2026屆廣西欽州市第三中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長為（）A.1 B.2C.4 D.62．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.3．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a值為（）A.1 B.C.1或 D.4．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.5．中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且6．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.7．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊8．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.09．直線的傾斜角為（）A B.C. D.10．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．某手機(jī)上網(wǎng)套餐資費(fèi)：每月流量500M以下（包含500M），按20元計(jì)費(fèi)；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時(shí)，超出部分按0.15元/M計(jì)費(fèi)；超過1000M時(shí)，超出部分按0.2元/M計(jì)費(fèi)，流量消費(fèi)累計(jì)的總流量達(dá)到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個(gè)月的費(fèi)用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點(diǎn)M，則的最大邊是AB的概率為______14．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________15．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則______16．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則正整數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)18．（12分）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實(shí)軸長為2.（1）求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.19．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）命題：函數(shù)有意義；命題：實(shí)數(shù)滿足.（1）當(dāng)且為真時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的動(dòng)直線交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長.【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長為，故選：C.2、D【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.3、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選：A4、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B5、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即故答案為D.6、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.7、C【解析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.8、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B9、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C10、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.11、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒達(dá)到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C12、D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出滿足條件的長度，再結(jié)合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)?shù)降木嚯x都大于時(shí)，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：14、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)15、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故答案為：216、13【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及可求k.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知計(jì)算雙曲線的基本量，得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程，再用點(diǎn)到直線距離公式得解.（2）直線方程代入雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理弦長公式列方程得解.【小問1詳解】雙曲線離心率為，實(shí)軸長為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；∴雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即為，∴雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為.【小問2詳解】設(shè),,聯(lián)立，，，，，，解得19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間位置關(guān)系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點(diǎn)，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，而且，則，，設(shè)平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，所以平?【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.21、(1)；(2)【解析】(1)首先將命題，化簡，然后由為真可得，均為真，取交集即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為是的必要不充分條件，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】(1)若命題為真，則，解得，當(dāng)時(shí)，命題，若命題為真，則，解得，所以，因?yàn)闉檎?，所以，均為真，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為(2)因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題中的單個(gè)命題的真假，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．第(2)問關(guān)鍵是將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合間的真包含關(guān)系22、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(