2017年秋季凸優(yōu)化期中考試試題_第1頁
2017年秋季凸優(yōu)化期中考試試題_第2頁
2017年秋季凸優(yōu)化期中考試試題_第3頁
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12017年秋季凸優(yōu)化期中考試試題1.（10分）分別證明如下兩個集合為凸錐(convexcone)，寫出并證明其對偶錐(dualcone)的具體形式。XT=X;X≥0}.xTAx+bTx+c≤0}.(a)證明:如果A半正定,則Ω是凸集。(b)證明:令g∈Rn非零。如果存在λ∈R使得A+λggT半正定,則集合Ω與超平面gTx+h=0的交集是3.（30分）(a)給定c∈Rn,討論下列問題的最優(yōu)解：n,分情況討論下列問題的最優(yōu)解：cTx;s.t.xTAx≤1.}.將下列問題寫成寫成二次錐規(guī)劃：minsup(1/2)xTPx+qTx;s.t.Ax≤b.(d)令A(yù)i∈Sm,A(x)=A0+x1A1+···+xnAn,λmax(A(x))是矩陣A(x)的最大特征值。證明問題λmax(A(x))可以寫成半定規(guī)劃(semide?niteprogramming)。4.（20分）(a)證明：f(x)=1x/2)2在定義域domf=R上為凹(concave)函數(shù)。(b)證明：f(x;u;v)=?log(uv?xTx)在定義域domf={(x;u;v)|uv>xTx;u;v>0;u;v∈R;x∈Rn}上是(c)證明：f(X)=trace(X?1)在定義域domf=S上是凸函數(shù)。(d)寫出函數(shù)f(x)=?log(t2?xTx)在定義域domf={(x;t)∈Rn×R|ⅡxⅡfunction)。5.（30分）(a)寫出下面問題的對偶問題及其最優(yōu)性條件：minx∈Rnmaxi=1;...;m(ax+bi)σ2(c)寫出下面問題的對偶問題及其最優(yōu)性條件：

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