/北京市西城區(qū)德勝中學(xué)2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期十二月數(shù)學(xué)月考試卷一、單選題1．以下圖形中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．4．“讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路．”某校為了豐富學(xué)生的閱歷知識(shí)，堅(jiān)持開(kāi)展課外閱讀活動(dòng)，學(xué)生人均閱讀量從七年級(jí)的每年64萬(wàn)字增加到九年級(jí)的全年144萬(wàn)字．設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．5．如圖，點(diǎn)A、B、C在上，為等邊三角形，則的度數(shù)是（

）

A．60° B．50° C．40° D．30°6．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”是必然事件B．事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1C．某種中獎(jiǎng)的概率是1%，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N就一定會(huì)中獎(jiǎng)D．拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率可以用列舉法求得7．如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形，已知這個(gè)正六邊形的半徑是2，則正六邊形的面積是（

）

A． B．12 C． D．248．二次函數(shù)（，，為常數(shù)，且）中的與的部分對(duì)應(yīng)值，如表，其中0222下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減??；③是方程的一個(gè)根；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（

）A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③二、填空題9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．10．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則．11．在同樣條件下對(duì)某種水稻種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)發(fā)芽種子數(shù)，獲得如下頻數(shù)表．試驗(yàn)種子數(shù)（粒）10002000300040005000發(fā)芽頻數(shù)9531896285638044750發(fā)芽頻率0.9530.9480.9520.9510.950根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)該稻種的發(fā)芽概率約為．（精確到0.01）12．如圖，是的弦，與相切于點(diǎn)B，圓心O在線段上．已知，則的大小為．13．如圖，已知點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則的坐標(biāo)是．14．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，．若點(diǎn)B，C，D恰好在同一條直線上，則．15．近年來(lái)傳統(tǒng)服飾馬面裙受到大眾的喜愛(ài)，如圖所示的馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中長(zhǎng)度為米，裙長(zhǎng)為1米，圓心角，則長(zhǎng)度為．16．如圖，的半徑為，是直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值為．三、解答題17．解方程：（1）；（2）18．已知二次函數(shù).（1）求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.19．如圖，圓形拱門(mén)的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果D是中弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，并且，，求的半徑．20．下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P．求作：過(guò)點(diǎn)P的⊙O的切線．作法：如圖，作射線OP；①在直線OP外任取一點(diǎn)A，以A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B；②連接并延長(zhǎng)BA與⊙A交于點(diǎn)C；③作直線PC；則直線PC即為所求．根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC=90°（填推理依據(jù)）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（填推理依據(jù)）．21．中國(guó)古代的“四書(shū)”是指《論語(yǔ)》、《孟子》、《大學(xué)》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分．下面是正面印有“四書(shū)”字樣的書(shū)簽，，，，書(shū)簽除正面的字樣外，其余完全相同．將這4張書(shū)簽背面向上，洗勻放好．（1）從中隨機(jī)抽取1張，抽到“中庸”書(shū)簽的概率是______；（2）從中隨機(jī)抽取2張；用列舉法求出隨機(jī)抽取的2張書(shū)簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的概率．22．關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，求的取值范圍．23．如圖，為直角三角形，，是邊上的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求證：．24．如圖，在中，，以為直徑的交，于點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，滿足．（1）求證：是的切線．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．25．已知乒乓球桌的長(zhǎng)度為，某人從球桌邊緣正上方高處將乒乓球向正前方拋向?qū)γ孀烂?，乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線近似是拋物線的一部分．（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過(guò)程中，乒乓球的豎直高度（單位：cm）與水平距離（單位：cm）近似滿足函數(shù)關(guān)系．乒乓球的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系式；水平距離04080120160豎直高度1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．判斷乒乓球再次落下時(shí)是否仍落在球桌上，并說(shuō)明理由．26．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，①求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；②已知和是拋物線上的兩點(diǎn)．若，當(dāng)，時(shí)，則的最大值是______；（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，已知和是拋物線上的兩點(diǎn)，對(duì)任意，，，，都有，求的取值范圍．27．如圖，在銳角中，，，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交，的平分線于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出（用表示）；（2）連接，分別交，于，，判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）直接寫(xiě)出，和的數(shù)量關(guān)系．28．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和圖形，給出如下定義：若圖形上兩點(diǎn)，與圖形上兩點(diǎn)，（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合）滿足，則稱圖形是圖形的“倍限距圖形”．特別地，若點(diǎn)與圖形上兩點(diǎn)，（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合）滿足，則稱點(diǎn)是圖形的“倍限距點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)，；①，，中，______是線段的“2倍限距點(diǎn)”；②的圓心為，半徑為1，若是線段的“2倍限距圖形”，則的取值范圍是______；（2）的半徑為5，點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，分別以，為圓心，1為半徑作圓得到和，若對(duì)于任意點(diǎn)，，和互為“倍限距圖形”，直接寫(xiě)出的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長(zhǎng)方形等等．常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：A．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．該圖形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)合題意；C．該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選B．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A符合題意．故選A．3．【正確答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移問(wèn)題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線是，故選C．4．【正確答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量增長(zhǎng)前的量增長(zhǎng)率），如果設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意即可列出方程求解．【詳解】解：設(shè)該校七至九年級(jí)人均閱讀量年均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得．故選A．5．【正確答案】D【分析】由為等邊三角形，得：∠AOB=60°，再根據(jù)圓周角定理，即可求解.【詳解】∵為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴=∠AOB=×60°=30°.故選D.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的定義可判斷A，根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)大小，估計(jì)概率的大小可判斷B，可判斷C，不規(guī)則物體的概率只能通過(guò)大數(shù)次的實(shí)驗(yàn)，使頻率達(dá)到穩(wěn)定時(shí)用頻率估計(jì)概率可判斷D．【詳解】解：“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”可能會(huì)發(fā)生，也可都能不會(huì)發(fā)生是隨機(jī)事件不是必然事件，故選項(xiàng)A不正確；事件發(fā)生的可能性越大，說(shuō)明發(fā)生的機(jī)會(huì)越大，它的概率越接近1，故選項(xiàng)B正確；某種中獎(jiǎng)的概率是1%，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N每一張中獎(jiǎng)的概率都是1%，可能會(huì)中獎(jiǎng)，但一定會(huì)中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)很小，故選項(xiàng)C不正確；圖釘是不規(guī)則的物體，拋擲一枚圖釘，“針尖朝上”的概率只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)，大數(shù)次的實(shí)驗(yàn)，使頻率穩(wěn)定時(shí)，可用頻率估計(jì)概率，不可以用列舉法求得，故選項(xiàng)D不正確．故選擇B．7．【正確答案】A【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意得出△AOB是等邊三角形是解題關(guān)鍵．由正六邊形的性質(zhì)證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為O，連接，，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵O是正六邊形的中心，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴正六邊形的面積．故選A．8．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線和，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷即可得解．【詳解】解：由表格可知，對(duì)稱軸為直線，∵對(duì)稱軸為，∴，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，即，∴，，①正確；∵，且對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，②錯(cuò)誤；將代入方程左邊，得，當(dāng)時(shí)，得，∴代入得，∴是的一個(gè)根，③正確；由表格可知，拋物線與交于與，且和，∴當(dāng)時(shí)，，，④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有①③，故選B．9．【正確答案】（-4，7）【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（-x，-y），進(jìn)而得出答案．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，7），故答案是：（-4，7）．10．【正確答案】4【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得，即可解答，熟知根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，，解得.11．【正確答案】0.95【分析】本題考查利用頻率估算概率，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用頻率估算概率即可．【詳解】從頻數(shù)表可知，發(fā)芽頻率分別為0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，這些值穩(wěn)定在0.95附近，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率接近概率，故該稻種的發(fā)芽概率約為0.95．12．【正確答案】20【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，連接，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，連接，∵與相切于點(diǎn)B，∴，∴，∵，∴，∴.13．【正確答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)N，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為M，利用全等三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)N，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為M，由旋轉(zhuǎn)可知，，，∴．又∵，軸，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴，．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．【正確答案】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，，再利用三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合等邊對(duì)等角求得即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∴，∴.15．【正確答案】米【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟知扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)的長(zhǎng)度及的度數(shù)，可求出的長(zhǎng)，再結(jié)合的長(zhǎng)可求出的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：的長(zhǎng)為米，，，解得：長(zhǎng)為1米，的長(zhǎng)為米，的長(zhǎng)度為：(米).16．【正確答案】【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，先根據(jù)三角形的中位線定理可得，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段的值最小，最小值為，然后根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，∵的半徑為，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段的值最小，最小值為，∵，∴，∵，∴，∴在中，，，∴，∴在中，，∴線段的最小值為.17．【正確答案】（1），（2），【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用公式法解一元二次方程，即可求解；（2）先化簡(jiǎn)方程，再利用因式分解法求解．【詳解】（1）解：（2）解：或18．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，然后利用的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，∴二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：且對(duì)稱軸在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)函數(shù)值有最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)函數(shù)值有最小值，最小值為，∴函數(shù)值的取值范圍是，故．19．【正確答案】【分析】本題考查了垂徑定理的推論與勾股定理；連接，并設(shè)圓的半徑為r；由垂徑定理推論得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半徑．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)圓的半徑為r；∵D是中弦的中點(diǎn)，∴，；∵，∴在中，由勾股定理得：，解得：；答：的半徑為．20．【正確答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BPC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；（2）證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC=90°（圓周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（切線的判定）．21．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算、利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵．（1）從這4張書(shū)簽中隨機(jī)抽取1張共有4種等可能的結(jié)果，再利用概率公式計(jì)算即可得；（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖，則可得從這4張書(shū)簽中隨機(jī)抽取2張的所有等可能的結(jié)果，再找出隨機(jī)抽取的2張書(shū)簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的結(jié)果，然后利用概率公式計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：∵從這4張書(shū)簽中隨機(jī)抽取1張共有4種等可能的結(jié)果，∴從中隨機(jī)抽取1張，抽到“中庸”書(shū)簽的概率是.（2）解：由題意，畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：由圖可知，從這4張書(shū)簽中隨機(jī)抽取2張共有12種等可能的結(jié)果，其中，隨機(jī)抽取的2張書(shū)簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的結(jié)果有2種，則隨機(jī)抽取的2張書(shū)簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的概率為，答：隨機(jī)抽取的2張書(shū)簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的概率為．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于正確的解方程．（1）根據(jù)，進(jìn)行作答即可；（2）由，解得，，由方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，可得，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴，解得，，，∵該方程的實(shí)數(shù)根均為非負(fù)數(shù)，∴，解得，，∴m的取值范圍為．23．【正確答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】證明：∵將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，，∴，在中，是邊上的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴．24．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【分析】（1）連接，先通過(guò)，，得再通過(guò)，得，得到，再通過(guò)求解得到，，即可得到是切線；（2）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求，得半徑，則．通過(guò)勾股定理求得，在和中，，可得，則，據(jù)邊與邊的關(guān)系求得．在，利用勾股定理即可得：得到答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵四邊形是內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴∵，∴．∴∴．∵，∴．∴，即．∵為半徑，∴是切線．（2）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∴．在中，在和中，，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在，，∴．25．【正確答案】（1），（2）乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（1）從表格中發(fā)現(xiàn)高度的最大值為50，可知頂點(diǎn)為，可知，再將代入即可求出；（2）乒乓球在桌面的落點(diǎn)就是拋物線與x軸的交點(diǎn)，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落點(diǎn)，再將代入到求出彈起后滿足的關(guān)系式，再令，就可求出第二次的落點(diǎn)，然后跟桌面長(zhǎng)度比較即可，注意乒乓球是向前運(yùn)動(dòng)的，即在坐標(biāo)系中是向右運(yùn)動(dòng)的，所以求出在左側(cè)的落點(diǎn)要舍去.【詳解】（1）解：乒乓球豎直高度的最大值依題意，，∴與的函數(shù)關(guān)系式為，把代入函數(shù)解析式得：，解得，∴與的函數(shù)關(guān)系式為.（2）解：乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上，理由如下：令，則，解得或（舍去），∴球第一次落在球桌面上的點(diǎn)為，把代入，得，解得（舍去）或，∴乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），∵，∴乒乓球再次落下時(shí)仍落在球桌上．26．【正確答案】（1）①；②（2）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）①先將點(diǎn)代入拋物線的解析式可得，再將拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，由此即可得；②先求出拋物線的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出的取值范圍，由此即可得；（2）先求出，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的增減性求出的最小值，的最大值，建立一元一次不等式，解不等式即可得；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)當(dāng)時(shí)的值與當(dāng)時(shí)的值也滿足，由此即可得．【詳解】（1）解：①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②∵，∴拋物線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵拋物線開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又∵和是拋物線上的兩點(diǎn)，且，，∴，，∴，∴，∴的最大值是．（2）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為直線，∴在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取得最小值4；在內(nèi)，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，即的最大值為或1，又∵，∴要使得當(dāng)，時(shí)，都有，則需，解得，符合題設(shè)；②當(dāng)時(shí)，∵當(dāng)，時(shí)，都有，∴當(dāng)時(shí)的值與當(dāng)時(shí)的值也滿足，即，解得，與題設(shè)不符，舍去；綜上，的取值范圍是．27．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解，（2），見(jiàn)詳解（3）【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，則，然后根據(jù)等