等腰三角形的性質(zhì)和判定【題型1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長】【題型2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】【題型3判斷等腰三角形的個數(shù)】【題型4根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個數(shù)】【題型5等腰三角形的判定】【題型6等腰三角形的判定與性質(zhì)】考點(diǎn)1：等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．【題型1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求有關(guān)的邊長】【典例1】（24-25八年級上·四川自貢·期中）兩邊長3和7的等腰三角形的周長是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．12【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．分類討論，運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)腰為7時，周長=7+7+3=17；當(dāng)腰長為3時，3+3=6<7，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長只能為7，這個三角形的周長是17．故選：A．【變式1-1】（24-25八年級上·湖北孝感·期中）已知等腰三角形的周長為26，若其中一邊長為12，則這個等腰三角形的腰長為（

）A．7 B．12 C．7或10 D．7或12【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，分長為12的邊為腰和底兩種情況解答即可，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)長為12的邊為腰時，底長為26-12×2=2，∵12+12>2，∴腰長為12時符合題意；當(dāng)長為12的邊為底時，腰長為26-12÷2=7∵7+7>12，∴腰長為7時符合題意；綜上，這個等腰三角形的腰長為7或12，故選：D．【變式1-2】（24-25八年級上·河南周口·期末）已知x，y是等腰三角形的兩邊長，且x，y滿足x-3+A．10 B．11 C．10或12 D．10或11【答案】D【分析】本題主要考查了絕對值的非負(fù)性質(zhì)，等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，根據(jù)絕對值以及平方的非負(fù)性質(zhì)可得出x=3，y【詳解】解：∵x-∴x-3=0∴x=3，y∵已知x，y是等腰三角形的兩邊長，∴當(dāng)腰長為x=3時，滿足三角形三邊關(guān)系，則等腰三角形的周長為∶3+3+4=10當(dāng)腰長為y=4時，滿足三角形三邊關(guān)系，則等腰三角形的周長為∶3+4+4=11故選：D．【變式1-3】（24-25八年級上·湖南懷化·期末）若△ABC三邊a，b，c滿足a-52+b-3+|c-A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】本題考查了平方的非負(fù)性，算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性，等腰三角形的定義，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a=5，b=3，【詳解】解：∵（a∴a=5，b=3，∴a=∴△ABC故選：A．【題型2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求角度】【典例2】（24-25八年級上·青海西寧·期中）如果等腰三角形的一個內(nèi)角是100°，它的另外兩個內(nèi)角分別是（

）A．80°和40° B．40°和40° C．100°和100° D．100°和40°【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理．此問題也要分類討論，只是100°的角為底角是不成立的，要舍去，所以只有一種情況．根據(jù)等腰三角形的及三角形的內(nèi)角和定理可知：100°的角必是頂角，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出另外兩個角即可．【詳解】解：當(dāng)頂角為100°時，底角的度數(shù)為180°-100°÷2=40°當(dāng)?shù)捉菫?00°時，兩底角的度數(shù)和為：100°×2=200°>180°，因此這種情況不成立．故選B．【變式2-1】（23-24八年級上·天津河西·期末）一個頂角為126°的等腰三角形，它的底角的度數(shù)為（

）A．18° B．24° C．27° D．34°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得兩底角相等，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可【詳解】解：一個頂角為126°的等腰三角形，它的底角的度數(shù)為1故選C．【變式2-2】（24-25八年級上·山西朔州·期中）若一個等腰三角形的一個內(nèi)角為110°，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A．35° B．55° C．110° D．35°或110°【答案】A【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵一個等腰三角形的一個內(nèi)角為110°，∴頂角為110°，則底角為12故選：A．【變式2-3】（24-25八年級上·福建泉州·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則頂角的度數(shù)為（

）A．40° B．40°或130° C．40°或140° D．140°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解決本題的關(guān)鍵．分別從此等腰三角形為銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案．【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時，如圖1，∵∠ABD=50°，∴∠A∴三角形的頂角為40°；②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖2，∵∠ABD=50°，∴∠BAD∵∠BAD∴∠∴三角形的頂角為140°，故選C．考點(diǎn)2：等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．【題型3判斷等腰三角形的個數(shù)】【典例3】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，點(diǎn)DA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意可得∠ABC=72°，進(jìn)一步得到∠ABD【詳解】解：在△ABC中，∠A=36°，∠∵∠DBC∴∠ABD∴∠CDB則等腰三角形的個數(shù)有3個，分別是△ABC，△故選C．【變式3-1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，∠B=∠CA．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和分別計算出∠BAD、∠DAE、∠EAC、∠【詳解】∵∠B=∠C∴△ABC和△∵∠B=36°，∴∠BAD∴AD=∴△ABD同理△AEC∵∠ADE∴∠DAE∴∠CAD∴∠CAD∴△ADC同理可得△ABE綜上所述，等腰三角形有6個，故選：D．【變式3-2】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）根據(jù)圖中所示的角度，找出等腰三角形的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定的應(yīng)用，求出∠A=∠B=∠AOC【詳解】解：∵∠ODC∴∠AOC∵∠A∴∠A∴AC=∵∠BCD∴∠BDC∴BC=同理AD=即等腰三角形有△ACO，△故選：D．【變式3-3】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，BD=AB，DE

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定方法逐個判斷即可．【詳解】∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠∵BD=∴△ABD是等腰三角形，∠∵DE⊥∴∠CDE∴∠CED=45°，∴CD=DE，∴△CDE是等腰三角形，△所以一共有4個等腰三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，理解等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．即兩條邊相等的三角形是等腰三角形，兩個角相等的兩個三角形是等腰三角形．【題型4根據(jù)等腰三角形的存在性找點(diǎn)的個數(shù)】【典例4】（21-22八年級上·福建南平·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，且∠ABO=60°，若P為坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，則使△APB為等腰三角形的點(diǎn)P有（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】分類討論：AB=AP時，AB=BP時，AP=BP時，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【詳解】①當(dāng)AB=AP時，在y軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P，在x軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P．②當(dāng)AB=BP時，在y軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P，在x軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P，有1點(diǎn)與AB=AP時的x軸負(fù)半軸的點(diǎn)P重合．③當(dāng)AP=BP時，在x軸、y軸上各有一點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P，有1點(diǎn)與AB=AP時的x軸負(fù)半軸的點(diǎn)P重合．綜上所述：符合條件的點(diǎn)P共有6個．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（24-25八年級上·全國·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(-2，2)，Q是y軸上一點(diǎn)，則使△OPQ為等腰三角形的點(diǎn)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)；分情況進(jìn)行分析是正確解答本題的關(guān)鍵．由于點(diǎn)Q的位置不確定，所以應(yīng)當(dāng)討論，當(dāng)OP=OQ時，可得到2點(diǎn)，當(dāng)OP=【詳解】如圖所示：OP=2分三種情況：當(dāng)OP=OQ時，分別以O(shè)為圓心，以O(shè)P長為半徑作圓，與y軸交點(diǎn)2點(diǎn)，Q1當(dāng)OP=PQ時，分別以P為圓心，以O(shè)P長為半徑作圓，與y軸交與另一點(diǎn)，當(dāng)OQ=PQ時，作線段OP的垂直平分線，與y軸的交點(diǎn)可得到一點(diǎn)，綜上所述：使△OPQ為等腰三角形的點(diǎn)Q的個數(shù)為4故選：B．【變式4-2】（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，以AB為一邊，點(diǎn)P在格點(diǎn)處，使△ABP為等腰三角形的點(diǎn)P有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查了格點(diǎn)與勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，勾股定理，等腰三角形的定義和性質(zhì)作圖即可求解．【詳解】解：如圖所示，AB=∵BP∴△AB∴點(diǎn)P1∵BP2=22∴△AB∴點(diǎn)P2綜上所述，點(diǎn)P有4個，故選：D．【變式4-3】（23-24八年級上·河北承德·期末）如圖，A、B是6×8網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的格點(diǎn)C的位置有（

）

A．8個 B．11個 C．12個 D．14個【答案】D【分析】本題主要考查了在網(wǎng)格中畫等腰三角形，等腰三角形的判定，先以AB為底，作AB的垂直平分線，與網(wǎng)格無交點(diǎn)，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，以AB為半徑畫弧確定格點(diǎn)C的數(shù)目即可．【詳解】如圖所示．

點(diǎn)C的位置一共有14個．故選：D．【題型5等腰三角形的判定】【典例5】（24-25八年級上·全國·期中）如圖，已知點(diǎn)D、E在AB上，且AC=BC，AE=【答案】見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，由等邊對等角得出∠A=∠B，證明△ACD≌【詳解】解：∵AE=∴AE-即AD=∵AC=∴∠A在△ACD和△AC=∴△ACD∴CD=∴△CDE【變式5-1】（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）已知：如圖，AE是△ABC外角的平分線，且AE∥BC【答案】見解析【分析】此題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意等角對等邊定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．由AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可求得∠DAE=∠B，∠【詳解】證明：∵AE∥∴∠DAE∵AE是△ABC∴∠DAE∴∠B∴AB=AC，即【變式5-2】（24-25八年級上·山東臨沂·期中）如圖，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E【答案】CD=【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的概念等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．首先由等邊對等角得到∠C=∠ABC，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)得到CD【詳解】解：CD=理由如下：∵AB∴∠C∵DE∴∠ADE=∠C∴∠ADE∴AD∴CD∵BD是△∴∠CBD∵DE∴∠CBD∴∠EBD∴BE∴CD【變式5-3】（24-25八年級上·四川瀘州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=70°(1)求∠ABC(2)若∠BDC=95°，DE∥BC交AB于點(diǎn)【答案】(1)50°(2)△BDE【分析】本題考查了三角形的相關(guān)知識．熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．（1）在△ABC中，根據(jù)三角形三個內(nèi)角的和是180°即可求出∠（2）先求出∠ABD=25°，結(jié)合（1）中的結(jié)論即可求出∠DBC=25°，根據(jù)平行線性質(zhì)，得∠BDE【詳解】（1）解：∵∠A=70°，∴∠ABC（2）解：△BDE∵∠BDC∴∠ABD∵∠ABC∴∠DBC∵DE∴∠BDE∴∠BDE∴BE故△BDE【題型6等腰三角形的判定與性質(zhì)】【典例6】（24-25八年級上·浙江嘉興·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，且AB=AC，過點(diǎn)D作DE∥AC(1)求證：△ADE(2)若AB=10,BC=12【答案】(1)見解析(2)AD【分析】本題考查了勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角形，即可解答；（2）先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ADB=90°,BD【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD∵DE∥∴∠CAD∴∠BAD∴EA=∴△ADE（2）解：∵AB=AC，AD平分∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∴AD=【變式6-1】（23-24八年級下·河北保定·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過線段CD上一點(diǎn)E作EG∥AD，交AC于點(diǎn)F，交(1)求證：△AFG(2)若CE=EF，∠BAC【答案】(1)證明見解析；(2)∠B【分析】（1）證明∠G=∠AFG（2）證明∠C=∠CAD本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD∵EG∥∴∠BAD=∠G∴∠G∴AF=∴△AFG（2）解：∵CE=∴∠CFE∵∠AFG∴∠C∵∠AFG∴∠C∵∠BAC=80°，AD平分∴∠CAD∴∠C∴∠B【變式6-2】（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，過BA的延長線上一點(diǎn)M，作MN⊥BC，垂足為N(1)求證：△AMD(2)若AM=15,DN=12,D為邊【答案】(1)見詳解(2)9【分析】該題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．（1）根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠C，結(jié)合MN⊥BC，得出∠（2）根據(jù)（1）可得AD=AM=15，結(jié)合點(diǎn)D為邊AC【詳解】（1）證明：∵AB∴∠B∵M(jìn)N∴∠DNC∴∠M∴∠M∵∠CDN∴∠MDA∴AD∴△AMD（2）解：根據(jù)（1）可得AD=∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，∴DC=∴在Rt△DNC中，【變式6-3】（24-25八年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點(diǎn)F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且(1)求證：△ABC(2)若AE=8，AB=10，GC=2【答案】(1)見解析；(2)32．【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠B=∠DAE，∠（2）首先證明△AEF?△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BC【詳解】（1）證明：∵AE∴∠B=∠DAE∵AE平分∠∴∠DAE∴∠B∴AB∴△ABC（2）解：∵F是AC∴AF∵AE∴∠C由對頂角相等可知：∠AFE在△AFE和△∠∴△AFE≌△∴AE∵GC∴BG∴BC∴△ABC的周長=【題型7等腰三角形的實(shí)際應(yīng)用】【典例7】（24-25八年級上·新疆·期末）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC=30°，(1)求海島B到燈塔C的距離；(2)若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【答案】(1)30海里(2)1小時【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠NAC=30°，∠NBC（2）點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，CP的長度即為小船與燈塔C的最短距離；然后求出【詳解】（1）解：由題意得：AB=15×2=30∵∠NBC∴∠ACB∴∠ACB∴AB=∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)∴根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC又∵∠NBC∴∠PCB在Rt△CBP中，∴PB=∴航行的時間為15÷15=1（時）．∴這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，要經(jīng)過1小時，小船與燈塔C的距離最短．【變式7-1】（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：項目主題：測量一條兩岸平行、東西走向的河流寬度．問題驅(qū)動：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量河流寬度？組內(nèi)探究：由于跨河測量困難，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，測量角度的儀器（儀器的高度忽略不計），標(biāo)桿，皮尺等．他們在河北岸的點(diǎn)B處，測得河南岸的一棵樹底部A點(diǎn)恰好在點(diǎn)B的正南方向，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)行實(shí)地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算河流寬度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時的兩種測量方案：方案方案①方案②測量示意圖測量說明如圖①，觀測者從點(diǎn)A出發(fā)，沿著與直線BA成70°角的AC方向前進(jìn)至點(diǎn)C，在點(diǎn)C處測得∠CBA=35°，測量出如圖②，觀測者從A點(diǎn)向正東走到E點(diǎn)，G是AE的中點(diǎn)，從點(diǎn)E沿垂直于AE的EF方向走，直到點(diǎn)B，G，F(xiàn)在一條直線上，測量出EF的長度．測量結(jié)果∠CAD=70°，∠CBAAB⊥AE，EF⊥(1)根據(jù)方案①，求河寬AB的長度．(2)方案②的靈感來源于古希臘哲學(xué)家泰勒斯，他們認(rèn)為EF的長就是所求河寬AB的長，請你根據(jù)所學(xué)的知識，給出證明．【答案】(1)20(2)見解析【分析】（1）根據(jù)∠CAD=∠ABC+∠ACB，結(jié)合∠CAD=70°（2）證明△AGB本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠CAD=∠ABC+∠ACB∴∠ACB∴AB=∵AC=20∴AB=故河寬為20m（2）證明：∵G是AE的中點(diǎn)，∴AG=∵∠BAG∴△AGB∴AB=∵EF=20∴AB=答：河寬為20米．【變式7-2】（24-25八年級上·廣東廣州·期中）數(shù)學(xué)社團(tuán)同學(xué)用四根小木棒釘成一個“箏形”儀器，其中AB=AD，(1)如圖①，將“箏形”儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，AB，AD分別放置在角的兩邊RP，RQ上，并過點(diǎn)A，C畫射線AE．求證：AE平分∠(2)數(shù)學(xué)社團(tuán)同學(xué)嘗試使用“箏形”儀器檢測教室門框是否水平．如圖②，在儀器上的點(diǎn)A處綁一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘，儀器上的點(diǎn)B，D緊貼門框上方，如果線繩恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則可判斷門框是水平的．?dāng)?shù)學(xué)社團(tuán)同學(xué)的判斷依據(jù)是_____；A．等角對等邊

B．等邊對等角

C．等腰三角形“三線合一”(3)如圖③，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，當(dāng)四邊形AEFC為“箏形”【答案】(1)見解析(2)C(3)20°或100°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）證明△ABC≌△ADC（2）根據(jù)△ABD（3）分情況討論，①當(dāng)AE=EF，AC=FC時，②當(dāng)【詳解】（1）證明：∵AB=AD，BC∴△ABC∴∠∴AE平分∠（2）解：∵AB∴△ABD∵AC平分∠∴AC⊥BD，依據(jù)是等腰三角形“故選：C；（3）解：∵∠A=80°∴∠∵四邊形AEFC為“箏形”，∴①當(dāng)AE=EF，∵四邊形AEFC為“箏形”，∴△AEC∴∠∴∠②當(dāng)AE=AC，∵四邊形AEFC為“箏形”，∴△AEF∴∠∴∠綜上，∠EFB的度數(shù)為20°或100°故答案為：20°或100°．【變式7-3】（24-25八年級上·重慶綦江·期中）如圖，已知港口A的南偏東80°方向上有一座小島B，一艘貨輪從港口A沿南偏東40°方向出發(fā)，行駛80海里到達(dá)C處，此時觀測小島B位于C處的北偏東60°方向．(1)求此時貨輪到小島B的距離．(2)在小島B周圍36海里范圍內(nèi)是暗礁區(qū)，此時貨輪向正東方向航行有沒有觸礁危險？請作出判斷并說明理由．【答案】(1)此時貨輪到小島B的距離為80海里(2)貨輪向正東方向航行沒有觸礁危險，理由見解析【分析】本題是方向角問題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，同時考查了等腰三角形的判定，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．（1）先根據(jù)題意求出∠BAC=40°,∠ACB=100°，據(jù)此得（2）作BD⊥CD于點(diǎn)D，由∠BCD【詳解】（1）解：如圖，標(biāo)注字母，由題意知：∠∴∠∴∠BAC=80°-40°=40°，∴∠ABC∴∠ABC∴BC=即此時貨輪到小島B的距離為80海里；（2）解：如圖，作BD⊥CD于點(diǎn)在Rt△∵∠BCD=90°-60°=30°，∴BD∵40>36，∴貨輪向正東方向航行沒有觸礁危險．一、單選題1．（24-25八年級上·福建福州·期中）若等腰三角形的頂角是80°，則它的底角是（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握等腰三角形兩底角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意知，底角的度數(shù)為180°-80°2故選：A．2．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)E，∠BECA．40° B．35° C．110° D．70°【答案】D【分析】本題考查等邊對等角，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊對等角，得到∠ABC=∠C【詳解】解：∵AB=∴∠ABC∵BE平分∠ABC∴∠CBE∵∠BEC∴∠C∴∠C∴∠ABC故選D．3．（23-24八年級上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如果等腰三角形的兩邊長是3和6，則第三邊長是（

）A．3 B．6 C．3或6 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是分類進(jìn)行討論，避免遺漏．分等腰三角形的腰為3和等腰三角形的腰為6兩種情況，結(jié)合三角形三邊關(guān)系分別討論，即可得答案．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為3，3，6，因為3+3=6，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為3，6，6，三邊關(guān)系成立．綜上所述，第三邊長是6．故選：B．4．（24-25八年級上·江蘇連云港·期中）如圖①是兩位同學(xué)玩蹺蹺板的場景，如圖②蹺蹺板示意圖，支柱OC與地面垂直，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB繞著點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動．若A端落地時，∠OAC=30°，則蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠AA．45° B．50° C．60° D．75°【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)∠OAC=30°，易得【詳解】解：∵O是AB∴OA由題意，可得：OB=∴OA=∴∠O∴∠A∴蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即∠A'OA故選：C．5.（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且ADA．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角定理．正確確定相等關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．可以設(shè)∠EDC=x，∠B=∠【詳解】解：∵AB∴∠B設(shè)∠EDC=x∴∠AED又∵AD∴∠ADE則∠ADC又∵∠ADC∴2x解得x=15∴∠EDC的度數(shù)是15°故選：B．6．（24-25八年級上·四川自貢·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BMA．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊，是解此題的關(guān)鍵．由角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠MBE=∠MEB,∠NEC【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)∴∠MBE∵M(jìn)N∴∠EBC∴∠MBE∴BM∴MN即MN=∵BM∴MN故選：D．二、填空題7．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，BC=6

【答案】3【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠B=∠C∴BD=故答案為：3．8．（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習(xí)）若等腰三角形的一個外角是78°，則其底角為°．【答案】39【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，需要注意要分情況討論．根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求出與78°角相鄰的三角形的內(nèi)角的度數(shù)，再分這個內(nèi)角是頂角和底角兩種情況討論求解．【詳解】∵等腰三角形的一個外角是78°，∴與這個外角相鄰的內(nèi)角是180°-78°=102°，（1）102°角是頂角時，它的底角是12（2）102°角是底角時，不成立，∴其底角為39°．故答案為：399．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．若AB=9cm，AE【答案】4【分析】本題考查了等角對等邊，平行線的性質(zhì)以及三角形的角平分線等知識．根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的角平分線和等腰三角形的判定，求出DE=【詳解】解：∵DE∥∴∠EDB∵BD平分∠ABC∴∠ABD∴∠