湖南省邵東縣十中2026屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線右支上，，，則C的離心率為（）A. B.2C. D.2．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線3．已知向量，，則以下說法不正確的是（）A. B.C. D.4．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線5．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．已知，則（）A. B.C. D.7．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．在數(shù)列中，若，，則（）A.16 B.32C.64 D.12810．如果橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.11．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.12．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.14．在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______15．甲、乙兩名運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.16．已知等差數(shù)列中，，，則______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值18．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點為M（2，0），且離心率e＝，點A，B是橢圓C上異于點M的不同的兩點（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過定點19．（12分）已知動圓過點且動圓內(nèi)切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.20．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，令，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知三個條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）（1）已知圓過點且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點，求弦長的最小值及相應(yīng)的值22．（10分）設(shè)命題方程表示中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由，所以為直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】由，所以為直角三角形.,根據(jù)雙曲線的定義可得所以，即，即，所以故選：C2、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B3、C【解析】可根據(jù)已知的和的坐標，通過計算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因為向量，，所以，故，所以選項A正確；，，所以，故選項B正確；，所以，故選項C錯誤；，所以，，故，所以選項D正確.故選：C.4、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D5、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則求導函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.7、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B8、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.9、C【解析】根據(jù)題意，為等比數(shù)列，用基本量求解即可.【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.故選：C10、B【解析】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則，利用點差法可得答案.【詳解】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則因為，兩式相減可得，，即由中點公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B11、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點在曲線上的條件為點的坐標滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因為點在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.12、A【解析】根據(jù)甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：14、【解析】設(shè)，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標，即可得到的坐標，最后根據(jù)向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：15、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因為乙得分的平均值為24，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：16、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項，即得；猜想，用數(shù)學歸納法證明即得；（2）設(shè)，由題可得，進而可得，結(jié)合條件即求.【小問1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，，用數(shù)學歸納法證明：當時，，成立；假設(shè)時，等式成立，即，則時，，∴，∴當時，等式也成立，∴，∴數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列.【小問2詳解】設(shè)，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，解得，由，∴，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問的關(guān)鍵是由條件猜想，然后數(shù)學歸納法證明，第二問求出，，即得.18、（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）根據(jù)頂點坐標求得，根據(jù)離心率求得，由此求得，進而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過定點.【詳解】（I）由于是橢圓的頂點，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點的不同的兩點，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過定點.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.20、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過構(gòu)造數(shù)列以及累乘法即可求得對應(yīng)情況下的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯位相減法求其前項和即可.【小問1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數(shù)列是常數(shù)列，∴，故；選②：∵，∴時，，則，即∴，∴；當時，也滿足，∴；選③：得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1則，∴.【小問2詳解】由（1）知當時，，∴又∵時，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.21、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（2）的最小值為，相應(yīng)【解析】（1）選擇條件①或②或③，求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.（2）首先求得直線過定點，根據(jù)求得最短弦長以及此時的值.【小問1詳解】若選條件①，由題意知，圓心是方程的解，解得，所以，設(shè)半徑為，則．則圓的方程為：若選條件②，設(shè)圓心，由題意知，所以圓心，半徑為，所以圓的方程為：若選條件③，設(shè)圓心，由題意知，即有，解得，圓心為，且半徑為，