第十八章平行四邊形專項突破練5

三角形中位線的構(gòu)造方法榮德基2UDDE類型1

連接兩中點或第三邊1.如圖，在△ABC中，點D,E分別是AB,AC

的中點，

過點E作EF⊥BC

于點F,

連接DF,

若BC=8,EF=3,D

則DF的長為(

B

)A.4

B.5

C.6D.8(第1題)2.[2024北京西城區(qū)期中]如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,點N

是BC

邊上一點，點M

為AB

邊上的動點，點D,E分別為CN,MN

的中點，則DE的最小值是(

B

)(第2題)C.3D

B

A.23.如圖，已知在△ABC中，D是BC上的一點，E,F,G,H

分別是BD,BC,AC,AD

的中點.求證：EG,HF互相平分.證明：連接EH,GH,GF.∵E,F,G,H

分別是BD,BC,AC,AD

的中點，∴EH//AB,GF//AB,GH//CD,∴EH//GF,GH//EF,∴四邊形EHGF為平行四邊形.∵EG,HF為平行四邊形EHGF的對角線，∴EG,HF

互相平分.4.如圖，點B為AC上一點，分別以AB,BC

為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE,

點P,M,N分別為AC,AD,CE

的中點.(1)求證：

PM=PN;證明：如圖，連接CD,AE.

由三角形中位線定理可得

,

∵△ABD和△BCE

是等邊三角形，∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°

,∴∠ABE=∠DBC,

∴△ABE≌△DBC,∴AE=DC.∴PM=PN.(2)求∠MPN

的度數(shù).解：如圖，設(shè)PM交AE

于點F,PN

交CD

于點G,AE

交CD

于H.由(

1

)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.∴

易得∠AHD=∠ABD=60°,∴∠FHG=120°

.易證四邊形PFHG為平行四邊形，∴∠MPN=∠FHG=120°

.5.如圖，在四邊形ABCD

中

，BD

為對角線，AB=2,CD=2.8,E,F

分別是邊AD,BC

的中點，則EF的取值范圍是(

A)A.0.4<EF≤2.4

B.0.4≤EF<2.4B

FCC.0.8<EF≤4.8D.0.8≤EF<4.8(第5題)類型2

已知單中點(取另一邊的中點并連接兩中點)6.如圖，在△ABC中，AB=AC=12,AD⊥

BC于點D,P是AD的中點，延長BP交AC于點N,

則AN=

4

●(第6題)7.如圖，在-ABCD

中，E是CD

的中點，F(xiàn)

是AE

的中點，CF

交BE

于點G,3若BE=3,

則GE=4.(第7題)8.[2024杭州一模]如圖，在△ABC中

，AC=3,BC=4,AB=5,E,F

分別為邊AC,BC

上的點，M,N

分別為EF,AB

的中點.若AE=BF=2,

則MN

的長為

√2.(第8題)9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,延長BC至點D,使BD=12,E為邊AC

上的點，且AE=4,連接ED,P,Q

分別為AB,ED

的中點，

連接PQ,

則PQ的長為

2√

10.類型3

已知角平分線+垂直(延長相關(guān)線段)10.如圖，在△ABC

中，∠BAC=80°,AD

平分∠BAC,BD⊥AD,

垂足為D,

點E為BC

的中點，連接DE,

則∠BDE的度數(shù)為(

A

)A.130°

B.125°C.120°D.100°BE

C(第10題)11.如圖，在△ABC

中

，BD,CE

是角平分線，AM⊥BD

于點M,AN⊥CE

于點N.△ABC的周長為30,BC=12,

則MN的長是(

D

)A.15B.9

C.6D.3(第11題)12.如圖，△ABC中

，AD平分∠BAC,E是BC的中點，AD⊥BD,若AC=7,AB=3,

求DE的長.解：延長BD交AC于點F,

如圖.∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠BAD=∠FAD,∠ADB=∠ADF=90°.∵AD=AD,∴△ABD≌△AFD(ASA),∴AF=AB=3,BD=DF,∴D是BF的中點.∵E是BC

的中點，類型4倍長法構(gòu)造三角形中位線13.如圖，△

ABC

中

，CD

平分∠

ACB,

過點

A作

AD⊥CD

于點

D,

點E是AB的中點，連接DE,若AC=20,BC=14,

求DE

的長.解：如圖，延長AD,CB

交于點F,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD.∵ADI