/河北省石家莊市第三十八中學(xué)2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若樣本，，…，的平均數(shù)為10，方差為6，則對于樣本，，…，，下列結(jié)論正確的是（

）A．平均數(shù)為10，方差為6 B．平均數(shù)為12，方差為6C．平均數(shù)為12，方差為8 D．平均數(shù)為13，方差為92．某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，月平均增長率相同，第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1860噸，若設(shè)月平均增長率為x，那么可列出的方程是（

）A．B．C．D．3．如圖，將一個形狀的楔子從木樁的底端點P沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運動．已知楔子斜面的傾斜角為30°，若木樁上升了，則楔子沿水平方向前進了（如箭頭所示）（

）A．6cm B． C． D．4．如圖，坐標(biāo)平面上有一個透明膠片，透明膠片上印有一條拋物線及拋物線上一點．若將此透明膠片進行平移后，使點P的坐標(biāo)為，則此時拋物線的解析式為（

）

A． B．C． D．5．如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．6．以O(shè)為中心點的量角器與直角三角板ABC如圖所示擺放，直角頂點B在零刻度線所在直線DE上，且量角器與三角板只有一個公共點P．若點P的讀數(shù)為135°，則∠CBD的度數(shù)是（

）A．35° B．45° C．55° D．60°7．已知二次函數(shù)y＝x2+6x+c的圖象與x軸的一個交點為（﹣1，0），則它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（

）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）8．如圖，在軸的上方，直角繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，若的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于、兩點，則的大小的變化趨勢為（

）A．先減小后增大 B．先增大后減小 C．不變 D．無法確定9．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M、N；②作直線交于點D，連結(jié)，若，，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C． D．點D為的外心10．如圖，在平行四邊形中，點E在上，與交于點F，若，的面積為3，則的面積是（

）A．27 B．12 C．9 D．611．二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②m為任意實數(shù)，則；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個12．如圖，半圓的直徑為4，等邊三角形，點和點在圓上，連接，相交于點，將等邊三角形從與重合的位置開始，繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）．下列結(jié)論正確的是（

）結(jié)論Ⅰ：的長與的長之和為定值；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)時，點到的距離是；結(jié)論Ⅲ：使得的值有兩個．A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅲ D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ二、填空題13．若m，n是方程的兩個根，則的值是．14．某校舉辦學(xué)生說題比賽，某位學(xué)生選手的題目分析、解法講解、題目拓展三個方面成績?nèi)绫硭荆喉椖款}目分析解法講解題目拓展成績?nèi)舭凑疹}目分析占，解法講解占，題目拓展占來計算選手的綜合成績，則該選手的綜合成績?yōu)?15．如圖，，點O是的平分線上的一點，半徑為4的經(jīng)過點P，將水平向左平移，當(dāng)與射線相切時，平移的距離是．16．如圖，中，，，，D、E分別是、邊上的動點，，以為直徑的交于點F、G兩點，則線段的最大值為．

三、解答題17．已知二次函數(shù)．（1）補全表格，并在平面直角坐標(biāo)系中用描點法畫該二次函數(shù)的圖象；…01234……30…（2）根據(jù)圖象回答：①方程的兩個解是________，________；②當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍是________．18．2025年春節(jié)，《哪吒之魔童鬧?！罚ㄒ韵潞喎Q《哪吒2》）橫空出世，現(xiàn)已登頂全球動畫電影票房榜，米小果同學(xué)為了了解這部電影在同學(xué)中的受歡迎程度，在本校初三年級隨機抽取了10名男生和10名女生展開問卷調(diào)查（問卷調(diào)查滿分為100分），并對數(shù)據(jù)進行整理，描述和分析（評分分?jǐn)?shù)用表示，共分為四組：；；；，下面給出了部分信息：10名女生對《哪吒2》的評分分?jǐn)?shù)：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．10名男生對《哪吒2》的評分分?jǐn)?shù)在C組的數(shù)據(jù)是：82，83，86，根據(jù)信息，解答下列問題：20名同學(xué)對《哪吒2》評分統(tǒng)計表性別平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差滿分占比女生8890112.210%男生88100200.250%（1）上述圖表中的______________________，___________（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為是女生更喜歡《哪吒2》還是男生更喜歡？請說明理由；（寫出一條理由即可）（3）該校初三年級有500名女生和600名男生去看過《哪吒2》，估計這些學(xué)生中對《哪吒2》的評分在C組共有多少人？19．在2020年新冠肺炎抗疫期間，經(jīng)營者小明決定在某直銷平臺上銷售一批口罩，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該類型口罩每袋進價為20元，當(dāng)售價為低袋25元時，銷售量為250袋，銷售單價每提高1元，銷售最就會減少10袋．（1）直接寫出小明銷售該類型口罩的銷售量（袋）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求每天所得銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若每天銷售量不少于200袋，且每袋口罩的銷售利潤至少為7元，則銷售單價定為多少元時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？20．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接、，延長至點E．（1）若，求證：平分；（2）若，的半徑為2，求．21．如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為．且該拋物線的對稱軸為直線．（1）求該拋物線的表達(dá)式和頂點的坐標(biāo)．（2）連接交拋物線的對稱軸于點，連接，在拋物線上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．圖1是木馬玩具底水平放置的示意圖，點O是所在圓的圓心．的半徑為，已知點A，B之間的水平距離為，且兩點距離地面的豎直高度一樣高．建模計算（1）求點A的豎直高度；操作理解（2）將圖1的木馬玩具沿地面向右作無滑動的滾動，當(dāng)與相切于點B時，如圖2，點A的豎直高度升高了多少？拓展探索（3）在上述操作過程中，直接寫出圓心O移動的距離．（參考數(shù)據(jù)：）23．如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方的B處發(fā)出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知米，排球場的邊界點A距O點的水平距離為米，球網(wǎng)高度為米，且．（1）C點的坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)時，求拋物線的表達(dá)式．（3）當(dāng)時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．（4）若運動員調(diào)整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為，球落地后立即向右彈起，形成另一條與形狀相同的拋物線，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框（），其中米，米，米，若排球經(jīng)過向右反彈后沿的軌跡落入回收框內(nèi)（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內(nèi)），設(shè)M點橫坐標(biāo)的最大值與最小值的差為d，請直接寫出d的值．24．已知線段，射線垂直于，點在射線上，設(shè)，點在經(jīng)過點且平行于的直線上運動，的平分線交直線于點，過點作，交線段于點，連接交于點，以為圓心，為半徑作圓．（1）判斷與的位置關(guān)系：______；（2）已知的半徑為，當(dāng)所在直線與相切時，求的長；（3）當(dāng)時，若與線段只有一個公共點，則的半徑的取值范圍是多少？

答案1．【正確答案】B【分析】本題主要考查了平均數(shù)和方差，根據(jù)平均數(shù)的定義可得，則可推出，可求出，根據(jù)方差的定義可推出，則可求出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵樣本，，…，的平均數(shù)為10，∴，∴，∴，∴，∴，∴樣本，，…，的平均數(shù)為12；∵樣本，，…，的方差為6，∴，∴，∴，∴樣本，，…，的方差為6，故選B．2．【正確答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)月平均增長率為x，則二月份生產(chǎn)鋼鐵噸，則三月份生產(chǎn)鋼鐵噸，再根據(jù)第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1860噸列出方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)月平均增長率為x，由題意得，，故選C．3．【正確答案】A【分析】根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比計算即可．【詳解】解：楔子沿水平方向前進了xcm，則，解得：（cm），則楔子沿水平方向前進了6cm，故選A．4．【正確答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，坐標(biāo)與圖形變化—平移，先根據(jù)平移前后點P的坐標(biāo)判斷出平移方式，再根據(jù)二次函數(shù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律可得答案．【詳解】解：∵在拋物線經(jīng)過平移后，拋物線上一點P的坐標(biāo)由變?yōu)?，∴拋物線的平移方式為向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度，∴拋物線向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度后的解析式為，故選B．5．【正確答案】C【分析】本題考查求圓錐底面半徑，根據(jù)圓錐底面周長等于扇形的弧長，進行求解即可．【詳解】解：設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，由題意，解得；故選C．6．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進而即可求得∠CBD的度數(shù)．【詳解】解：∵直角頂點B在零刻度線所在直線DE上，且量角器與三角板只有一個公共點P．∴點P的讀數(shù)為135°，．．．故選B．7．【正確答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得結(jié)論．【詳解】∵二次函數(shù)y=x2+6x+c（c為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（-1，0），∴1-6+c=0．∴c=5，∴二次函數(shù)y=x2+6x+5．令y=0，則x2+6x+5=0，解得：x1=-1，x2=-5．∴拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（-5，0）．故選C．8．【正確答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的相關(guān)運算，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點來分析、判斷、推理或解答是解決本題的關(guān)鍵．先證明，再設(shè)，故把數(shù)值代入，得，則，結(jié)合，則，由①②知為定值，即的大小不變．【詳解】解：如圖，分別過點作軸、軸，∴∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)，則，，，，∴∴,解得或（舍去）∵，∴；∵，∴②，由①②知為定值，∴的大小不變，故選C．9．【正確答案】C【分析】本題考查的是作圖基本作圖，線段垂直平分線的作法，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外心的定義；由題意可知直線是線段的垂直平分線，故，，故可得出的度數(shù)，根據(jù)可知，故可得出的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可知直線是線段的垂直平分線，，，，，．，，B正確，C錯誤；，，，點為的外心，故D正確；，，，故A正確．故選C．10．【正確答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形對邊平行得到，根據(jù)，得到，推出，最后根據(jù)等高的兩個三角形的面積比等于底的比即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵的面積為，∴．故選C．11．【正確答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)所給二次函數(shù)的圖象，可得出，，的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對稱性和增減性，對所給結(jié)論依次進行判斷即可，熟知二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由所給圖形可知，拋物線的開口向下，∴，拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，∴，∴，∵拋物線與軸的交點在正半軸，∴，∴，故①符合題意，∵拋物線的開口向下，且對稱軸為直線，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，則對于拋物線上的任意一點（橫坐標(biāo)為m），其函數(shù)值不大于，即，∴，故②符合題意，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即，故③符合題意，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，函數(shù)值小于零，∴，又∵，∴，即，故④符合題意，∵拋物線對稱軸為直線，且時函數(shù)值小于零，∴當(dāng)時，函數(shù)值小于零，又∵當(dāng)時，函數(shù)值大于零，則，∴，∴，故⑤不符合題意，∴符合題意的有個，故選C．12．【正確答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義可得，則可推出的長與的長之和等于圓心角是，半徑為的扇形弧長，據(jù)此可判斷Ⅰ；連接，可證明，，則由圓周角定理可證明，得到，則，解直角三角形求出的長即可判斷Ⅱ；由圓周角定理可證明，則由三角形內(nèi)角和定理可得，據(jù)此可判斷Ⅲ．【詳解】解：是等邊三角形，，，∴的長與的長之和等于圓心角是，半徑為的扇形弧長，∴的長與的長之和為定值，故結(jié)論Ⅰ正確；當(dāng)時，連接，如圖所示，則，是等邊三角形，，∴，∴，∴，∴，∵點O為的中點，∴，，∴，∴點到的距離是，故結(jié)論Ⅱ正確；是等邊三角形，，，∵，∴，∴，∴使得的值有無數(shù)個，故結(jié)論Ⅲ錯誤，故選A．13．【正確答案】【分析】將代入方程，可得的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，再代入代數(shù)式求解即可．【詳解】∵m，n是方程的兩根，∴，，∴．14．【正確答案】【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的計算，掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均數(shù)的計算方法解題即可．【詳解】解：選手的綜合成績?yōu)?15．【正確答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識，設(shè)為向左平移后與相切的圓，切點為，連接交于，過作于，于，則即為平移的距離，，，先由直角三角形的性質(zhì)得，再由矩形的性質(zhì)得，則，由平行線的性質(zhì)得，求出，然后由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)為向左平移后與相切的圓，切點為，連接交于，過作于，于，如圖所示，則即為平移的距離，，，∵，是的平分線，∴，∵，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，由平移的性質(zhì)得，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，即平移的距離為.16．【正確答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，根據(jù)垂徑定理得，利用勾股定理，作適當(dāng)?shù)妮o助線，運用數(shù)形結(jié)合的思想，理解當(dāng)，重合時，最小，有最大值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點O作于M，連接、，如圖：

根據(jù)垂徑定理得：，，，在中，為定值，當(dāng)最小時，的值最大，過點作，則，當(dāng)，重合時，最小，此時的值最大，在中，，，，，，即：，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，.17．【正確答案】（1）見詳解（2）①1，3；②【分析】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．（1）先利用對稱軸方程得到拋物線的對稱軸為直線，則利用對稱性得到和對應(yīng)的函數(shù)值，然后通過描點法畫出函數(shù)圖象；（2）①方程的兩個解就是使函數(shù)為0所對應(yīng)的自變量的值，即拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)為方程的解；②先確定和所對應(yīng)的函數(shù)值，時有最小值，然后利用增減性求解．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，和對應(yīng)的函數(shù)值相等，即，；和對應(yīng)的函數(shù)值相等，即時，；補全表格，如下；…01234……3003…函數(shù)圖象如圖，；（2）解：①當(dāng)和時，，方程的兩個解為，.②時，，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍是．18．【正確答案】（1），，．（2）男生更喜歡《哪吒2》，理由見詳解（3）280人【分析】本題考查了由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、中位數(shù)、眾數(shù)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義求得，進而得出評分在的人數(shù)，求得的值；（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)分析，即可求解；（3）用和分別乘以評分在C組的占比再求和，即可求解．【詳解】（1）解：名女生對《哪吒2》的評分分?jǐn)?shù)：，，，，，，，，，．出現(xiàn)最多，則，根據(jù)統(tǒng)計表可得滿分的有人，則中位數(shù)為第和第6個數(shù)據(jù)，名男生對《哪吒2》的評分分?jǐn)?shù)在C組的數(shù)據(jù)是：，，．則按從小到大排列，第個數(shù)據(jù)為，第個數(shù)據(jù)為，則根據(jù)扇形統(tǒng)計圖可得評分分?jǐn)?shù)為和的人數(shù)和為，且的人數(shù)都不為，∴評分分?jǐn)?shù)為和的人數(shù)都是人∴，則（2）男生更喜歡《哪吒2》，理由如下：根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)分析，男生的中位數(shù)和眾數(shù)都比女生的高，因此，男生更喜歡《哪吒2》．（3）答：估計這些學(xué)生中對《哪吒2》的評分在C組約有280人．19．【正確答案】（1）y=?10x＋500；（2）w＝-10x2＋700x?10000；（3）銷售單價定位30元時，此時利潤最大，最大利潤是2000元．【分析】（1）根據(jù)“某類型口罩進價每袋為20元，當(dāng)售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋”，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤=每袋口罩的利潤×銷售量，得到銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）利用配方法將w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式變形為w＝?10（x?35）2＋2250，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，即可解決最值問題．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得，y＝250?10（x?25）＝?10x＋500；（2）由題意得，w＝（x?20）（?10x＋500）＝?10x2＋700x?10000；（3）根據(jù)題意得，，∴x的取值范圍為：27≤x≤30，∵函數(shù)w＝?10（x?35）2＋2250，∴當(dāng)x＝30時，w最大值＝2000．答：銷售單價定位30元時，此時利潤最大，最大利潤是2000元．20．【正確答案】（1）見詳解；（2）．【分析】（1）根據(jù)四邊形是的內(nèi)接四邊形，可得，再根據(jù)結(jié)合圓周角定理即可得出，從而證得平分；（2）連接并延長交于點，連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角結(jié)合勾股定理可求得的長，從而求得，再根據(jù)圓周角定理可知，從而可得的值．【詳解】（1）證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，，平分；（2）解：如圖，連接并延長交于點，連接，是直徑，，，的半徑為2，，，，，．21．【正確答案】（1），（2）存在，或或或【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）待定系數(shù)法求解析式，進而化為頂點式求得頂點坐標(biāo)，即可求解；（2）先求得所在直線的表達(dá)式為．得出，根據(jù)求得，進而根據(jù)，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，得解得∴該拋物線的表達(dá)式為，∴頂點的坐標(biāo)為．（2）存在．設(shè)所在直線的表達(dá)式為，將點，代入，得解得∴所在直線的表達(dá)式為．∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，，∴．∵，∴，∴，∴，即或．解，得，；解，得，，∴點的坐標(biāo)為或或或．22．【正確答案】（1）點A的豎直高度為；（2）點A的豎直高度升高了；（3）圓心O運動的路徑長為【分析】（1）連接，過點O作，與交于點C，與交于點D，利用垂徑定理和勾股定理解答即可；（2）過點A作于點于點F，利用矩形的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，利用勾股定理求得x值，則當(dāng)與相切于點B時，A的豎直高度為，利用即可求得結(jié)論；（3）依題意的長即為點O運動的路徑長，利用（1）的結(jié)論和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得圓心角的度數(shù)，再利用弧長公式解答即可．【詳解】解：（1）連接，過點O作，與交于點C，與交于點D，如圖，由題意得：，，∵，∴，在中，，∴，∴，即點A的豎直高度為；（2）當(dāng)與相切于點B時，過點A作于點E，于點F，如圖，∵與相切于點B，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，，設(shè)，∴，在中，，在中，，∴，解得：，即：，∴當(dāng)與相切于點B時，A的豎直高度為，∵，∴點A的豎直高度升高了；（3）解：如圖，根據(jù)題意可得的長即為點O運動的路徑長，由（1）知：，，∴，∵，∴，∴，∴的長，∴圓心O運動的路徑長為．23．【正確答案】（1）（2）拋物線的表達(dá)式為（3）球能越過球網(wǎng)，球不會出界，理由見詳解（4）【分析】（1）拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，OB＝m