理求出

BD的長，從而求出

BC的長，即

AC的長.(2)利用角平分線的性質(zhì)定理及三角形全等可以證明AC＝AE，再通過證明

△BDE為等腰直角三角形可以得到

DE＝BE，從而證出

AB＝AC＋CD.典型例題例3EDABC(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∴DE＝CD＝(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC

(等邊對等角).∵∠C＝90°，∴∠B＝(180°－90°)＝45°.∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角對等邊).在等腰直角三角形BDE中，BD＝(勾股定理)∴AC＝BC＝CD＋BD＝.典型例題例3EDABC

(2)證明：在

Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD＝DE，AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).

∴

AC＝AE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)

∵

BE＝DE＝CD，

∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.知識探究延伸拓展PAOBDC12ABCDEFABCDEFABCDEPOAQBMN角平分線有關(guān)問題的常見輔助線做法：當

堂

檢

測當堂檢測C當堂檢測B當堂檢測C當堂檢測C當堂檢測3角平分線性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用：角平分線三角形的內(nèi)心

三角形三條角平分線交于一點，這一點稱為三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等.1.角平分線和平行