2026贏在微點(diǎn)高考數(shù)學(xué)考前頂層設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)專題五平面解析幾何微專題14直線與圓1.兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在,則l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù),則要考慮斜率是否存在.2.兩個(gè)距離公式(1)兩平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=|C(2)點(diǎn)(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=Ax3.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),半徑為r.(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為-D2,-E2,(3)圓的參數(shù)方程:以(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程為x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(其中θ為參數(shù))4.與圓的切線有關(guān)的常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線的方程為x0x+y0y=r2.5.兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,若兩圓相交,則有一條公共弦,公共弦所在直線的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.微點(diǎn)一直線的方程例1(1)(多選題)對(duì)于直線l1:ax+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0,則(ABC)A.l1∥l2的充要條件是a=3或a=-2B.當(dāng)a=25時(shí),l1⊥lC.直線l2經(jīng)過第二象限內(nèi)的某定點(diǎn)D.點(diǎn)P(1,3)到直線l1的距離的最大值為32解析對(duì)于A,若l1∥l2,則a(a-1)-6=0,解得a=3或a=-2,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,所以a=3或a=-2,所以l1∥l2的充要條件是a=3或a=-2,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)a=25時(shí),3a+2(a-1)=65-65=0,所以l1⊥l2,故B正確;對(duì)于C,由l2:3x+(a-1)y+3-a=0,得(y-1)a+3x-y+3=0,令y-1=0,3x-y+3=0,解得x=-23,y=1,所以直線l2經(jīng)過定點(diǎn)-23,1,位于第二象限,故C正確;對(duì)于D,由l1:ax+2y+3a=0,得(x+3)a+2y=0,令x+3=0,2y=0,解得x=-3,y=0,所以直線l1過定點(diǎn)M(-3,0),當(dāng)PM⊥l1時(shí),點(diǎn)P(1,3)到直線l1的距離最大,最大值為(2)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是25,則m+n=3.解析因?yàn)橹本€l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0平行,所以21=n-2≠-6m,解得n=-4且m≠-3,所以直線l2為2x-4y-6=0,直線l1:x-2y+m=0(m>0)化為2x-4y+2m=0(m>0),因?yàn)閮善叫芯€間的距離為25,所以|2m-(-6)|22+(-4)2=25,得|2m+6|=20,因?yàn)閙>0,所以2m+6=20,解得m解決直線方程問題的要點(diǎn):(1)熟悉不同形式的直線方程中的參數(shù)的幾何意義;(2)能夠熟練地將直線的方程與直線相結(jié)合;(3)要注意各種形式的直線方程的“短板”,要考慮到斜率不存在的情況,同時(shí)注意斜率為零時(shí)直線方程的特征.訓(xùn)練1(多選題)已知直線l:3x-y+1=0,下面四個(gè)說法中正確的是(CD)A.若直線m:x-3y+1=0,則l⊥mB.與直線n:23x-2y+3=0之間的距離是1C.點(diǎn)(3,0)到直線l的距離為2D.過點(diǎn)(23,2),并且與直線l平行的直線方程為3x-y-4=0解析直線m的斜率k=33,傾斜角為π6,與直線l不垂直,A不正確;直線n:23x-2y+3=0化為3x-y+32=0,所以直線l與直線n的距離為1-32(3)2+(-1)2=14,B不正確;點(diǎn)(3,0)到直線l的距離d=3×3-0+1|2=2,C正確;過點(diǎn)(23,2)與直線l平行的直線方程為y-2=3(微點(diǎn)二圓的方程例2(1)經(jīng)過A(1,1),B(-1,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為(C)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析設(shè)經(jīng)過A,B,C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意可得1+1+D+E+F=0,1+1-D+E+F=0,0+4+2E+F=0,解得D=0,E=-2,F=0.且滿足D2+E2-4F=4>0,所以經(jīng)過A,B,C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-2y=0,即為x2+(y-1(2)已知圓C1:x2+y2=4與圓C2關(guān)于直線2x+y+5=0對(duì)稱,則圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)A.(x+4)2+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2=4C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4解析由題意可得,圓C1的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,設(shè)圓心C1(0,0)關(guān)于直線2x+y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)為C2(a,b),則ba×(-2)=-1,2×a2+b2+5=0,解得a=-4,b=-2,所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+4求圓的方程的方法(1)幾何法:通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量,確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì):①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.(2)代數(shù)法:設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.訓(xùn)練2(1)已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切,圓心在直線y=-x上,則圓C的方程為(D)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2解析因?yàn)閳A心在直線y=-x上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),因?yàn)閳AC與直線y=x及x-y-4=0都相切,所以a+a2=a+a-4|2,解得a=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,-1),又|1+1|2=r,所以r=2,所以圓C的方程為(x-1)2+(y+1)(2)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2解析設(shè)C(a,0)(a>0),由題意知|2a5=455,解得a=2,所以r=22+(-5)2=3.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為微點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系考向1直線與圓相切例3(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)過點(diǎn)(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=(B)A.1 B.154 C.104 D解析解法一:因?yàn)閤2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圓心C(2,0),半徑r=5,過點(diǎn)P(0,-2)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,B,因?yàn)閨PC|=22+22=22,則|PA|=|PC|2-r2=3,可得sin∠APC=522=104,cos∠APC=322=64,則sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2×104×64=154,cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=642-1042=-解法二:圓x2+y2-4x-1=0的圓心C(2,0),半徑r=5,過點(diǎn)P(0,-2)作圓C的切線,切點(diǎn)為A,B,連接AB,如圖,可得|PC|=22+22=22,則|PA|=|PB|=|PC|2-r2=3,因?yàn)閨PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB,且∠ACB=π-∠APB,則3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π-∠APB),即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB,解得cos∠APB=-14<0,即∠APB為鈍角,則cosα=cos(π-∠APB)=-cos∠APB=14,且α考向2直線與圓相交例4(多選題)已知直線l:mx+y-2m=0與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),則下列選項(xiàng)中正確的是(CD)A.線段AB最短為22B.△AOB的面積的最大值為22C.若P是圓上任意一點(diǎn),則不存在m,使得∠APB取最大值D.過點(diǎn)A,B分別作直線l的垂線,與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|CD|=210,則|AB|=10解析對(duì)于A,因?yàn)閘:mx+y-2m=0過定點(diǎn)(2,0)且斜率存在,所以圓心O到l的距離d滿足0≤d<2,所以|AB|>22,故A不正確;對(duì)于B,△AOB的面積S=12×2×2×sin∠AOB≤12×2×2×1=2,當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=22時(shí)取最大值,而|AB|>22,故B不正確;對(duì)于C,由圓周角定理可得,因?yàn)閨AB|不存在最小值,所以鈍角∠APB不存在最大值,故C正確;對(duì)于D,設(shè)l的傾斜角為α,由tanα=-m知|cosα|=1m2+1,而圓心O到l的距離d=|2m|m2+1,|AB|=24-d2,所以由|CD||cosα|=|AB|知,|cosα|=22m2+4210m2+1,所以22m2+42考向3直線與圓中的平面向量的交匯例5已知點(diǎn)P(1,0),C(0,3),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B滿足|BC|=1,則OP與PB夾角的最大值為(A)A.5π6 B.2π3 C.π2 解析設(shè)點(diǎn)B(x,y),可得BC=(-x,3-y),因?yàn)閨BC|=1,可得x2+(y-3)2=1,即點(diǎn)B的軌跡是以C(0,3)為圓心,半徑r=1的圓,如圖所示,當(dāng)直線BP與圓C相切且切線在圓心下方時(shí),直線BP的傾斜角最大,即OP與PB夾角最大.設(shè)過點(diǎn)P與圓C相切的直線PB的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,則圓心到直線的距離等于圓的半徑,可得|-3-kk2+1=1,解得k=-33,設(shè)切線的傾斜角為α(0≤α<π),則tanα=-33,可得α=5π訓(xùn)練3(1)(多選題)已知點(diǎn)M在直線l:y-4=k(x-3)上,點(diǎn)N在圓O:x2+y2=9上,則下列說法正確的是(ABD)A.點(diǎn)N到l的最大距離為8B.若l被圓O所截得的弦長(zhǎng)最大,則k=4C.若l為圓O的切線,則k的取值范圍為0,D.若點(diǎn)M也在圓O上,則點(diǎn)O到l的距離的最大值為3解析由題意可知,直線l過定點(diǎn)P(3,4),圓O的圓心為原點(diǎn)O,半徑為3,設(shè)圓心O到直線l的距離為d.當(dāng)OP⊥l時(shí),圓心O到直線l的距離最大,最大距離為32+42=5,所以點(diǎn)N到l的最大距離為5+3=8,故A正確.若l被圓O所截得的弦長(zhǎng)最大,則直線l過圓心O,可得-3k=-4,所以k=43,故B正確.若l為圓O的切線,則|4-3kk2+1=3,解得k=724,故C錯(cuò)誤.若M也在圓O上,則直線l與圓O相切或相交,當(dāng)直線l與圓O相切時(shí),點(diǎn)(2)已知P是圓O:x2+y2=9上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿足PQ=(3,-4),點(diǎn)A(1,1),則|AQ|的最大值為(C)A.8B.9C.29+3D.30+3解析設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),由PQ=(x-x0,y-y0)=(3,-4),得x0=x-3,y0=y+4,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上,即x02+y02=9,則(x-3)2+(y+4)2=9,所以點(diǎn)Q的軌跡是以(3,-4)為圓心,3為半徑的圓.因?yàn)锳(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以點(diǎn)A在圓外,所以|AQ|的最大值為(1-3)(3)(2025·黑龍江模擬)已知圓C:x2+y2-4x=0,過點(diǎn)M(0,1)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|=

455解析x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4,所以圓C的圓心為(2,0),半徑為2,易知其中一條切線與y軸重合,不妨設(shè)此切點(diǎn)為A(0,0),易得|MA|=1.解法一:故以M(0,1)為圓心,|MA|為半徑的圓M的方程為x2+(y-1)2=1,將兩圓的方程相減得到直線AB的方程2x-y=0.將2x-y=0與x2+y2-4x=0聯(lián)立,得5x2-4x=0,解得x=0或x=45.所以得A(0,0),B45,85,故|AB解法二:如圖,連接MC,則MC⊥AB,設(shè)MC與AB的交點(diǎn)為F,由△MAF∽△MCA,可得|MA|2=|MF|·|MC|.又|MC|=|MA|2+|AC|2=5,所以|MF|=55,故|AF|=|AM|2-|MF|2=1微點(diǎn)四圓與圓的位置關(guān)系例6(2025·浙江溫州模擬)(多選題)已知圓O:x2+y2=1,圓C:(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,則(AD)A.兩圓的圓心距|OC|的最小值為1B.若圓O與圓C相切,則a=±22C.若圓O與圓C恰有兩條公切線,則-22<a<22D.若圓O與圓C相交,則公共弦長(zhǎng)的最大值為2解析根據(jù)題意,可得圓O:x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑r=1,圓C:(x-a)2+(y-1)2=4的圓心為C(a,1),半徑R=2.對(duì)于A,兩圓的圓心距d=|OC|=a2+1≥1,故A正確;對(duì)于B,兩圓內(nèi)切時(shí),圓心距d=|OC|=R-r=1,即a2+1=1,解得a=0.兩圓外切時(shí),圓心距d=|OC|=R+r=3,即a2+1=3,解得a=±22.綜上所述,若兩圓相切,則a=0或a=±22,故B不正確;對(duì)于C,若圓O與圓C恰有兩條公切線,則兩圓相交,d=|OC|∈(R-r,R+r),即a2+1∈(1,3),可得1<a2+1<3,解得-22<a<22且a≠0,故C不正確;對(duì)于D,若圓O與圓C相交,則當(dāng)圓O:x2+y2=1的圓心O在公共弦上時(shí),公共弦長(zhǎng)等于2r=2,達(dá)到最大值,因此,兩圓相交時(shí),(1)與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的問題常用幾何法,即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d及半弦長(zhǎng)l2,構(gòu)成直角三角形的三邊,利用其關(guān)系來處理(2)兩圓相交公共弦的方程可通過兩圓方程相減求得,進(jìn)而在一個(gè)圓內(nèi),利用垂徑定理求公共弦長(zhǎng).訓(xùn)練4(多選題)已知圓C1:(x-1)2+(y-3)2=11與圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,則下列說法正確的是(BD)A.若圓C2與x軸相切,則m=2B.若m=-3,則圓C1與圓C2相離C.若圓C1與圓C2有公共弦,則公共弦所在直線的方程為4x+(6-2m)y+m2+2=0D.直線kx-y-2k+1=0與圓C1始終有兩個(gè)交點(diǎn)解析對(duì)于A,由x2+y2+2x-2my+m2-3=0得(x+1)2+(y-m)2=4,所以圓C2的圓心為C2(-1,m),圓C2的半徑r2=2,若圓C2與x軸相切,則|m|=r2=2,即m=±2,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)m=-3時(shí),圓C2的圓心為C2(-1,-3),圓C2的半徑r2=2,因?yàn)閳AC1的圓心為C1(1,3),圓C1的半徑r1=11,所以|C1C2|=210>r1+r2=11+2,所以圓C1與圓C2相離,所以B正確;對(duì)于C,圓C1的一般方程為x2+y2-2x-6y-1=0,圓C2的一般方程為x2+y2+2x-2my+m2-3=0,因?yàn)閳AC1與圓C2有公共弦,所以公共弦所在直線的方程為4x+(6-2m)y+m2-2=0,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)橹本€kx-y-2k+1=0,即y-1=k(x-2),所以直線恒過定點(diǎn)(2,1),因?yàn)?2-1)2+(1-3)2=5<11,所以點(diǎn)(2,1)在圓C1的內(nèi)部,所以直線kx-y-2k+1=0與圓C1始終有兩個(gè)交點(diǎn),所以D正確.綜上,選BD.1.(2024·北京高考)圓x2+y2-2x+6y=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為(D)A.2 B.2 C.3 D.32解析化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-1)2+(y+3)2=10,所以該圓的圓心(1,-3)到直線x-y+2=0的距離為|1-(-3)+2|12+(-1)2=622.(2024·全國(guó)甲卷)已知b是a,c的等差中項(xiàng),直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(C)A.1 B.2 C.4 D.25解析根據(jù)題意有2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直線ax+by+c=0過點(diǎn)M(1,-2).設(shè)圓x2+y2+4y-1=0的圓心為C,連接CM,則AB⊥CM時(shí),|AB|最小,將圓的方程化為x2+(y+2)2=5,則C(0,-2),所以|MC|=1,所以|AB|的最小值為25-|MC|2=4,故選3.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為(B)A.55 B.255 C.35解析因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切,點(diǎn)(2,1)在該圓上,所以可設(shè)該圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為|2×1-1-3|22+(-1)2=255或4.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知直線l:x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個(gè)值22,-2,1解析設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d,由弦長(zhǎng)公式,得|AB|=24-d2,所以S△ABC=12×d×24-d2=85,解得d=455或d=255,又d=|1+1|1+m2=21+m2,所以5.(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍是

13,解析因?yàn)閗AB=a-32,所以直線AB關(guān)于直線y=a對(duì)稱的直線方程為(3-a)x-2y+2a=0.由題意可知圓心為(-3,-2),且圓心到對(duì)稱直線的距離小于或等于1,所以|3(a-3)+4+2a4+(3-a)2≤1.整理,得6a2-11a+3≤0,解得1微練(二十二)直線與圓基礎(chǔ)過關(guān)練一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·安徽一模)已知a是直線2x-y+1=0的一個(gè)方向向量,若a=(m,1),則實(shí)數(shù)m的值為(A)A.12 B.-12 C.2 D解析因?yàn)橹本€2x-y+1=0的斜率為k=2,所以直線的一個(gè)方向向量為(1,2),所以若a=(m,1),則2m-1=0,解得m=122.(2025·山東臨沂一模)圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置關(guān)系是(C)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離解析圓C1:x2+y2=1的圓心C1(0,0),半徑r1=1,圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0,即C2:(x-3)2+(y-4)2=16,圓心C2(3,4),半徑r2=4,則|C1C2|=32+42=5=r1+r2,所以兩圓外切3.(2025·重慶三模)過圓O:x2+y2=1外的點(diǎn)P(3,2)作圓O的一條切線,切點(diǎn)為M,則|MP|=(B)A.2 B.23 C.13 D.4解析由題意有|MP|2=|OP|2-r2=13-1=12,即|MP|=23.故選B.4.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則“直線l的斜率為-1”是“直線l與圓C:(x-1)2+(y-3)2=2相切”的(C)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析如圖,易知點(diǎn)(2,4)在圓C:(x-1)2+(y-3)2=2上,圓心C(1,3)與點(diǎn)(2,4)的連線l'的斜率為4-32-1=1,若直線l的斜率為-1,則l⊥l',則直線l與圓C相切,反之,若直線l與圓C相切,則l⊥l',則直線l的斜率為-1.故選C5.(2025·湖南長(zhǎng)沙模擬)已知圓C與兩坐標(biāo)軸及直線x+y-2=0都相切,且圓心在第二象限,則圓C的方程為(D)A.(x+2)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=2解析由題意設(shè)所求的圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0,b>0),則a=b=r,a+b-2|2=r,即b=-a=r,22=r,解得b=-a=2,r=2,所以圓C的方程為(x+6.過點(diǎn)P(-1,1)的直線l與圓C:x2+y2+4x-1=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(A)A.23 B.15 C.3 D.2解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=5,所以圓C的圓心C(-2,0),半徑r=5.因?yàn)?-1+2)2+12=2<5,所以點(diǎn)P在圓C內(nèi),連接CP,則當(dāng)AB⊥CP時(shí),|AB|取得最小值.因?yàn)閨CP|=(-1+2)2+12=2,所以|AB|min=2r2-|CP7.過直線l:x+y-5=0上的點(diǎn)作圓C:(x-1)2+(y+2)2=6的切線,則切線段長(zhǎng)的最小值為(B)A.6 B.23 C.15 D.32解析如圖,設(shè)直線上任意一點(diǎn)為P,過P作圓的切線,切點(diǎn)為M,圓C的圓心C為(1,-2),半徑r=6,則|MP|=|PC|2-r2=|PC|2-6,要使|MP|最小,則|PC|最小,易知|PC|最小值為圓心C到直線l的距離.即|PC|≥|1+(-2)-5|12+12=38.已知圓C:x2+y2=4,M,N是直線l:y=x+4上的兩點(diǎn).若對(duì)線段MN上任意一點(diǎn)P,圓C上均存在兩點(diǎn)A,B,使得cos∠APB=12,則線段MN長(zhǎng)度的最大值為(CA.2 B.4 C.42 D.43解析如圖,圓C:x2+y2=4的圓心到直線l:y=x+4的距離d=|4|12+(-1)2=22>2=r,所以直線當(dāng)且僅當(dāng)直線PA,PB均與圓C相切時(shí),∠APB最大,不妨設(shè)切線為PE,PF(其中E,F為切點(diǎn)),因?yàn)閏os∠APB=12,所以∠APB=π3,則∠EPF≥π3,所以sin∠EPC=2|PC|≥sinπ6=12,解得|PC|≤4,所以線段MN長(zhǎng)度的最大值為24二、多項(xiàng)選擇題9.若圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-m)2+(y-n)2=4的公共弦AB的長(zhǎng)為23,則下列結(jié)論正確的有(AB)A.m2+n2=4B.直線AB的方程為mx+ny-2=0C.AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=3D.四邊形AC1BC2的面積為3解析兩圓方程相減可得直線AB的方程為2mx+2ny-m2-n2=0,因?yàn)閳AC1的圓心為(0,0),半徑為2,且公共弦AB的長(zhǎng)為23,則C1(0,0)到直線2mx+2ny-m2-n2=0的距離為1,所以m2+n24(m2+n2)=1,解得m2+n2=4,所以直線AB的方程為mx+ny-2=0,故A、B正確;由圓的性質(zhì)可知直線C1C2垂直平分線段AB,所以C1(0,0)到直線2mx+2ny-m2-n2=0的距離即為AB中點(diǎn)與點(diǎn)C1的距離,設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則(x-0)2+(y-0)2=1,即x2+y2=1,故C錯(cuò)誤;易得四邊形AC1BC2為菱形,且|AB|=23,|C1C2|=2,則四邊形AC1BC10.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,點(diǎn)M是直線l:y=-x-1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則下列說法正確的是(ABD)A.切線長(zhǎng)|MA|的最小值為6B.四邊形ACBM面積的最小值為23C.若PQ是圓C的一條直徑,則MP·MQ的最小值為7D.直線AB恒過點(diǎn)1解析圓心C(1,2),C到l的距離為|1+2+1|2=22,令M(m,n),則n=-m-1,由圓的性質(zhì),可得切線長(zhǎng)|MA|=|MC|2-2≥6,A正確;S四邊形ACBM=2S△MAC≥2×6×22=23,B正確;MP·MQ=MC2-CP2=MC2-2≥6,C錯(cuò)誤;切點(diǎn)弦AB的方程(m-1)(x-1)+(n-2)(y-2)=2,將n=-m-1代入,整理得m(x-y+1)-(x+3y-5)=0,由x-y+1=0,11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-2,0),B(4,0),點(diǎn)P滿足|PA||PB|=12,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,下列結(jié)論正確的是(A.C的方程為(x+4)2+y2=9B.在x軸上存在異于A,B的兩定點(diǎn)D,E,使得|PD||PE|=C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),射線PO是∠APB的平分線D.在C上存在點(diǎn)M,使得|MO|=2|MA|解析設(shè)點(diǎn)P(x,y),則|PA||PB|=12=(x+2)2+y2(x-4)2+y2,化簡(jiǎn)整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A錯(cuò)誤;假設(shè)x軸上存在異于A,B的兩定點(diǎn)D,E,使得|PD||PE|=12,可設(shè)D(m,0),E(n,0),可得(x-n)2+y2=2(x-m)2+y2化簡(jiǎn)得3x2+3y2-(8m-2n)x+4m2-n2=0,由P點(diǎn)軌跡方程為x2+y2+8x=0可得8m-2n=-24,4m2-n2=0,解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去),即存在D(-6,0),E(-12,0),故B正確;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí),由|OA||OB|=12=|PA||PB|,可得射線PO是∠APB的平分線,故C正確;設(shè)M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x02+y02=2(x0+2)2+y02,整理得三、填空題12.已知圓C:x2+y2=16上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l:y=3x+b(b>0)的距離等于2,則b的值為4.解析因?yàn)閳AC的方程為x2+y2=16,所以圓心C為(0,0),半徑為4.因?yàn)閳AC上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l:y=3x+b(b>0)的距離等于2,所以只需要圓心C到直線l的距離為2即可,即b(3)2+(-1)2=2,又13.寫出與圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=1都相切的一條直線方程為y=1(答案不唯一).解析圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑為r1=1,圓C2:(x-3)2+y2=1的圓心為C2(3,0),半徑為r2=1,則|C1C2|=3>r1+r2,所以兩圓外離,由兩圓的圓心都在x軸上,則公切線的斜率一定存在,設(shè)公切線方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,則有bk2+1=1,|3k+bk2+1=1,解得k=255,14.(2025·天津高考)l1:x-y+6=0與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與圓(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D兩點(diǎn),|AB|=3|CD|,則r=2.解析對(duì)于直線l1:x-y+6=0,令x=0,得y=6,令y=0,得x=-6,所以A(-6,0),B(0,6),所以|AB|=62.因?yàn)閨AB|=3|CD|,所以|CD|=22.圓(x+1)2+(y-3)2=r2的圓心為(-1,3),圓心到直線l1的距離d=|-1-3+6|2=2,所以r=d2+|CD|能力提升練15.(2025·廣東江門一模)(多選題)已知曲線Γ:x2+y2-5=|2y-2|,則(AD)A.曲線Γ關(guān)于y軸對(duì)稱B.曲線Γ圍成圖形的面積為11πC.曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離最大值為2+10D.若點(diǎn)(x0,y0)是曲線Γ上的點(diǎn),則y07解析對(duì)于A,令(x,y)是曲線Γ上的任意一點(diǎn),即x2+y2-5=|2y-2|,則(-x)2+y2-5=|2y-2|成立,即點(diǎn)(-x,y)在曲線Γ上,因此曲線Γ關(guān)于y軸對(duì)稱,A正確;如圖,當(dāng)y≥1時(shí),x2+y2-5=2y-2,即x2+(y-1)2=4,是以O(shè)1(0,1)為圓心,2為半徑的圓在直線y=1及上方的半圓,當(dāng)y≤1時(shí),x2+y2-5=-2y+2,即x2+(y+1)2=8,是以O(shè)2(0,-1)為圓心,22為半徑的圓在直線y=1及下方部分,對(duì)于B,曲線Γ在直線y=1及上方的半圓面積為2π>11π6,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,曲線Γ在直線y=1及下方部分上的點(diǎn)與點(diǎn)A(3,0)的距離最大值為|AO2|+22=32+(-1)2+22=10+22,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,y07x0-21=17·y0-0x0-3表示曲線Γ上的點(diǎn)P(x0,y0)與點(diǎn)A(3,0)確定直線PA斜率的17,觀察圖形知,當(dāng)過點(diǎn)A的直線與曲線Γ在x軸下方部分相切時(shí),直線PA斜率最大,設(shè)此切線方程為y=k(x-3),k>0,16.(2025·十堰四調(diào))定義:min(P,C)表示點(diǎn)P到曲線C上任意一點(diǎn)的距離的最小值.已知P是圓(x-1)2+y2=9上的動(dòng)點(diǎn),圓C:x2+y2=1,則min(P,C)的取值范圍為[1,3].解析如圖,記O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓C的圓心為原點(diǎn),圓C的半徑為1,由圓的幾何性質(zhì)可知,min(P,C)=|OP|-1,且|AP|-|OA|≤|OP|≤|AP|+|OA|,即3-1≤|OP|≤3+1,即2≤|OP|≤4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P(-2,0)時(shí),|OP|取最小值,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P(4,0)時(shí),|OP|取最大值,故min(P,C)=|OP|-1∈[1,3].微專題15圓錐曲線方程與性質(zhì)1.圓錐曲線的定義(點(diǎn)M為曲線上一點(diǎn))(1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|).(3)拋物線:|MF|=d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).2.圓錐曲線中的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系①在橢圓中:a2=b2+c2,e=ca=1-②在雙曲線中:c2=a2+b2,e=ca=1+(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c,0),F②雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±abx,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,-c),F(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程①拋物線y2=±2px(p>0):焦點(diǎn)坐標(biāo)±p2,0,準(zhǔn)線方程為x②拋物線x2=±2py(p>0):焦點(diǎn)坐標(biāo)0,±p2,準(zhǔn)線方程為y=?微點(diǎn)一橢圓、雙曲線方程及其應(yīng)用例1(1)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知曲線C:x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP',P'為垂足,則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為(A)A.x216+y24=1(y>0) B.x216+C.y216+x24=1(y>0) D.y216+解析設(shè)M(x0,y0),則P(x0,2y0),因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,所以x02+(2y0)2=16(y0>0),即x0216+y024=1(y0>0),所以線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為x216+(2)(2024·天津高考)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是雙曲線右支上一點(diǎn),且直線PF2的斜率為2,△PF1F2是面積為8A.x28-y22=1 B.C.x22-y28=1 D.解析由題意可知,∠F1PF2=90°,又直線PF2的斜率為2,可得tan∠PF2F1=PF1|PF2|=2,根據(jù)雙曲線定義|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12×4a×2a=4a2,又S△PF1F2=8,所以a2=2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又|F1F2|2=4c2,所以c2=10,又a2+b橢圓與雙曲線的方程問題的求解策略(1)當(dāng)條件中涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),就要考慮應(yīng)用橢圓或雙曲線的定義求解,要注意二者定義中,一個(gè)是“和”一個(gè)是“差的絕對(duì)值”.(2)對(duì)于焦點(diǎn)無法確定時(shí),常設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn>0).訓(xùn)練1(1)(2025·山西太原模擬)已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),P(4,3)是C上一點(diǎn),△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I(m,1),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(B)A.x224+y227=1 B.C.x252+y213=1 D.解析依題意,設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由P(4,3)在C上,得16a2+9b2=1,如圖,顯然△PF1F2的內(nèi)切圓與直線F1F2相切,則該圓半徑為1,而S△PF1F2=12(2a+2c)·1=a+c,又S△PF1F2=12·2c·3=3c,于是a=2c,b2=a2-c2=34a2,因此16a(2)過雙曲線C:x24-y2=1的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為θ的直線l交C于M,N兩點(diǎn).若MF1=3F1N,則A.1010 B.31010 C.25解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,連接MF,NF,如圖,由題意可得a=2,b=1,c=5,設(shè)|MF1|=3|F1N|=3t,|MF|=2a+3t=4+3t,|FN|=2a+t=4+t,由余弦定理可得cos∠NF1F+cos∠MF1F=|F1N|2+|F1F|2-|NF|22|F1N|·|F1F+|F1M|2微點(diǎn)二橢圓、雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用考向1離心率例2(1)(2024·全國(guó)甲卷)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,4),(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為(C)A.4 B.3 C.2 D.2解析根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4,根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則16a2-36b(2)(2025·深圳一模)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若直線AP,AQ的斜率之積為-14A.32 B.22 C.12 解析設(shè)P(x0,y0),則Q(-x0,-y0),A(-a,0),由題意知kAP·kAQ=y0x0+a·-y0-x0+a=-14,即y02a2-x02=14,又x02a2+y02b2=1,則y02=考向2漸近線例3(1)(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點(diǎn),則A.55 B.255 C.35解析根據(jù)雙曲線的離心率e=5=ca,得c=5a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2,b2a2=4,所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x,易知漸近線y=2x與圓相交.由y=2x,(x-2)2+(y-3)2=1,消去y,得5x2-16x+12=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=165,x1x2=125.所以|AB|=1+22|x(2)(2025·全國(guó)二卷)(多選題)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,以F1F2為直徑的圓與C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn),且∠NA1M=5πA.∠A1MA2=πB.|MA1|=2|MA2|C.C的離心率為13D.當(dāng)a=2時(shí),四邊形NA1MA2的面積為83解析根據(jù)雙曲線和圓的對(duì)稱性,知四邊形A1MA2N為平行四邊形,因?yàn)椤螻A1M=5π6,所以∠A1MA2=π6,A項(xiàng)正確.如圖,在△A1MO中,|MA1|2=|A1O|2+|OM|2-2|A1O||OM|cos∠MOA1=a2+c2-2accos∠MOA1=a2+c2+2ac×ac=3a2+c2,在△A2MO中,|MA2|2=a2+c2-2accos∠MOA2=a2+c2-2ac×ac=c2-a2,在△A1MA2中,|A2A1|2=|MA1|2+|MA2|2-2|MA1||MA2|cosπ6,即4a2=2c2+2a2-23a2+c2×c2-a2×32,則13a2=c2,所以|MA1|2=16a2,|MA2|2=12a2,所以|MA1|≠2|MA2|,B項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)13a2=c2,得e=13,C項(xiàng)正確.當(dāng)a=2時(shí),|MA1|=42,|MA2|=26,所以四邊形NA1MA2的面積為|MA1||MA1.橢圓、雙曲線的離心率(范圍)的求法:關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系,然后把b用a,c代換,求ca的值(范圍)2.雙曲線的漸近線的求法及用法:(1)求法:把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為0,分解因式可得;(2)用法:①可得ba或ab②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程.訓(xùn)練2(1)(多選題)已知雙曲線C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l:x+by=0是C的一條漸近線,P是l上一點(diǎn)A.C的虛軸長(zhǎng)為22B.C的離心率為6C.|PF|的最小值為2D.直線PF的斜率不等于-2解析雙曲線C:x24-y2b2=1的漸近線方程為bx±2y=0,依題意,-1b=-b2,解得b=2,對(duì)于A,C的虛軸長(zhǎng)2b=22,A正確;對(duì)于B,C的離心率e=a2+b2a=62,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,點(diǎn)F(6,0)到直線l:x+2y=0的距離612+(2)2=2,即|PF|的最小值為2,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,直線l:x+2y=0的斜率為-22,(2)已知雙曲線C:x2a2-y23=1(a>0)過點(diǎn)(-2,1),則其漸近線方程為解析因?yàn)殡p曲線C:x2a2-y23=1(a>0)過點(diǎn)(-2,1),即有4a2-13=1,解得a=3或a=-3(舍去),而b=3,故漸近線方程為y=±bax微點(diǎn)三拋物線方程與性質(zhì)及其應(yīng)用例4(1)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(B)A.2 B.22 C.3 D.32解析解法一:設(shè)點(diǎn)A(m,n),因?yàn)辄c(diǎn)A在C:y2=4x上,所以n2=4m①,又F(1,0),B(3,0),則|AF|=|BF|=2,則有(m-1)2+(n-0)2=2②,聯(lián)立①②式,解得m=1,n2=4,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,所以n=2,則A(1,2),所以|AB|=(3-1)2+解法二:設(shè)點(diǎn)A(m,n),由題意得F(1,0),又B(3,0),則|AF|=|BF|=2,即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,則m-(-1)=2,m=1.將(1,n)代入y2=4x得n2=4,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,所以n=2,則A(1,2),所以|AB|=(3-1)2+(0-2)2=22(2)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)(多選題)拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,P為C上的動(dòng)點(diǎn).過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點(diǎn).過P作l的垂線,垂足為B,則(ABD)A.l與☉A相切B.當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),|PQ|=15C.當(dāng)|PB|=2時(shí),PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)解析對(duì)于A,易知l:x=-1,故l與☉A相切,A正確;對(duì)于B,A(0,4),☉A的半徑r=1,當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),P(4,4),所以|PA|=4,|PQ|=|PA|2-r2=42-12=15,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)|PB|=2時(shí),P(1,2),B(-1,2)或P(1,-2),B(-1,-2),易知PA與AB不垂直,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,記拋物線C的焦點(diǎn)為F,連接AF,PF,易知F(1,0),由拋物線定義可知|PF|=|PB|,因?yàn)閨PA|=|PB|,所以|PA|=|PF|,所以點(diǎn)P在線段AF的中垂線上,線段AF的中垂線方程為y=14x+158,即x=4y-152,代入y2=4x可得y2-16y+30=0,解得y=8±34利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí),要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來建立已知量與p的關(guān)系,靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論,使問題簡(jiǎn)單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量.訓(xùn)練3已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線C上,射線FM與y軸交于點(diǎn)A(0,2),與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N,FM=55MN,則p的值等于(A.18 B.2 C.14 D解析依題意F點(diǎn)的坐標(biāo)為p2,0,設(shè)M在準(zhǔn)線上的射影為K,如圖,由拋物線的定義知|MF|=|MK|,因?yàn)镕M=55MN,所以|FM||MN|=55,可得|MK||MN|=55,則|KN|∶|KM|=2∶1,所以kFN=0-2p2-0=-4p,1.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2,若e2=3e1,則A.233 B.2 C.3 D解析由e2=3e1,得e22=3e12,因此4-14=3×a2-1a2,而a>12.(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)(多選題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則(BCD)A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2解析將點(diǎn)A(1,1)的坐標(biāo)代入x2=2py(p>0),解得p=12.所以拋物線C:x2=y,其準(zhǔn)線方程為y=-14,所以A錯(cuò)誤.由y=x2,得y'=2x.當(dāng)x=1時(shí),y'=2,所以拋物線在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程為y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切線y=2x-1過點(diǎn)B,所以B正確.設(shè)直線PQ:y=kx-1,P(x1,x12),Q(x2,x22).將PQ:y=kx-1與C:x2=y聯(lián)立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=x12+x14·x22+x24=|x1x2|1+x12·1+x22=2+x12+x22>2+2|x1x2|=2=|OA|2,所以3.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A|=13,|AB|=10,則解析由|AB|=10及雙曲線的對(duì)稱性得|AF2|=|AB|2=5,因?yàn)閨AF1|=13,所以2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8,2c=|F1F2|=AF1|2-AF2|2=132-52=12,所以a=44.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,F1A⊥F1B,F解析依題意,得F1(-c,0),F2(c,0),設(shè)A(x0,y0),B(0,t),因?yàn)镕2A=-23F2B,所以(x0-c,y0)=-23(-c,t),則x0=53c,y0=-23t,所以A53c,-23t.又可知點(diǎn)A在雙曲線右支,所以由雙曲線的定義得2a=53c+c2+-23t-02-53c-c2+-23t-02,整理得2a=649c2+49t2-49c2+49t2①.因?yàn)镕1A⊥F1B,所以F1A·F1B=83c,-23微練(二十三)圓錐曲線方程與性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·云南一模)若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為4,實(shí)軸長(zhǎng)為A.2 B.12 C.2 D.解析由題可得2c=4,2a=2,所以a=1,c=2,所以雙曲線的離心率為e=ca=22.已知直線l:y=-3(x-1)經(jīng)過橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)A,A.4 B.23 C.3 D.2解析l:y=-3(x-1)的斜率為-3,經(jīng)過點(diǎn)(1,0),故其傾斜角為2π3,因此∠AFO=π3,由于|AO|=b,|OF|=c=1,所以tan∠AFO=bc=3,所以b=3,故a=c2+b2=2,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)和雙曲線x2-y23=1的右頂點(diǎn)重合,則p的值為(A.1 B.2 C.4 D.6解析因?yàn)殡p曲線x2-y23=1的右頂點(diǎn)為(1,0),拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為p2,0,所以p2=1,解得p4.已知雙曲線C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.y=±2x B.y=±3xC.y=±12x D.y=±3解析根據(jù)題意,雙曲線C的離心率為e=1cos30°=132=23=ca?c=23a,所以b=c2-a2=43a2-a2=33a,則雙曲線C:y2a2-5.(2025·十堰四調(diào))設(shè)雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為53,實(shí)軸長(zhǎng)為6,若曲線C2上的點(diǎn)到雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26,A.x242-y232=1 C.x232+y242=1 解析因?yàn)殡p曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為6,所以a=3,因?yàn)殡p曲線C1的離心率為ca=53,所以c=5,則b=c2-a2=4,所以,雙曲線C1的方程為x29-y216=1,因?yàn)榍€C2上的點(diǎn)到雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為26,由橢圓的定義可知,曲線C2是以雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26的橢圓,設(shè)橢圓C2的方程為x2m2+y2n2=1(m>n>0),則m=13,所以n=m2-6.(2025·臨汾一模)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,若M是雙曲線左支上的一點(diǎn),且3|MF2|=5|MF1A.2 B.3 C.4 D.5解析如圖所示,設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,則有3n=5m,n-m=2a,解得m=3a,因?yàn)镸是雙曲線左支上的一點(diǎn),所以m≥c-a>0,即3a≥c-a,解得e=ca≤4,故選C7.(2025·岳陽一模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(-1,0),F2(1,0)分別為橢圓的左右焦點(diǎn),離心率為12,點(diǎn)P為直線x=a2上的一點(diǎn).當(dāng)△PF1FA.1 B.2 C.4 D.8解析如圖,設(shè)△F1F2P的外接圓的圓心為M,則M在F1F2的垂直平分線上,又P在x=a2上,M在y軸上,所以|MP|≥a2,即當(dāng)△F1F2P的外接圓的半徑為|MP|=a2時(shí),周長(zhǎng)取最小值,由題意可知,c=1,ca=12,即a=2,所以該圓的半徑為4.故選8.(2025·天津高考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以右焦點(diǎn)F2為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,A.2 B.5C.2+12 解析由題意知c=p2,所以拋物線方程為y2=4cx.因?yàn)閨PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|F1F2|=2c,所以|PF1|+|PF2|=6c,又點(diǎn)P在雙曲線上且在第一象限,由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3c+a,|PF2|=3c-a,如圖所示,過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為P',因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上,所以|PF2|=|PP'|=xP+c=3c-a,所以xP=2c-a,yP=PF1|2-|PP'|2=3c+a)2-3c-a)2=23ac,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程,可得(23ac)2=4二、多項(xiàng)選擇題9.關(guān)于雙曲線4x2-y2+64=0,下列說法正確的有(ABC)A.實(shí)軸長(zhǎng)為16B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,45),(0,-45)C.離心率為5D.漸近線方程為y=±x解析因?yàn)?x2-y2+64=0,所以y2-4x2-64=0,化簡(jiǎn)得y264-x216=1,則a=8,b=4,c=45,對(duì)于A,則實(shí)軸長(zhǎng)為2a=16,故A正確;對(duì)于B,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,45),(0,-45),故B正確,對(duì)于C,離心率為e=ca=458=52,故C正確,對(duì)于D,漸近線方程為y=±2x10.(2025·湘豫名校聯(lián)考)已知在平面直角坐標(biāo)系中,曲線x216+y29-k=1(k≠9)的離心率為直線4x+y-2=0在某一坐標(biāo)軸上的截距,則k的值可能是A.57 B.-3 C.-39 D.-37解析由4x+y-2=0,可得直線在x軸上的截距為12,在y軸上的截距為2,若曲線x216+y29-k=1(k≠9)的離心率為12,則9-k>0,16-9+k16=14或9-k>0,9-k-169-k=14,解得k=-3或k=-373,若曲線x216+y29-k=1(k≠9)的離心率為11.(2025·聊城一模)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(9,6)在C上,直線PF交C于另一點(diǎn)Q,則(BD)A.C的準(zhǔn)線方程為x=1B.直線PQ的斜率為3C.|FQ|=2D.線段PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為41解析對(duì)于A,因?yàn)辄c(diǎn)P(9,6)在拋物線C上,則18p=36,解得p=2,故拋物線C的方程為y2=4x,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線PQ的斜率k=6-09-1=34,B正確;對(duì)于C,直線PQ的方程為y=34(x-1),聯(lián)立y=34(x-1),y2=4x,解得x=9,y=6或x=19,y=-23,即Q19,-23,故|FQ|=19+p2=三、填空題12.(2025·安陽模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為3a解析因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b,則b=3a,雙曲線的離心率e=c13.(2025·長(zhǎng)沙二模)已知圓N:x2+y2-6y+5=0,直線y=-1,圓M與圓N外切,且與直線y=-1相切,則點(diǎn)M的軌跡方程為x2=12y.解析如圖,由題意得,直線l:y=-1,且圓N:x2+(y-3)2=4,設(shè)圓M的半徑為r,則點(diǎn)M到l':y=-3與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離相等,都是r+2,故點(diǎn)M的軌跡是以N為焦點(diǎn),以l'為準(zhǔn)線的拋物線,故方程為x2=12y.14.(2025·湖北聯(lián)考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|BF2|,|AB|=|BF1|,則橢圓解析如圖,由已知可設(shè)|F2B|=x,則|AF2|=2x,|BF1|=|AB|=3x,由橢圓的定義有|BF1|+|BF2|=2a=4x,故x=a2.所以|AF2|=a=|AF1|,|BF1|=|AB|=3a2,故點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).在△AF1B中,由余弦定理推論得cos∠F1AB=a2+9a24-9a242·a·3a2=13.在△AOF2中,設(shè)∠OAF2=θ,故cos∠F1AB=cos2θ=1-2sin2θ=13,得能力提升練15.(2025·哈爾濱一模)已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點(diǎn)P,過P點(diǎn)能作圓C1的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,且∠APB=π2,A.0,22 BC.0,12 D解析如圖,由對(duì)稱性可知,∠APB=2∠APO,因?yàn)閟in∠APO=|OA||OP|=b|OP|≥ba,∠APO∈0,π2,所以當(dāng)點(diǎn)P位于長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)∠APO最小,由題可知,在橢圓C2上存在一點(diǎn)P,使得∠APB=π2,只需當(dāng)點(diǎn)P位于長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),∠APO≤π4,即ba≤22,故e=1-b2a2≥22,16.已知橢圓C:x24+y2b2=1(0<b<2).A-12,0,B(1,0),若橢圓C上存在3個(gè)不同的點(diǎn)P滿足|PB|=2|PAA.0,22 BC.22,1 D解析設(shè)P(x,y),由|PB|=2|PA|,得(x-1)2+y2=2x+122+y2,化簡(jiǎn)得(x+1)2+y2=1,即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(-1,0)為圓心,1為半徑的圓,則該圓與橢圓C有3個(gè)交點(diǎn),由x2+y2+2x=0,b2x2+4y2=4b2,消去y得(4-b2)x2+8x+4b2=0,即(x+2)x+2b24-b2=0,顯然-2是方程的一個(gè)解,點(diǎn)(-2,0微專題16直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.中點(diǎn)弦問題已知A(x1,y1),B(x2,y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)C(x0,y0),直線AB的斜率為k.(1)若橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1則k=-b2a2(2)若雙曲線E的方程為x2a2-y2b2=1(則k=b2a2(3)若拋物線E的方程為y2=2px(p>0),則k=py0=2.弦長(zhǎng)問題已知A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k(k≠0),則|AB|=1+k2|x1-x2或|AB|=1+1k2|y1-=1+13.圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式:S=12×底×高(2)正弦面積公式:S=12absin(3)鉛錘水平面面積公式;①過x軸上的定點(diǎn):S=12a|y1-y2|(a為x軸上定長(zhǎng)②過y軸上的定點(diǎn):S=12a|x1-x2|(a為y軸上定長(zhǎng))微點(diǎn)一中點(diǎn)弦問題例1(1)已知雙曲線x2-y22=1,過點(diǎn)P(1,1)的直線l與該雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),若P是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程為(A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.該直線不存在解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,代入雙曲線方程得x12-y122=1,x22-y222=1,兩式相減得x12-x22=y122-y222,得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)2,若P是線段AB的中點(diǎn),則x1+x2=2,y1+y2=2,所以y1-y(2)已知橢圓C:x2a2+y24=1與直線mx+2y-4=0交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1),則橢圓C的方程為

解析將M(2,1)代入直線mx+2y-4=0,可得2m+2-4=0,m=1,所以直線方程為x+2y-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程得x12a2+y124=1,x22a2+y224=1,兩式相減得x12-x22a2+y12-y224=0,即(x1-x2)(x1+x2)a2求解與中點(diǎn)弦有關(guān)問題的兩種方法(1)方程組法:聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,消元(x或y)成為二次方程之后,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,建立等式關(guān)系或不等式關(guān)系.(2)點(diǎn)差法:若題中已有直線與圓錐曲線相交和被截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),代入圓錐曲線的方程并作差,從而求出直線的斜率,然后利用中點(diǎn)求出直線方程.“點(diǎn)差法”中必須保證判別式Δ大于零.訓(xùn)練1(1)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點(diǎn),若線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-23,則此雙曲線的方程為(DA.x23-y24=1 B.C.x25-y22=1 D.解析設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由題意可得a2+b2=7,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則MN的中點(diǎn)為-23,-53,由x12a2-y12b2=1且x22a2-y22b2=1,得(x1+x2)(x1-x2(2)(2025·保定模擬)不與坐標(biāo)軸垂直的直線l過點(diǎn)N(x0,0),x0≠0,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于l對(duì)稱,線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1).若x1=2x0,則解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在橢圓C中,設(shè)A(x2,y2),B(x3,y3),則x22a2+y22b2=1,x32a2+y32b2=1,所以x22-x32a2=-y22-y32b2,因?yàn)锳,B關(guān)于l對(duì)稱,所以x2≠x3,所以-b2a2=(y2-y3)(y2+y3)(x2-x3)(x2+x3),由線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),得出y2+y微點(diǎn)二弦長(zhǎng)問題例2(2025·全國(guó)二卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求C的方程;(2)過點(diǎn)(0,-2)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△OAB的面積為2,求|AB|.解(1)由2a=4,得a=2.由題意得e=ca=22,則c=22a=2,又b2=a2-c2,所以b=2.所以C的方程為x2(2)由題意得l的斜率存在,設(shè)l:y=kx-2,代入x24+y22=1,消去y并化簡(jiǎn)得(1+2k2)x2-8kx+4=0,由Δ=16(2k2-1)>0,得k2>12,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=8k1+2k2,x1x2=41+2k2.S△OAB=12×2×|x2-x1|=(x1+解決弦長(zhǎng)問題的注意點(diǎn)(1)設(shè)直線方程時(shí),需考慮特殊直線,如斜率不存在、斜率為0的直線等.(2)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí),Δ>0易漏掉.(3)|AB|=x1+x2+p是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式,其他情況該公式不成立.訓(xùn)練2已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)B,若|AB|=1227,求直線l解(1)由題意可得,a=2.因?yàn)閑=ca=12,所以c=1,則b=a2-c2=3,故橢圓C(2)由題意可知,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2).聯(lián)立x24+y23=1,y=k(x-2),得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,易知Δ>0.設(shè)B(x2,y2),則2x2=16k2-124k2+3,所以x2=8k2-64k2+3,y2=-12k4k2+3,因?yàn)閨AB|2=(x2-2)2+y22=12272,所以8k2-64k2微點(diǎn)三面積與直線方程問題例3(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(0,3)和點(diǎn)P3,32分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(1)求C的離心率;(2)若過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)B,且△ABP的面積為9,求l的方程.解(1)由題意得b=3,9a2+94b2=1,解得b(2)易知kAP=3-320-3=-12,則直線AP的方程為y=-12x+3,即x+2y-6=0,|AP|=(0-3)2+3-322=352,由(1)知C:x212+y29=1.設(shè)點(diǎn)B到直線AP的距離為d,則d=2×9352=1255,則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移1255個(gè)單位長(zhǎng)度即可,此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B,設(shè)該平行線的方程為x+2y+C=0,則C+6|5=1255,解得C=6或C=-18,當(dāng)C=6時(shí),聯(lián)立x212+y29=1,x+2y+6=0,解得x=0,y=-3或x=-3,y=-32,即B(0,-3)或-3,-32,當(dāng)B(0,-3)時(shí),此時(shí)kl=32,直線l的方程為y=32x-3,即3x-2y-6=0,當(dāng)B-3,-32時(shí),此時(shí)kl=12,直線l的方程為y圓錐曲線中的面積問題常見的是三角形的面積問題,有時(shí)也會(huì)考查平行四邊形的面積,或?qū)蔷€互相垂直的四邊形的面積問題,求解此類問題通常是借助弦長(zhǎng)公式或點(diǎn)到直線的距離公式,用某些量表示面積,再利用函數(shù)、方程或不等式知識(shí)求解.訓(xùn)練3(2025·滄衡聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線為y=±(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過點(diǎn)P43,0的直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)S△OAB=4059時(shí),解(1)雙曲線的頂點(diǎn)(a,0)到漸近線5x±2y=0的距離為5a3,所以5a3=253,即a=2,又因?yàn)閎a=52,所以b=5,(2)因?yàn)镻43,0,設(shè)直線AB的方程為x=my+43,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+43,x24-y25=1,消去x化簡(jiǎn)得(45m2-36)y2+120my-100=0,由45m2-36≠0且Δ=3600(9m2-4)>0,解得m2>49且m2≠45,由根與系數(shù)關(guān)系得:y1+y2=-120m45m2-36,y1y2=-10045m2-36,所以|AB|=1+m2|y1-y2|=201+m2·9m2-43|5m2-4|,原點(diǎn)O到直線AB的距離d=43m2+1,所以S△OAB=409m2-49|5m2-4|,所以4059=409m2-49|5m2-4|,化簡(jiǎn)得125m4-209m2+84=0,即(125m1.(2025·全國(guó)二卷)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在C上,過A作C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為B.若直線BF的方程為y=-2x+2,則|AF|=(C)A.3 B.4 C.5 D.6解析根據(jù)直線y=-2x+2得F(1,0),所以C的準(zhǔn)線方程為x=-1,C的方程為y2=4x,所以B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF|=|AB|=5.2.(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離2,則p=(B)A.1 B.2 C.22 D.4解析拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2,0,其到直線x-y+1=0的距離d=p2-0+112+(-1)2=2,解得p=23.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,則m=(A.23 B.23 C.-23 D解析由題意,F1(-2,0),F2(2,0),△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,所以點(diǎn)F1到直線AB的距離是點(diǎn)F2到直線AB的距離的2倍,即|-2+m2=2×2+m2,解得m=-23或m=-32(此時(shí)直線與橢圓C4.(2025·天津高考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為12,P為直線x=a上一點(diǎn),且直線PF的斜率為(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)P的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)B(異于點(diǎn)A),求證:PF平分∠AFB.解(1)由題意可設(shè)P(a,y0)(y0>0),因?yàn)镕(-c,0),A(a,0),kPF=13,S△PFA=32,e=12,所以y0a+c=13,12(a+c)·y0=32,c(2)證明:由(1)知F(-1,0),P(2,1),易知直線PB的斜率存在,設(shè)PB:y-1=k(x-2),由y-1=k(x-2),x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+8(2k2-2k-1)=0,因?yàn)镻B與橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn),所以Δ=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=0,解得k=-12,所以xB=--8k2k-1)2(4k2+3)=1,則yB=32,所以B1,32,所以直線BF的斜率為321-(-1)=34.微練(二十四)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)練一、單項(xiàng)選擇題1.若直線y=x-1與橢圓x2+3y2=a有且只有一個(gè)公共點(diǎn),那么a的值為(C)A.12 B.23 C.34 解析因?yàn)榉匠蘹2+3y2=a表示的曲線為橢圓,則a>0,將直線y=x-1的方程與橢圓的方程聯(lián)立,得y=x-1,x2+3y2=a,可得4x2-6x+3-a=0,則Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=02.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,若拋物線C上存在關(guān)于直線l:x-y-2=0對(duì)稱的不同兩點(diǎn)P和Q,則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(A)A.(1,-1) B.(2,0)C.12,-32 D.(解析因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,則p=1,所以拋物線方程為y2=2x.設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y12=2x1,y22=2x2,則(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),所以kPQ=2y1+y2.又因?yàn)镻,Q關(guān)于直線l對(duì)稱.所以kPQ=-1,即y1+y2=-2,所以y1+y223.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線x-y+2=0與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.若P為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OP的斜率為-12A.x23+y2=1 B.x2C.x25+y23=1 D.解析因?yàn)橹本€x-y+2=0過點(diǎn)F(-2,0),所以c=2且kAB=1,可得kAB=-b2a2·x0y0=-b2a2·1kOP=1,所以b2a2=12,即a2=2b2=b2+c2,所以b=c=24.已知直線l:x-2y-2=0與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn).若弦AB被直線m:x+2y=0平分,A.12 B.24 C.32 解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)橄褹B被直線m:x+2y=0平分,設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),所以x1+x22+2×y1+y22=x0+2y0=0①,因?yàn)辄c(diǎn)A,B在直線l:x-2y-2=0上,代入可得x1=2y1+2,x2=2y2+2,兩式相減可得x1-x2=2(y1-y2)②,又點(diǎn)A,B在橢圓上,代入可得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b25.(2025·安陽模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為P,離心率為12.過點(diǎn)F1且垂直于PF2的直線與C交于M,N兩點(diǎn),|MN|=6,則|A.4 B.5 C.6 D.7解析如圖,連接PF1,MF2,NF2.因?yàn)閑=ca=12,即a=2c,b2=a2-c2=3c2,因?yàn)閨PF1|=|PF2|=a=2c=|F1F2|,則△PF1F2為正三角形.又MN⊥PF2,則直線MN為線段PF2的垂直平分線,故|PM|=|MF2|,|PN|=|NF2|,且∠NF1F2=π6,故直線MN的方程為y=33x+c,代入橢圓C的方程x24c2+y23c2=1,得13x2+8cx-32c2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-8c13,x1·x2=-32c213,則|MN|=1+13(x1+x2)2-4x1·x2=43-8c132-4×-32c213=48c13=66.(2025·廣東二模)從雙曲線x2-y23=1上一點(diǎn)M向該雙曲線的兩條漸近線作垂線,垂足分別為A,B,已知|MA|+|MB|=2,則|AB|=(A.72 B.74 C.132解析根據(jù)雙曲線具有的對(duì)稱性,不妨設(shè)雙曲線上第一象限的點(diǎn)M(m,n),m>0,n>0,則由雙曲線可得漸近線方程為y=±3x,即y±3x=0,所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得:|MA|=n-3m|2,|MB|=n+3m|2,由|MA|+|MB|=2,得n-3m|2+n+3m|2=2?|n-3m|+n+3m=4,由雙曲線上第一象限的點(diǎn)可知0<n<