第1章緒論概要1.1增材制造的概念與分類1.2增材制造過程的復雜性1.3數(shù)值模擬的基本概念與步驟1.4數(shù)值方法與數(shù)值模擬軟件1.5本書內(nèi)容及學習方法

增材制造概念與分類增材制造（AdditiveManufacturing，簡稱AM）是一種新型制造技術，它涉及使用數(shù)字模型文件指導逐層堆疊材料來制造物理對象的過程。

增材制造與傳統(tǒng)的減材制造技術不同，后者涉及到去除材料或在材料上進行切削來實現(xiàn)設計要求。

增材制造能夠生產(chǎn)出傳統(tǒng)制造方法難以實現(xiàn)的復雜和精細的幾何結構，并且可以減少材料浪費和縮短制造時間。增材制造概念與分類增材制造有時被稱為3D打印，因為它允許用戶通過計算機軟件和數(shù)控系統(tǒng)來設計和制造三維物體,通過激光、電子束、熱熔噴嘴等方法逐層堆積而成。增材制造技術不僅融合了計算機輔助設計（CAD）、計算機輔助制造（CAM）和控制系統(tǒng)（CNC），還包括了對新材料技術的運用，如金屬粉末、絲材以及其他可變形的材料。此外，增材制造還涉及了對激光技術和智能制造的支持，被視為制造業(yè)中的一大創(chuàng)新和技術發(fā)展的前沿.分為非金屬和金屬AM兩大類

非金屬增材制造技術1.分層實體成形LOMLaminatedObjectManufacturing

(LOM)，將三維模型離散成片狀，使用薄片材料，通過激光切割與熱壓方式將片材粘連成三維實體。

非金屬增材制造技術2.光固化成形SLAStereoLitbographyApparatus/Appearence(SLA),使用計算機控制激光照射在液態(tài)光敏樹脂中，逐層固化堆砌成實體部件。

非金屬增材制造技術3.選擇性激光燒結SLS

SelectiveLaserSintering(SLS)，在均勻鋪設的粉床上利用激光有選擇性地進行掃描燒結，未掃描部分作為支撐，通過逐層燒結制造出實體部件。

非金屬增材制造技術4.熔融噴絲成形FDMFusedDepositionModeling(FDM)，使絲狀材料加熱到熔點后噴出，堆砌出所需的輪廓，形成實體部件。

金屬增材制造技術粉床熔融(PBF)包括激光選區(qū)熔化SLM和電子束選區(qū)熔化EBSM，預先在粉床上鋪設粉末，然后計算機控制激光或電子束，根據(jù)需要選擇區(qū)域熔化成形。

金屬增材制造技術2.定向能量沉積(DED)包括激光送粉、電弧送絲、電子束熔絲等。將原料以粉末或金屬絲的形式輸送到基板上，同時聚焦高能束熱源形成熔池，按照設計的路徑逐層連續(xù)沉積材料，形成三維實體部件。

金屬增材制造技術3.固相增材(SAM)以攪拌摩擦增材最具代表性，先將材料堆疊，通過攪拌頭的插入、旋轉、平移等運動，將堆疊材料連接在一起，形成實體部件。

其他分類方式按照材料形態(tài)劃分粉末/顆粒增材絲材增材帶材/片材增材液體材料增材按照工藝組合劃分單步增材多步增材復合增材……第1章緒論1.1增材制造的概念與分類1.2增材制造過程的復雜性1.3數(shù)值模擬的基本概念與步驟1.4數(shù)值方法與數(shù)值模擬軟件1.5本書內(nèi)容及學習方法復雜性-多尺度

宏觀尺度上所關注的問題是制造過程中的溫度場、應力和變形等的分布和演化規(guī)律、以及成形件的強度、韌性、疲勞等服役性能。

微觀尺度上所關注的問題則為枝晶生長規(guī)律、柱狀晶向等軸晶轉化等方面的機理與調(diào)控。

介觀尺度上所關注的問題是制造過程中的熔池流動行為、以及粉末的流動性和熔化后的蒸發(fā)、飛濺現(xiàn)象。

復雜性-多物理場d．熔池內(nèi)流體流動影響增加材料與基體材料的混合過程和連接質量。e.熱量傳輸?shù)牟痪鶆蛐允侨鄢亓鲃拥闹饕寗恿Γ苯佑绊懭鄢氐某叽缂捌淞鲬B(tài)。f．熔池內(nèi)金屬為動態(tài)穩(wěn)定流動，以對流換熱為主，影響熔池位置的熱量傳輸。a.增材過程中的質量增加影響熱量傳輸，改變溫度分布。b.熱量傳輸導致的溫度分布影響增加質量的熔化與凝固，進而影響增加的有效質量。c．質量增加影響熔池的形成及其流動特征。多物理場耦合關系圖

復雜性-多物理場g.熔池內(nèi)液體流動影響沉積層的凝固過程，進而對微觀組織和相變過程產(chǎn)生影響。h.沉積層的凝固行為影響流體流動的邊界，進而影響熔池內(nèi)的流體流動行為。i.熔池液態(tài)金屬的流動影響熔池形態(tài)和材料分布，進而影響熱應力和變形。j.熱量傳輸?shù)牟痪鶆蛐约熬植啃詴е聵嫾a(chǎn)生熱應力和變形。k.熱量傳輸引起的溫度演變會引起材料組織的改變。l.材料組織演化會伴隨吸收或放出潛熱，對增材過程的溫度場有較大影響。m．材料發(fā)生相變伴隨著材料體積和屬性的變化，對材料內(nèi)部應力演化行為產(chǎn)生影響。第1章緒論1.1增材制造的概念與分類1.2增材制造過程的復雜性1.3數(shù)值模擬的基本概念與步驟1.4數(shù)值方法與數(shù)值模擬軟件1.5本書內(nèi)容及學習方法

NumericalSimulation是指采用一組控制方程及相應的邊界條件來描述一個物理過程（或物理過程的某一方面）；并運用數(shù)值方法求解，以獲得對該過程的定量認識。什么是數(shù)值模擬？

針對某一物理過程進行數(shù)值模擬的一般步驟：1.建立模型2.離散求解3.結果描述在求解域內(nèi)對控制方程進行空間和時間的離散化，進而采用合適的數(shù)值方法對離散化后的方程進行求解，獲得數(shù)值結果。對結果變量進行顯示、甄別、判斷和分析，通過結果描述，可以獲得對所研究問題的深入、全面的認識。

反映事物本質的數(shù)學模型，即微分方程和邊界條件。模型合理是基石，抓住主要矛盾而忽略次要矛盾。如何做數(shù)值模擬？

鑒于增材過程的復雜性，將所涉及的所有物理過程同時進行模擬往往是十分困難且不現(xiàn)實的。人們常常有針對性地選取所關心的某一物理過程，或者某一工藝環(huán)節(jié)進行模擬。增材過程模擬的特點？如重點關注溫度場時，可僅建立固體傳熱模型；關心粉末鋪展效果時可對粉末流動行為進行模擬，關注熔池時僅對熔池內(nèi)部流動行為進行模擬等。第1章緒論1.1增材制造的概念與分類1.2增材制造過程的復雜性1.3數(shù)值模擬的基本概念與步驟1.4數(shù)值方法與數(shù)值模擬軟件1.5本書內(nèi)容及學習方法

也叫做計算方法，數(shù)值分析.1.有限差分法2.有限單元法3.有限體積法在固體領域應用最廣泛，求解域劃分為有限個互不重疊的單元，借助于加權余量等方法將微分方程變?yōu)榉e分方程，結合單元插值函數(shù)（及其導數(shù)）構造離散方程。適用于各種復雜形狀和邊界，且離散形式規(guī)范便于程序實現(xiàn)。應用于流體流動及傳熱。將計算域劃分為網(wǎng)格，利用網(wǎng)格點周圍的控制體積將微分方程轉換為對每個控制體積的積分方程，從而得到離散方程。因為考慮了守恒性質，比差分法效率更高、更穩(wěn)定。

最早的數(shù)值方法，將求解域劃分差分網(wǎng)格，用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商表示導數(shù)，微分方程變成差分方程。適用于規(guī)則幾何特性和均勻材料。數(shù)值方法

通用CAE軟件Nastran、Abaqus、Ansys、Marc、Adina等專用的CAE軟件Deform、Forge、Dynaform、Fatigue、Adams、Fluent、Ls-Dyna、Optistruct，Simufact等嵌套在CAD/CAM系統(tǒng)中的CAE模塊UG、I-Deas、Pro/E等數(shù)值模擬軟件本課程中涉及的兩個軟件：Abaqus&Simufact。第1章緒論1.1增材制造的概念與分類1.2增材制造過程的復雜性1.3數(shù)值模擬的基本概念與步驟1.4數(shù)值方法與數(shù)值模擬軟件1.5本書內(nèi)容及學習方法本書內(nèi)容增材制造過程的模擬案例增材制造過程熱力學模擬基礎教程增材制造過程基本概念、分類、復雜性以及數(shù)值模擬的必要性和重要性熱力學基本理論與模擬方法彈塑性理論及模擬方法傳熱學理論及模擬方法熱力耦合理論及模擬方法典型基本問題的模擬案例增材熱力場的模擬案例很多人認為：“數(shù)值模擬就是軟件操作”，跟設備操作一樣簡單。只要學會軟件操作，就能得到仿真結果，就可以解決工程問題，不需要掌握有限元理論。這種觀點是否正確？有人說：數(shù)值模擬“很難”，在模擬中總會遇到各種問題，根本原因在于：現(xiàn)有的商用軟件太差，不夠“智能”和“好用”。這種觀點是否正確？答案：以上兩個觀點均錯誤!數(shù)值模擬的認識誤區(qū)：學習方法1）軟件操作的學習并不難，一般1-2個月可熟練掌握2）數(shù)值模擬是專業(yè)性極強、門檻很高的工作，模擬遇到問題時，首先應該考慮如何提高自身的專業(yè)水平，而不是把責任一味地推給軟件。學習方法1）數(shù)值建模問題：模型的簡化+計算效率。2）計算準確度問題：模型的合理性、結果收斂性。3）計算方法問題：算法的理解、選擇和參數(shù)設定。4）新算法的開發(fā)：公式推導和編程能力。模擬的主要難點在于：（1）掌握基本的力學和有限元法知識；（2）認真學習軟件的基礎教程；（3）充分利用網(wǎng)絡資源和幫助文檔；（4）勤于思考并反復嘗試。“理論知識+軟件實踐”有機結合是學習數(shù)值模擬的唯一正確之路！學習方法幾條學習建議：謝謝大家！第2章彈性力學

及其有限元法概要概要2.1彈性力學的基本假設2.2彈性力學控制方程及邊界條件2.3控制方程的等效積分形式2.4彈性力學問題的有限元方法二、均勻性假設：物體各處力學性質相同。單元體的力學性能可代表整個物體的力學性能一、連續(xù)性假設：物質密實地充滿物體所在空間，毫無空隙。1）引入連續(xù)性假設，就可以應用微積分知識解決大量工程問題。2）實踐證明，研究物體宏觀力學性能時，連續(xù)性假設可行。彈性力學的基本假設三、各向同性假設：組成物體的材料沿各方向的力學性質相同。沿各方向相同——各向同性材料,比如金屬材料沿各方向不同——各向異性材料,比如復合材料四、小變形假設：構件在載荷作用下的變形與原始尺寸相比甚小。FN,ABFN,AC受力分析—忽略變形影響；平衡方程—原位置和尺寸彈性力學的基本假設六、本構關系為線彈性注意區(qū)分：線彈性、非線性彈性、彈塑性等本構關系名詞。五、本構關系與時間無關，不考慮應變率（蠕變松弛等）的影響彈性力學的基本假設1）在應變率不大、溫度不太高和時間不太長的情況適用。2）每點的應力、變形與外載荷大小一一對應同步變化。

注意：對于增材制造，上述假定并不能夠完全滿足，例如增材制造材料表現(xiàn)出很強的方向性，而未融合、氣孔等缺陷的隨機出現(xiàn)也使得材料不再嚴格地滿足均勻性假定。

但是，這些并不影響彈性力學及其有限元法的基礎地位，即，要想發(fā)展更適合增材制造的分析方法，要以這些理論及方法為基礎。概要2.1彈性力學的基本假設2.2彈性力學控制方程及邊界條件2.3控制方程的等效積分形式2.4彈性力學問題的有限元方法提問：

連續(xù)體一點的基本力學變量有哪幾類？分別是什么？基本變量匯總一點的基本力學變量位移:{u}=[u

v

w]T應變正應變切應變應力正應力切應力(x,y,z)dxdydzuvw提問：

這些基本變量之間是否有內(nèi)在的關系？有什么樣的關系呢？問題的描述在外力作用下物體產(chǎn)生變形，一點(x,y,z)的位移表示為：該點的體積力（重力）:表面力:三維物體，體積為V，表面為S，一部分邊界Su有位移約束，一部分邊界ST作用有分布外力

。三維微元體的平衡作用在微元體dV上的應力如圖所示，一、平衡方程該點的平衡要求不同方向上的合力均為零，因此有：根據(jù)正應變和切應變的定義導出；分量與應力對應。二、幾何方程syysyyszztyxsxxsxxtxytxytxzxyztyztzxtzy應力分量sxxsyyszz

xy

zx

yz應變分量

xx

yy

zz

xy

zx

yz三、物理方程（本構關系）-泊松比各向同性材料的廣義胡克定律推導=++++各向同性材料的廣義胡克定律力的邊界條件四、邊界條件位移邊界條件彈性力學控制方程的向量-矩陣形式一點的基本力學變量體積力：位移:

應變：應力：空間問題-平衡方程空間問題-幾何方程空間問題-本構方程平面彈性力學控制方程的矩陣表示平面問題-平衡方程平面問題-幾何方程平面問題-本構方程平面應力：平面應變：概要2.1彈性力學的基本假設2.2彈性力學控制方程及邊界條件2.3控制方程的等效積分形式2.4彈性力學問題的有限元方法控制方程的微分形式又稱作強形式，難以通過解析方法求得其精確解，只能求其近似解。而近似求解方法需要將微分方程變換成積分方程，在此基礎上通過放寬函數(shù)滿足的條件，進而得到近似解。

彈性力學問題構造積分方程的方式主要有加權余量法和變分方法。前者數(shù)學意義明顯，而后者物理含義明確。

這里主要介紹后者，包括最小勢能原理和虛功原理兩個。微分方程的積分形式δ彈性體在外力作用下會產(chǎn)生變形，外力做功的同時，彈性體也會存儲一定的能量。最小勢能原理一個彈性體的總勢能π被定義為總應變能U和外力功勢能Wp之和。最小勢能原理—變分原理

對于彈性系統(tǒng)，在所有的許可位移場中，對應于平衡狀態(tài)的位移場使得總勢能取極值，如是最小值，則平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。許可位移是指滿足位移單值條件和邊界條件的位移。是系統(tǒng)處于平衡的充要條件。在數(shù)學上稱為泛函，函數(shù)的函數(shù)。對泛函求導，稱為變分。變形體的虛功原理若變形體有滿足變形協(xié)調(diào)及約束允許的虛位移，則滿足靜力平衡條件的任一力系在該變形體的虛位移上所作的總外力虛功等于總內(nèi)力虛功（虛應變能），即變形體平衡的充要條件：對于任意的虛位移，外力虛功等于變形體積蓄的虛應變能(即內(nèi)力虛功）。變形體的虛功原理從平衡方程和力邊條出發(fā)，推導虛功原理虛位移乘以方程：分部積分：代入上式：寫作矩陣-向量形式：不同的構造方式，結果一樣概要2.1彈性力學的基本假設2.2彈性力學控制方程及邊界條件2.3控制方程的等效積分形式2.4彈性力學問題的有限元方法有限元法要點與流程1）將求解域離散化為若干單元，單元間通過節(jié)點連接成為組合體。2）在每個單元內(nèi)假設場函數(shù)及其導數(shù)表達式，

代入弱形式獲得單剛方程。3）按照編號組集所有節(jié)點方程，求解。有限元法列式（1）單元位移場（2）單元應變和應力場（3）單元勢能及單剛方程上式對節(jié)點位移取極值：（4）組集總剛方程并求解謝謝大家！第3章簡單應力狀態(tài)下的塑性理論概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎增材制造過程中材料經(jīng)歷快速加熱、快速冷卻的過程，還常伴隨有機械力的作用。此時材料往往表現(xiàn)出較強的非線性。

因此，對增材制造過程中的力學行為進行仿真時，僅考慮彈性顯然是不夠的，必須充分考慮材料的非線性，尤其是塑性行為的影響，以確保數(shù)值模型及其仿真結果的合理性。為什么要考慮塑性？

1）簡單應力狀態(tài)下

試驗資料、塑性本構、以及塑性的物理基礎。2）復雜應力狀態(tài)下

屈服條件、加載卸載準則、硬化規(guī)律、塑性本構等。如何學習塑性力學？彈性力學任務

彈性變形可恢復，彈性力學研究物體在彈性變形范圍內(nèi)的應力和變形分布規(guī)律。塑性力學任務塑性變形不可恢復，塑性力學研究固體發(fā)生塑性變形時的應力和變形分布規(guī)律。同彈性力學一樣，塑性力學也是連續(xù)體力學的一個分支，基本方程包括平衡、幾何和本構三個方面。前兩類方程與材料性質無關，因此普遍適用。二者的主要區(qū)別在于第三類方程。塑性力學內(nèi)容及特點塑性力學內(nèi)容包括兩大部分：1）描述材料在塑性階段的應力與應變之間的本構關系2）根據(jù)這些理論，應用合理的方法解決工程實際問題。由于塑性本構關系具有非線性和非單值對應（取決于加載歷史）等特點，因而塑性力學比起彈性力學復雜的多，解析求解困難更大，更需要應用數(shù)值方法，如非線性有限元方法。長期以來，塑性力學的主要研究對象是金屬，已形成了一套較完善的理論及方法體系。隨著新型材料和結構的不斷出現(xiàn)，如增材材料、復合材料、超材料等，塑性力學仍在不斷發(fā)展。概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎為了研究材料的塑性變形性質，通常要進行室溫下的靜載試驗，其中最簡單的就是單軸拉伸或壓縮試驗。低碳鋼的單軸應力應變曲線如右圖所示。低碳鋼單軸應力--應變曲線單向拉伸/壓縮試驗低碳鋼單軸應力--應變曲線無論是屈服、硬化還是軟化階段，材料都會產(chǎn)生新的彈性和塑性變形，稱為加載過程。

那么，卸載和反向加載過程又如何呢？請從C點開始進行認識和講解。兩種硬化方式滯回環(huán)低碳鋼單軸應力--應變曲線（1）加載過程中應力應變關系是非線性的。（2）應力與應變不再是一一對應的單值關系，如右圖的OAB/OABCD/OABCEF。原因在于加載歷史不同，所以稱為歷史相關性。（3）外力在塑性變形上做的功叫做塑性功，塑性功將被材料的塑性變形消耗掉，是不可逆的。請問塑性功對應圖中哪些部分？（4）其他，如溫度和加載速率，也會有影響。總結

Bridgeman對金屬材料在靜水壓力（各向均壓）下體積改變進行了實驗研究，體積變形與靜水壓之間關系式為靜水壓試驗發(fā)現(xiàn)：1）第二項遠小于第一項，可以忽略；--體積變形與體積應力之間是線性關系。2）卸去靜水壓后沒有殘余體積變形，體積變形是彈性的；—靜水壓力不會引起塑性變形。3）這種體積變形很小，例如鋼在1000MPa下僅為0.6%；—當發(fā)生較大塑性變形時，可忽略彈性體積變化。概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎

單軸應力-應變關系的數(shù)學表達式，可以通過對單軸拉伸（壓縮）的試驗曲線進行數(shù)學擬合得到。

然而，在一些實際工程的彈塑性問題計算分析中，這樣的表達式可能是較復雜的。

為此，需要針對不同材料的特點進行適當簡化，得到基本上能反映材料的力學性質又便于數(shù)學計算的簡化模型，最常用的簡化模型有如下三種：

1）理想彈塑性模型； 2）線性硬化模型； 3）冪指數(shù)硬化模型。（1）理想彈塑性模型如圖所示，當應力一旦達到屈服極限，就不能再增加，材料可以產(chǎn)生任意的塑性變形。是一個不確定數(shù)，可取任意值。理想彈塑性模型（2）線性硬化模型將連續(xù)的應力應變關系曲線近似為兩個線性段。線性硬化彈塑性模型（3）冪指數(shù)硬化模型對于大多數(shù)材料而言，硬化曲線是非線性的，采用指數(shù)函數(shù)可以的到較好的近似程度某鋁合金單軸應力應變曲線k和n需要擬合試驗曲線得到。且這兩個參數(shù)不是相互獨立的，需要滿足在時概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎

注意：上面的幾種簡化模型是針對單調(diào)加載情況而言的，采用全量應力和全量應變表達。

當涉及到卸載和反向加載時，建立本構模型會更復雜，需要考慮加載歷史，采用增量描述比較方便，一般完整的本構關系必須包括： 1）屈服函數(shù)與屈服條件 2）加卸載準則 3）加載歷史與硬化規(guī)律。以上都是什么意思呢？（1）屈服函數(shù)與屈服條件也常稱為屈服條件。屈服條件是判斷某點是否達到屈服的充分必要條件，是彈、塑性的分界條件。根據(jù)試驗可確定屈服應力，無論單軸拉伸還是壓縮，當應力絕對值小于屈服極限時材料處于彈性狀態(tài)，當應力絕對值達到屈服應力時材料屈服，引入屈服函數(shù)，該問題數(shù)學描述為：線性硬化材料（2）加、卸載判別準則對于如圖所示的硬化材料，1）拉伸屈服后()：若dσ>0,加載；若dσ<0,卸載；2）壓縮屈服后()：若dσ<0,加載；若dσ>0,卸載；3）拉伸或壓縮：若dσ=0,不加載也不卸載。結合屈服函數(shù)表達式，加卸載條件表示為：（3）加載歷史與硬化規(guī)律塑性應變給定，應力與應變就能一一對應。

前面指出：不同的應力路徑達到相同的應力狀態(tài)，塑性應變不同，但彈性應變相同。因為彈性變形只取決于應力狀態(tài)，與加載歷史無關，與是否產(chǎn)生塑性變形也無關。基于此，單軸加載本構關系可寫作：因此，塑性應變反映了加載歷史，通常我們把刻畫加載歷史的變量稱為內(nèi)變量，顯然，塑性應變可以作為內(nèi)變量?？疾靻屋S拉伸情況，材料硬化使得屈服極限提高，新的屈服極限就是，進入初始屈服后歷史上曾經(jīng)達到的最大值。因此，新的屈服條件可表示為：上式表明：如果材料當前應力等于歷史最大值時，則材料處于后繼屈服狀態(tài)，也稱加載狀態(tài)，上式稱為后繼屈服條件，又稱加載條件。如果材料當前應力小于歷史最大值，則材料處于卸載狀態(tài)（或后繼彈性加階段）。（3）加載歷史與硬化規(guī)律應力歷史最大值在增大的過程中必將產(chǎn)生新的塑性變形，即引起內(nèi)變量的改變，因此，它應是一個隨塑性變形（內(nèi)變量）歷史單調(diào)增長的量，即可表示為后繼屈服條件用函數(shù)形式表示為：這是拉伸條件下的，若要考慮壓縮呢？（3）加載歷史與硬化規(guī)律

從零應力O點加載至C點，然后卸載到E點，所產(chǎn)生的塑性變形為OE，再從E點反向加載到G，最后卸載回到H點，在反向加載中所產(chǎn)生的塑性壓應變，大小為HE，因此最終總的塑性應變?yōu)镺H，而累積塑性應變則為|OE|+|EH|。（3）加載歷史與硬化規(guī)律無論加載還是反向加載，只要產(chǎn)生新的塑性變形，塑性功總是增加的，且與塑性變形相對應的。拉伸變?yōu)閴嚎s并反向進入塑性時，內(nèi)變量可取累積塑性應變這樣可以反映塑性變形的歷史累積效應。此外，內(nèi)變量也可取為塑性功:硬化函數(shù)k的初值是（3）加載歷史與硬化規(guī)律請對比認識屈服條件和后繼屈服條件表達式等向硬化下，若取內(nèi)變量為，則加載條件可表示為:（3）加載歷史與硬化規(guī)律相當于曲線的原點隨硬化過程移動到新的位置O’，該點應力值稱為背應力b，其值取決于塑性歷史。

隨動硬化，由于包辛格效應減小了反向的屈服應力，使得拉壓屈服應力之差始終為此時，加載條件表示為：對比三種屈服和加載條件（3）加載歷史與硬化規(guī)律加載過程中背應力增量為即確定了背應力。等向硬化函數(shù)k和隨動硬化背應力b均可通過單軸試驗確定。從如下左圖所示的試驗曲線

中減去彈性應變后可得到右圖所示的曲線，即可得硬化函數(shù)：。定義該曲線切線斜率為塑性模量，即（3）加載歷史與硬化規(guī)律塑性模量Ep與應力應變關系切線模量Et的關系推導如下：概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎真應力與真應變拉壓桿橫截面上的應力定義為式中A一般取桿件的初始橫截面積A0，稱為名義應力（Nominalstress），相應的應變度量為式中分母l也取桿件初始長度l0。

對應的應力應變曲線也稱為名義應力-應變曲線，適用于小變形下的彈性問題。真應力與真應變

塑性變形較大時，名義應力應變曲線不能真正代表加載和變形狀態(tài)。例如，頸縮階段，試件橫截面積（及長度）變化較大，再用初始值會帶來很大誤差。此時，應使用真應力和真應變，分別為“軸力除以真實橫截面積”和“長度改變量除以當前長度”。真應變又稱為對數(shù)應變，也稱自然應變。應力推導中應用了材料的體積不變。真實面積和當前長度是不斷變化的，如何表示呢？概要3.1塑性力學簡介3.2單軸試驗與靜水壓力試驗3.3單軸應力應變關系的簡化模型3.4描述塑性行為的幾個基本概念3.5真應力與真應變3.6塑性變形的物理基礎塑性變形的微觀機理—晶格物質由原子構成，原子間存在引力和斥力。

沒有外力作用時，原子處于平衡狀態(tài)；受外力變形時，原子間距及力平衡態(tài)隨之改變。

金屬材料內(nèi)部原子結構具有幾何規(guī)則性和周期性，排列方式稱為晶格，主要有三種類型：

(1)面心立方FCC(Face-centeredCubic)(2)體心立方BCC(Body-centeredCubic)(3)六方密排HCP(HexagonalCloselyPacked)三種晶格具體長什么樣子？塑性變形的微觀機理—晶格1）面心立方晶格FCC：原子位于正立方體的角點及各面的中心，這類金屬有鋁、銅、鎳和許多鐵基合金，如奧氏體鋼等。2）體心立方晶格BCC：原子位于正立方體的角點及立方體的中心，這類金屬有鐵、鈦、鈮、鉬、釩等。3）六方密排晶格HCP：原子位于六邊形柱體的角點、頂面和底面的中心、及不相鄰三角柱體的中心，這類金屬有鎂、鋅、鈹?shù)?。注意：晶格邊界上的原子是與相鄰晶格所共有的。（a）面心立方

（b）體心立方

（c）六方密排塑性變形的微觀機理—晶格滑移

晶格中存在原子排列最密平面，稱為解理面。各層原子間發(fā)生相對滑動時（剪切變形），總是沿著與解理面平行的面進行，所以解理面又稱為滑移面。

在滑移面內(nèi)，原子排列最密的方向是最易滑動的方向，稱為滑移方向。每個滑移面與其上的滑移方向構成晶體的一個滑移系。例如，六方密排晶格中，只有一個滑移面（即上下底面），其上有三個滑移方向，因此共有三個滑移系。外力作用下，晶格中的原子偏離原來的平衡位置，引起晶格畸變，晶格變形情況如圖所示。塑性變形的微觀機理—晶格滑移

當外力較小時，晶格變形不足以改變晶體點陣的基本排列形式，如圖（b）和（c）所示。此時，外力卸除后各原子又恢復到原先穩(wěn)定的平衡位置。即：晶體變形是彈性的，彈性模量的大小則取決于晶格原子間的結合力。塑性變形的微觀機理—晶格滑移

當外力較大時，各層原子之間沿著某一滑移面上的某一滑移方向產(chǎn)生相對滑移，或者說開動了某一個(或多個)滑移系，如圖（d）所示。

這樣的滑移改變了晶體點陣的基本排列形式，當外力卸除后，原子再不能恢復到原先的位置，晶體產(chǎn)生不可恢復的塑性變形。

晶體產(chǎn)生塑性變形的條件是：沿滑移面至少滑動一個原子間距；即剪切應變達到“1”的量級，根據(jù)剪切胡克定律，塑性變形的微觀機理—晶格滑移剪應力應為剪切彈性模量的量級。但是,單晶體試驗測定的極限剪應力比上述理論值小100-1000倍，理論與試驗偏差較大，原因在哪里？早在20世紀20年代，人們提出使用位錯理論來解釋這種偏差。

位錯：實際結晶時受雜質、溫度變化影響，內(nèi)部質點排列變形所形成的線狀缺陷，如圖（a）所示。塑性變形的微觀機理-位錯滑移

位錯改變了晶體剪切滑移方式：不再是滑移面上原子層的所有原子一起滑動，而是位錯上的原子首先滑動，同時位錯線的位置也逐步移動，最終使得上下原子層滑動一個晶格的間距，如圖（b）-（d）所示。

由于每次只需將位錯線上原子的原子鍵斷開，因此推動滑移的剪切力很低。

同時由于剪切滑動是逐步進行的，材料會表現(xiàn)出較好的延性。位錯在晶體內(nèi)運動引起原子層的滑動，這就是金屬材料產(chǎn)生塑性變形的主要原因。塑性變形的微觀機理—屈服極限位錯運動不是自由的，要受到各種阻力。材料屈服極限的提高，歸根結底是由于位錯運動的阻力增加。阻力主要來源于兩個方面，一是位錯之間的相互作用，另一是由于金屬中存在非純原子（所謂雜質原子）?！疤砑由倭科渌亍碧嵘饘傩阅艿睦碚摶A單晶體的塑性變形顯然與外力相對于晶體取向的方向有關。因此，單晶體是各向異性的。塑性變形的微觀機理—各向異性當它在某一方向承受很大的外力時，材料內(nèi)的各個晶粒逐漸向外力施加的方向轉動，形成所謂的擇優(yōu)取向，使材料逐漸變?yōu)楦飨虍愋?。我們所研究的物質點包含大量單晶，晶粒大小和形狀各不相同且取向無序。因此，材料在宏觀上各向同性的。

實際材料中的位錯形式和分布及其運動非常復雜。直接由復雜的位錯模型建立材料的塑性理論是細微觀塑性力學的重要內(nèi)容之一?！熬w塑性模型”CrystalPlasticModel，從晶體塑性理論出發(fā)，描述多晶體中晶粒內(nèi)非均勻形變區(qū)演化的模型。塑性變形的微觀機理—晶體塑性例題3.1：如圖所示，簡單拉伸下材料的應力-應變關系曲線可用冪指數(shù)硬化模型表示為然后卸載并反向加載，針對隨動和等向硬化，找出反向加載中的應力應變關系。代入式（3.15）得到：根據(jù)式（3.16）得到：當應力σ<-153.5MPa,將產(chǎn)生壓縮塑性變形，塑性應變增量為，累積塑性應變?yōu)楫攽?46.5MPa開始卸載時，f<0，直到反向加載到-153.5MPa，f=0，重新進入屈服。在這個過程中，塑性應變保持為0.002不變。因此，在σ=-153.5MPa時對應的應變是：根據(jù)式（3.16）背應力演化為代入式（3.14）得因此，應力應變關系為例題3.1：如圖所示，簡單拉伸下材料的應力-應變關系曲線可用冪指數(shù)硬化模型表示為然后卸載并反向加載，針對等向硬化，找出反向加載中的應力應變關系。等向硬化情況，請自行學習和練習。例題3.2：如圖所示的平面桿系結構由三個桿組成，桿件為理想彈塑性材料，各桿的橫截面積均為A，第2桿長為l，它與相鄰的第1桿和3桿夾角均為450C，在O點作用垂直向下的荷載P，求使桿件開始屈服的荷載，并討論屈服開始后各桿的變形情況。解：由平衡關系由幾何關系當P從零開始增大，先彈性階段，σ=Eε，聯(lián)立上述三個方程，可得O點向下位移為桿2應力最大，首先進入屈服，此時載荷及位移為：

屈服后，隨著載荷的增大，2桿的應力不再增加，單從本構方程來看，其塑性變形可以任意，但由于受1桿和3桿限制，實際并不能任意增加。這時桿系結構退化為靜定結構，第1、3桿的應力應變易求出為

結合變形協(xié)調(diào)條件（a）式，O點向下位移為稱為塑性極限載荷。將式（i）代入式（h），并考慮式（e），可得對應的位移為。隨著P的進一步增大，，三桿全部屈服，結構喪失承載能力，根據(jù)（f）可得對應載荷大小為綜上可得載荷位移曲線如下卸載過程，請同學們課下練習。謝謝大家！第4章復雜應力狀態(tài)下的塑性理論概要4.1研究方法簡介4.2應力張量分析4.3應變張量分析4.4彈性本構關系分析回顧：前章講了什么內(nèi)容？

前章通過簡單應力狀態(tài)試驗說明了塑性變形的特點，并給出單軸彈塑性行為涉及到的一些基本概念，包括：

1）屈服條件；2）加卸載判斷；3）變形歷史；4）硬化規(guī)律5）應力應變關系。

1）建立屈服條件

對于給定的應力狀態(tài)和應力歷史，確定材料是否超過彈性界限而進入塑性狀態(tài)，即材料是否屈服。2）判斷加、卸載

加、卸載過程應力應變關不同，需要建立相應的判斷準則。3）記錄應力或變形歷史應變不僅取決于應力狀態(tài)，還取決于達到該狀態(tài)的應力歷史，須對演變歷史進行記錄。涉及塑性的基本點有哪些？4）描述硬化規(guī)律

隨著塑性變形的發(fā)展，屈服應力也會改變，金屬材料會硬化，需要確定屈服應力隨塑性變形的變化規(guī)律。5）建立增量塑性應力應變關系塑性問題應從某一狀態(tài)出發(fā)，跟隨加載過程，用增量形式描述并逐步求出每個時刻的增量，累加后得到當前應力和應變。所以需要建立增量型彈塑性本構關系。涉及塑性的基本點有哪些？實際問題的特點？

以上五個問題對于單軸加載易通過試驗確定，對于多軸復雜應力狀態(tài)，應力分量有6個，加載路徑無限多。要把每種應力路徑都做試驗是不可能的，更何況復雜加載的試驗在設備和技術上仍然存在很大困難。

實際問題的研究/處理方法？1）宏觀唯象塑性理論

研究宏觀塑性性質時，將材料看作連續(xù)體，以宏觀試驗數(shù)據(jù)為基礎，提出簡化假設，通過分析和推理建立塑性力學的宏觀理論。只是在一定范圍內(nèi)獲得合理的近似結果。2）細微觀塑性理論細微結構在外力作用下的不可逆改變是材料產(chǎn)生塑性變形的內(nèi)在機制。從細微結構出發(fā)研究宏觀塑性就是細微觀塑性理論。盡管細微觀塑性理論正在迅速發(fā)展，但目前工程應用仍然以宏觀塑性理論為主，本書限于宏觀塑性理論的基礎內(nèi)容。概要4.1研究方法簡介4.2應力張量分析4.3應變張量分析4.4彈性本構關系分析為什么要探討分解？

要在一般應力狀態(tài)下討論塑性變形問題，首先要對應力及應變的張量表述、不變量、以及其分解特點進行分析。應力張量的分解

靜水壓力不影響塑性行為。因此，為了研究塑性變形，很自然地要把應力分解為靜水壓和產(chǎn)生塑性變形的兩部分。切應力互等定理靜水壓力的特點是物體各點均承受相同的正應力，而不存在切應力，結合應力的張量表示，分解式可寫作應力張量的分解稱為平均正應力，公式中用到了指標求和約定。

應力張量的這種分解在塑性力學中具有基礎和重要意義!!應力張量的分解δij為單位球張量，sij為偏應力張量，

或應力偏張量。

應力不變量《材料力學》中已經(jīng)從主應力不變量出發(fā)，結合相關試驗及假定，推導和構建了四個強度理論：啟示：基于應力不變量可以更好地分析和討論應力狀態(tài)及失效等問題。在《工程力學》的應力狀態(tài)相關學習中已經(jīng)了解到，一點總可以找到互相垂直的三個主平面，其上剪應力為零。主平面的法線方向稱為主方向或應力主軸，主平面上的正應力稱為主應力。三個主應力通常按照代數(shù)值排序，即有。主應力不隨坐標軸的選取而改變，可看作是衡量一點應力狀態(tài)的三個“不變量”。討論圖示四面體ABCD的平衡問題，外力作用的邊界面ABC上，單位面積的外力分量：邊界面的外法線分量：沿著三個坐標軸方向上的力平衡：邊界上的應力平衡-力邊界條件若該斜面為主應力斜面，上面的公式怎么變化？

應力不變量根據(jù)斜面上應力公式（力的邊界條件），主應力方程為：上式是關于nx、ny和nz的齊次方程，具有非零解的條件是式中：

應力不變量特征方程的系數(shù)J1-J3，是塑性力學中常用的應力張量的三個不變量。同樣地，應力偏量也存在三個不變量第二不變量用的最多，其量綱是什么？應力不變量等效應力對于簡單拉伸有若假定相等的兩個狀態(tài)力學效應相同，則可定義上式即為在意義下衡量的等效應力或應力強度。等效應力特點：1)

與空間坐標系的選取無關；

2)與應力球張量無關，即與靜水壓力無關；3)

當主應力全都反號時數(shù)值不變。4)上式即為材料力學中第四強度理論的相當應力。

應力不變量注意區(qū)分等效應力和等效剪應力的定義，并明確二者在數(shù)值上的關系。等效剪應力類似地，對于簡單拉伸有進而可定義等效剪應力練習題：某點的應力張量如右所示。試求：1）平均正應力及應力偏張量；2）該應力張量的三個不變量；2）應力偏張量的三個不變量；3）等效應力及等效剪應力。應力空間

對于各向同性體，力學行為與空間方向無關，因此可只關注主應力的大小，而不考慮方向，即采用主應力空間，如圖所示。它是以為坐標軸的假想三維空間。

三維空間中x、y、z三個坐標值可以確定空間一個點的位置。類似地，一點的獨立應力分量有六個，以它們?yōu)樽鴺溯S就得到六維應力空間。若采用表示主應力空間中3個坐標軸方向的單位基矢量，則任一點P的應力狀態(tài)表示為應力空間下面我們來討論主應力空間中具有重要性質的線和面。直線ON代表的正是靜水壓狀態(tài)，稱該直線為靜水壓力軸。過原點O以靜水壓力軸為法線做一個平面（圖中虛線平面），該平面上任意一點所代表的應力狀態(tài)有此平面代表的就是偏應力狀態(tài)，稱為π平面。在主應力空間，過原點O作一條與3個坐標軸具有相同夾角的直線（圖中ON），該直線上任一點所代表的應力狀態(tài)為應力空間幾何上，矢量OP可分解為在靜水壓力軸和在π平面上投影的矢量和，這就直觀地給出了任意應力狀態(tài)可以分解為靜水壓力部分和偏應力部分之和，表達式為

OQ為主偏應力矢量，位于π平面上；ON為靜水壓矢量，位于靜水壓軸線上。

綜上，基于試驗結果結合應力張量分解，本小節(jié)指出塑性變形只與應力偏張量有關；

通過主應力以及應力不變量的探討定義了等效應力、等效剪應力，它們都與應力偏張量的第二不變量息息相關；

主應力空間則為應力張量的分解提供了幾何形象和數(shù)學工具。應力張量分析總結概要4.1研究方法簡介4.2應力張量分析4.3應變張量分析4.4彈性本構關系分析體積應變下面討論圖示微六面體的體積變化。設六面體的邊長分別為dx、dy、dz，則變形前體積是V0=dxdydz。變形后的邊長及體積分別表示為：計算上述行列式，略去高階小量得到：體積應變?yōu)椋后w積改變只與線應變相關，與剪切無關！！應變張量分解類似于應力張量，應變張量可以做分解如下：張量標記形式為：其中平均應變?yōu)椋嚎匆幌缕骄鶓兣c體積應變之間的關系？平均應變更具數(shù)學意義，而體積應變更具物理意義。式中第二項為偏應變張量應變張量不變量類似于應力張量和應力偏張量，應變張量和應變偏張量也存在不變量。其中與塑性相關的是應變偏張量的三個不變量表示為其中，和（i=1-3）分別是應變張量和偏應變張量的主值。等效應變當材料不可壓縮時（泊松比0.5），在簡單拉伸情況下有在純剪切下，等效應變（或應變強度）為于是，等效剪應變（或剪應變強度）定義為例題：某點的應變張量如右所示。試求：1）體積應變及應變偏張量；2）應變偏張量的三個不變量；3）等效應變及等效剪應變。概要4.1研究方法簡介4.2應力張量分析4.3應變張量分析4.4彈性本構關系分析彈性本構關系分析采用張量下標記號時，廣義胡克定律可以表示為考慮到應力和應變的分解，上式亦可表示為--分別為平均正應力和平均正應變，--分別為偏應力和偏應變張量--為體積應變--稱為體積模彈性量此外，需要注意到

綜合等效應力/應變、等效剪應力/剪應變公式，以及以上三式，可建立等效應力與等效應變、等效剪應力與等效剪應變之間的關系式彈性本構關系分析

請同學們嘗試該推導過程。彈性本構關系進一步分析由上面公式，進一步得到

上式在彈性范圍內(nèi)給出應力偏量與應變偏量之間的關系，同時它在形式上便于推廣到應力-應變非線性關系的情況。

當應力從加載面卸載時，由于塑性應變的存在，應力與應變?nèi)块g不再滿足廣義胡克定律，但是應力增量與應變增量之間仍滿足，即彈性應變能

此外，在建立Mises屈服強度準則時提到彈性應變能可以分解為體積應變比能和形狀改變比能兩部分，根據(jù)本節(jié)討論其中形狀改變比能還可以表示為

上式不僅在更一般的形式下給出了應變比能與偏應力第二不變量之間的正比例關系，而且給出了由等效應力和應變表示的形狀改變比能。謝謝大家第4章復雜應力狀態(tài)下的塑性理論概要4.5屈服條件4.6加載條件、內(nèi)變量、一致性條件4.7硬化模型在復雜應力狀態(tài)下，材料初始彈性狀態(tài)的界限稱為初始屈服條件，簡稱屈服條件或者屈服準則，它是判定材料處于彈性階段還是處于塑性階段的準則。屈服條件的概念與幾何特征對于簡單拉伸/壓縮，屈服條件是什么？簡單剪切呢？復雜應力狀態(tài)呢？屈服條件的概念與幾何特征

復雜應力狀態(tài)時,一點的應力狀態(tài)有六個分量，不能選取某一個分量作為判斷標準，而應考慮所有應力分量對材料塑性的影響。因此，屈服準則是六個應力分量的函數(shù)

該函數(shù)在應力空間中構成一張曲面，該曲面稱為屈服面。

應力較小時，對應點位于坐標原點（零應力）附近，此時材料處于彈性。

這就是說在應力空間中，圍繞著坐標原點有一個彈性區(qū)域，應力若在彈性區(qū)內(nèi)變化時，只會產(chǎn)生彈性變形。屈服條件的概念與幾何特征當應力增加到一定程度，材料便進入塑性狀態(tài)。

這就是說，彈性區(qū)存在一個邊界，當達到或超過這個邊界時，材料開始塑性變形，所以邊界以外的區(qū)域稱為塑性區(qū)。

實際上，這個邊界就是屈服面，屈服面將應力空間分成彈性區(qū)和塑性區(qū)兩個區(qū)域，且塑性區(qū)將彈性區(qū)包圍在內(nèi)。因此，又可以敘述為：應力狀態(tài)

位于屈服面之內(nèi)時，即材料處于彈性狀態(tài)；當應力狀態(tài)位于屈服面上時，即材料開始屈服，進入塑性狀態(tài)。對于各向同性材料，坐標變換對屈服沒影響，故可用主應力或應力不變量來表示屈服函數(shù)靜水壓不影響屈服此外，一般假定拉伸和壓縮屈服是一致的，所有應力分量改變正負號時屈服函數(shù)的值保持不變，即屈服條件的概念與幾何特征

在如下主應力空間中，任一點的應力狀態(tài)可用矢量表示，進而可以方便地刻畫屈服函數(shù)的幾何特征，也即屈服面。在主應力空間中，屈服面是什么樣的呢？屈服條件的概念與幾何特征P點和Q點應力狀態(tài)的比較：

沿著靜水壓力軸ON方向，二者的坐標不同，Q點的靜水壓力為零，而P點的靜水壓力大于零。

但是，在垂直于靜水壓軸的方向上（π平面及與之平行的平面內(nèi)），二者與原點O的相對位置是一樣的。

由于靜水壓不影響屈服，當P點達到屈服時，Q點以及PQ所在直線上的所有點都進入屈服。所以，屈服面是一個與π平面垂直的曲柱面，如右圖常用屈服條件根據(jù)試驗結果確定屈服面的方法：1）選擇有限個應力路徑進行加載試驗，得到屈服面上的有限個點后進行數(shù)學擬合；2）通過試驗觀測和理論分析，針對影響屈服的主要宏觀力學因素提出某種假設，進而給出屈服條件的表達式，再由實驗進行驗證。

經(jīng)典塑性力學中最常見的兩種屈服條件是Tresca屈服條件和Mises屈服條件，它們分別基于最大剪應力和偏應力第二不變量是影響屈服的主要因素的假定而提出，均能基本符合實驗結果。式中常數(shù)k1可由單軸拉伸或純剪切實驗確定。如單軸拉伸時屈服應力是σs

，此時，代入屈服條件可得k1=σs/2。

純剪切時屈服剪應力為τs

，此時，代入屈服條件可得

。常用屈服條件不同試驗確定的材料常數(shù)不一樣，如何理解？(1)Tresca屈服條件Tresca于1864年基于金屬擠壓試驗提出：當最大剪應力達到某個極限值時，材料發(fā)生屈服，表達式為常用屈服條件單軸拉伸試驗確定純剪切試驗確定

從理論上講，若Tresca條件準確，則常數(shù)k應當僅取決于材料，與達到屈服時的應力狀態(tài)無關，也就是說通過任意應力狀態(tài)所確定的常數(shù)值都應相等。

即對于該材料，單軸拉伸屈服應力是純剪切屈服應力的兩倍。然而，對于多數(shù)實際材料，這個關系是不能準確滿足的。Tresca條件還可以寫作上式就是材料力學中四大強度理論中的第三強度理論。此時，對比上面兩種簡單試驗結果，需要有常用屈服條件(2)Mises屈服條件Mises在1913年提出了另一種屈服條件：當偏應力的第二不變量達到某個極限時，即與Tresca條件相比，Mises條件與多數(shù)實際材料的實驗結果更加接近。k2由簡單實驗確定。采用單軸拉伸和純剪切實驗分別得到如果材料嚴格服從Mises屈服條件，則其單軸拉伸和純剪切的屈服極限滿足結合等效應力的定義，Mises條件還可以寫為這就是材料力學中的第四強度理論概要4.5屈服條件4.6加載條件、內(nèi)變量、一致性條件4.7硬化模型材料進入塑性屈服后，繼續(xù)加載時，屈服條件是否變化呢？

如果材料是理想塑性的，屈服面不會發(fā)生變化，始終為圖中所示的初始屈服面，應力狀態(tài)點不能落在屈服曲面以外。

此時的后續(xù)“加載”過程，表現(xiàn)為在屈服面上從一個點變換到另一個點，即所謂的塑性流動狀態(tài)。

同時，屈服面是彈性邊界，應力點從屈服面內(nèi)部逼近曲面時，材料始終為彈性，所以屈服條件總可以寫成應力分量的函數(shù)，即

。加載條件材料進入塑性屈服后，繼續(xù)加載時，屈服條件是否變化呢？

對于硬化材料,塑性應變增加導致屈服面隨之變化。如圖所示，A點所在曲線為初始屈服面，從A點加載到B點將產(chǎn)生塑性變形，屈服面隨之變化。

從B點卸載回到彈性，然后沿任意路徑重新加應力，如沿BDO卸載，再沿OEF加載。當應力達到初始屈服面（E點）時，材料不屈服，只有達到新的屈服面（F點）時，材料才會重新進入屈服。加載條件材料進入塑性屈服后，繼續(xù)加載時，屈服條件是否變化呢？

因此隨著塑性變形的不斷發(fā)展，屈服面會不斷變化，材料不斷硬化。

加載、硬化、屈服面變化是相互伴隨、同時發(fā)生的,塑性變形是其根本誘因。

若繼續(xù)加載，應力路徑會向新的屈服面外變化，又將產(chǎn)生新的塑性變形，進而使得屈服面再次改變。

通常將變化中的屈服面稱為后繼屈服面或加載面，描述加載面的方程稱為后繼屈服條件或加載條件。加載條件

顯然，加載面或加載條件的變化取決于材料所經(jīng)歷的塑性變形歷史。使用一組內(nèi)變量描述變形歷史，它可以是一個或多個標量、矢量或張量。則加載條件表示為上式稱為后繼屈服函數(shù)或加載函數(shù)。在應力空間中所代表的加載面是一簇以

為參數(shù)的曲面，即

的等值面。材料進入初始屈服時尚未產(chǎn)生塑性變形上式退化為初始屈服面。隨著塑性變形的產(chǎn)生和發(fā)展，內(nèi)變量不斷變化，加載面將按照上式隨之產(chǎn)生變化，這種改變也稱演化。加載面隨內(nèi)變量的演化規(guī)律實質上就是材料的硬化規(guī)律。加載條件首先來理解一下內(nèi)變量的概念。描述連續(xù)介質的力學量一般可分為兩類：

一類是能直接從外部觀測得到的量，如總的應變、載荷、溫度等，稱之為“外變量”；

另一類是不能（或不易）直接觀測的量，它們表征材料內(nèi)部的變化，如塑性應變、以及在塑性變形過程中消耗掉的塑性功等，稱為“內(nèi)變量”。內(nèi)變量

定義內(nèi)變量的方法有兩種：1.“微細觀物理”方法2.“宏觀唯象”方法內(nèi)變量通過塑性應變和其他宏觀變量構成。除塑性應變外，最簡單的“宏觀唯象”內(nèi)變量，是一個被稱為硬化參數(shù)的變量。使用描述材料內(nèi)部微細結構不可逆改變的微細觀變量作為內(nèi)變量，比如金屬材料中的位錯密度、晶格取向分布等；內(nèi)變量內(nèi)變量

對于硬化參數(shù)的定義，一般要求它隨塑性變形而遞增，即只要產(chǎn)生新的塑性變形，硬化參數(shù)就應增加。

通常使用的硬化參數(shù)有兩個：1）累積塑性應變，2）塑性功，下面使用增量的概念對這兩個量的定義進行說明。內(nèi)變量回顧：一維簡單應力情況下的累積塑性應變是什么？對于任意的應力增量，若其產(chǎn)生的塑性應變增量為，其偏量為，累積塑性應變增量采用類似于等效應變的定義上式第二個等式成立是因為屈服條件與靜水壓力無關，也即塑性體積應變增量為零內(nèi)變量

將每一個應力增量下的累積塑性應變增量或塑性功增量按照上面的公式計算，然后累加起來，即計算積分

或可得當前狀態(tài)的累積塑性應變或塑性功。塑性功增量是指單位體積內(nèi)應力在塑性應變增量這部分能量是不可恢復的，它將在塑性變形過程中耗散掉。塑性內(nèi)變量一致性條件當應力狀態(tài)從加載面上向加載面外變化時，將產(chǎn)生新的塑性變形，引起內(nèi)變量增加，這時，加載面會隨之改變，使得更新的應力狀態(tài)處在更新的加載面上。即，應力狀態(tài)始終都不能位于加載面之外。如圖所示，t時刻應力和內(nèi)變量位于加載面上；在t+dt時刻，應力和內(nèi)變量應位于加載面上，即一致性條件將上式使用泰勒級數(shù)展開，略去高階項，并考慮到

則得到加載過程中應力增量與內(nèi)變量增量之間的關系上式稱為一致性條件，它是根據(jù)加載過程中應力點始終保持在不斷更新的加載面上這一原則導出的，它給出了內(nèi)變量隨應力改變的演化方程。概要4.5屈服條件4.6加載條件、內(nèi)變量、一致性條件4.7硬化模型硬化模型

材料在加載過程中，加載面隨塑性變形的歷史發(fā)展而不斷地改變。

而且，對于特定的應力路徑而言，加載面的變化應滿足更新的應力狀態(tài)點始終處在更新的加載面上，滿足這個條件的加載面變化從理論上講無限多。

因此，如何確定加載面隨內(nèi)變量的演化規(guī)律，即硬化規(guī)律，一般是很復雜的，不容易通過實驗方法完全確定。硬化模型對于初始各向同性的金屬材料，在塑性變形過程中，由于晶格的擇優(yōu)取向，常常會導致材料性質呈各向異性（稱之為變形誘導的各向異性）。

隨著塑性變形的增長，這種誘導的各向異性效應會更加顯著，這使得加載面的演化更加復雜。

為了便于實際應用，人們不得不對加載面的演化規(guī)律進行若干簡化，下面介紹幾種簡化的硬化模型。等向硬化模型在單向應力情況下，等向硬化理解為：材料某一方向上因加載屈服極限得到提高，所有其他方向上的屈服極限都將因此而得到同等程度的提高。等向硬化模型認為加載面形狀和中心位置不變，只有大小變化，即在應力空間作形狀相似的擴大，如圖所示。這實質是假定材料在硬化后仍保持各向同性，忽略了塑性變形誘導的各向異性的影響。加載面數(shù)學公式為與一維公式一樣嗎？等向硬化模型1）對于兩個任意的加載路徑，在任何時刻，如果它們經(jīng)歷的累積塑性應變相同，則它們的應力狀態(tài)處在同一加載面上,相應地相同。2）這就意味著：對于所有的加載路徑，比如單軸拉伸、純剪切等，

關系相同，因此，通過個別加載路徑比如單軸拉伸確定的關系曲線，可以適用于所有其他的加載路徑。

下面以Mises材料為例，說明如何根據(jù)一些簡單的實驗確定等向硬化模型加載面的演化。參照式（3.45），Mises材料的加載面方程可寫成如取內(nèi)變量為累積塑性應變，則有隨動硬化模型

當塑性變形較大，特別是應力反復循環(huán)變化時，金屬材料表現(xiàn)出明顯的各向異性特點，等向硬化模型不再適用。

一些金屬材料在單軸拉、壓反復載荷作用下，具有包辛格效應，即正向屈服極限提高多少，則相反方向上的屈服極限就降低多少。

Prager等將這個模型推廣到復雜應力情況，認為在硬化過程中，加載面的大小和形狀不變，只是中心移動，即加載面在應力空間中作剛體平移，如圖所示。加載面表示為

是一個表征加載面中心移動的二階對稱張量，稱為背應力,它取決于塑性變形歷史，也屬于內(nèi)變量，k是材料常數(shù)?；旌嫌不Ｐ?/p>

加載面大小、形狀和中心位置都隨加載過程改變，如圖所示，它是前面兩種情況的綜合，數(shù)學上表達為

應當指出：以上關于屈服條件和加載條件的討論都是在應力空間中進行的。

由于應力可以通過應變表示，因此，屈服條件和加載條件也可以在應變空間中討論，這對巖土類應變軟化材料來說會更方便。謝謝大家！第4章復雜應力狀態(tài)下的塑性理論概要4.8Drucker公設4.9加卸載準則4.10塑性本構關系的增量表達塑性功與Drucker公設

由于本節(jié)討論的塑性本構關系都建立在Drucker公設的基礎上，而Drucker公設的本質是說明塑性功具有不可逆的性質。為此，首先清楚什么是塑性功，以及如何計算。

塑性功屬于內(nèi)變量，定義和計算時要對塑性行為做出一些假設，這里再次明確列出：i）材料的塑性行為與時間、溫度無關，因此塑性功與應變率無關，在計算中沒有慣性力、也沒有溫度變量的出現(xiàn)。ii）任意時刻的應變均可以分解為彈性應變和塑性應變兩部分之和，即iii）材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變，即有：始終成立,不管塑性如何。塑性功與Drucker公設

在這些假設下，塑性應變可由下式計算：伴隨著總應變的分解，總功也可以分解為相應地，作為內(nèi)變量的塑性功也可以通過外變量計算：塑性功與Drucker公設1952年Drucker根據(jù)熱力學第一定律，對一般應力狀態(tài)的加載過程提出了如下公設：

對于處在某一狀態(tài)下的材料質點（或試件），借助一個外部作用，在其原有的應力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應力，在這附加應力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負的。塑性功與Drucker公設如圖所示，t0時刻的應力為，它可以在加載面上或內(nèi)部，數(shù)學表示為施加附加應力后，設t1時刻為開始發(fā)生塑性變形的時刻，此時應力為，則有繼續(xù)加載直到t2，在[t1,t2]期間，應力增加到，并產(chǎn)生塑性應變。從t2時刻開始卸去附加應力，到t3時回到狀態(tài)。塑性功與Drucker公設如果表示應力循環(huán)過程中任一時刻的瞬時應力狀態(tài)，那么

就是附加應力。Drucker公設要求在應力循環(huán)中附加應力所作的功非負，就是要：由于在閉合的應力循環(huán)中，應力在彈性應變上做的功為零，即上式可以改寫為：塑性功與Drucker公設但是，整個應力循環(huán)內(nèi)僅在產(chǎn)生了塑性應變。于是，當為小量時，上式可寫為在一維情況下上式代表著一個梯形的面積，如圖中的陰影部分所示。塑性功與Drucker公設Drucker公設：1）如果在加載面內(nèi)，1/2dσij相對于而言很小可忽略，有2）如果在加載面上，則，有加載面外凸性和正交流動法則

根據(jù)Drucker公設可得：加載面外凸性和正交流動法則。為了幾何直觀，假定塑性應變空間與應力空間重合，即對應坐標軸重合，并將

的起點放在加載面應力點

處,如圖所示。（a）初始應力位于加載面內(nèi)

（b）初始應力位于加載面上加載面外凸性和正交流動法則過A點做垂直于的超平面，欲使上面條件始終滿足，必須有：1）點必須在超平面異于所指的一側，這只有在加載面是外凸時才可能；2）塑性應變增量必須沿加載面外法線方向，即與加載面正交。說明兩個向量夾角為銳角或直角。（a）初始應力位于加載面內(nèi)

（b）初始應力位于加載面上加載面的外法線方向為，因此，塑性應變增量可表示為加載面外凸性和正交流動法則式中dλ為一個非負的比例因子，表示塑性應變增量的大小。由于塑性應變增量與加載面正交，故上式稱為塑性應變增量的正交流動法則。概要4.8Drucker公設4.9加卸載準則4.10塑性本構關系的增量表達加卸載判斷準則

根據(jù)前述可知，要判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，不僅需要判斷應力

是否在加載面上，還需要判斷應力增量與加載面的相對關系，這個判斷準則就叫做加卸載準則。

在這里，加載是塑性加載的簡稱，指的是材料產(chǎn)生新的塑性變形，即從一個塑性狀態(tài)進入另一個塑性狀態(tài)的情形。而卸載則是指材料從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的情形。加卸載判斷準則

理想彈塑性材料的加載面與初始屈服面重合，應力狀態(tài)只可能在屈服面上和屈服面內(nèi)變化。（1）理想彈塑性材料的加卸載準則當應力狀態(tài)從屈服面上的一點

移動到另一點

時，

與屈服面相切時，為加載。這時可發(fā)生任意的塑性變形。當應力狀態(tài)從屈服面上移動到屈服面內(nèi)，指向屈服面內(nèi)，則為卸載，如圖所示。該準則的數(shù)學式表示為加卸載判斷準則上式Taylor級數(shù)展開，略去高階項，加卸載準則可進一步表示為加卸載判斷準則（2）硬化材料的加卸載準則

對于硬化材料，當應力處在加載面上，再施加應力增量會出現(xiàn)3種情況：a）加載：應力增量指向加載面外，產(chǎn)生新的塑性變形，內(nèi)變量

隨之增加。b）中性變載：應力增量沿著加載面，無新塑性變形，內(nèi)變量不變。c）卸載：應力增量指向加載面內(nèi)，變形從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)，材料響應是純彈性的。加卸載判斷準則綜上，硬化材料的加卸載準則為概要4.8Drucker公設4.9加卸載準則4.10塑性本構關系的增量表達塑性本構關系概述增量理論經(jīng)典塑性本構理論全量理論將整個加載歷史看成一系列微小增量組成，研究每個增量應變與應力之間的關系,依次積分得到最終的狀態(tài)。自然反映/記錄應力歷史相關性，但數(shù)學處理相對復雜。不考慮應力路徑/歷史的影響，認為應力應變之間存在一一對應關系，直接建立應變?nèi)颗c應力全量之間的關系。相當于非線性彈性問題，數(shù)學處理簡單，但適用范圍有限。塑性本構關系概述

增量理論比全量理論更全面、準確地反映了材料的塑性變形本質特性，特別是近代計算機和有限元的發(fā)展與應用，人們可以比較容易地實現(xiàn)沿加載路徑的增量積分計算，所以增量理論得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應用.方向最重要，選擇正確的道路！路雖遠，行則將至；事雖難，做則必成！增量理論一般表達式材料進入塑性狀態(tài)后，應變增量可分解為彈性和塑性之和其中彈性應變增量也滿足廣義胡克定律另一方面，依據(jù)Drucker公設綜上可得增量形式本構關系增量理論一般表達式

在Drucker公設之前，Mises提出了塑性位勢理論:ii）

，上式稱為非關聯(lián)流動法則，常用于巖土材料和某些復合材料。

在Drucker公設之后，塑性位勢理論又被區(qū)分為兩種情況：i）g=f，上式稱為與加載條件相關聯(lián)的流動法則，簡稱關聯(lián)流動法則，金屬材料多用。其中g是塑性位勢函數(shù)。理想塑性增量本構關系對于理想塑性材料，采用Mises屈服條件