12線段、角綜合問題探究目錄A題型建模?專項突破題型一、線段動點問題——計算問題（重點） 1題型二、線段動點問題——等量關(guān)系探究（難點） 5題型三、角的旋轉(zhuǎn)問題（重點） 10題型四、定義性與理解性問題（（難點）） 19B綜合攻堅?能力躍升題型一、線段動點問題——計算問題1．（24-25七年級上·全國·期末）如圖，線段AB=20cm，O是線段AB上的中點，P、Q是線段AB上的動點，點P沿A→B→A以4cm/s的速度運動，點Q沿B→A以2cm/s的速度運動．若PA．0s、10s或53s B．0s、5sC．0s、103s、203s或10s D．0s、5s【答案】C【分析】本題考查了動點問題、一元一次方程的應(yīng)用，學會根據(jù)兩點間的距離列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)運動時間為ts，分別表示出OP和OQ的長，再結(jié)合OP=OQ【詳解】解：∵線段AB=20cm，O是線段AB∴AO設(shè)運動時間為ts，則BQ∴AQ∴OQ∵點P沿A→B→∴分兩種情況討論：①當點P沿A→B運動時，點P到達點B需要時間當0≤t≤5時，∴OP∵OP∴10-4∴10-4t=10-2t解得：t=0或t②當點P沿B→A運動時，此時5≤t≤10∴AP∴OP∵OP∴30-4∴30-4t=10-2t解得：t=10或t∴綜上所述，當OP=OQ時，運動時間為0s、103s、故選：C．2．（24-25七年級下·河南南陽·期中）已知線段AB=12cm，動點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿A→B→A運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A運動，其中一點到達終點時，另一點也停止運動．當點P出發(fā)【答案】3或6【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及兩點間的距離，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．利用時間=路程÷速度，可求出點P，Q到達終點所需時間，設(shè)點P的運動時間為ts，分0≤t≤4及4<t≤8兩種情況考慮，當0≤t≤4時，AP=3tcm，BQ=tcm，根據(jù)AP+BQ=AB，可列出關(guān)于【詳解】解：12÷3=4(s)，4×2=8(s設(shè)點P的運動時間為ts，當0≤t≤4時，AP=3根據(jù)題意得：3t解得：t=3當4<t≤8時，BP=(3根據(jù)題意得：3t解得：t=6綜上所述，當點P出發(fā)3s或6s時，P，Q兩點重合．故答案為：3或6．3．如圖，點C是線段AB上一點，AB=18cm，動點M從A出發(fā)以4cm/s的速度沿直線AB向終點運動，同時動點N從C出發(fā)以2cm/s速度沿直線AB向終點B運動，當有一點到達終點后，兩點均停止運動，在運動過程中，總有MC=2BN，則【答案】6cm/6厘米【分析】本題主要考查線段的和差關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握線段的和差關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)運動時間為t秒，BC=x，將圖中線段用t和x的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)【詳解】解：設(shè)運動時間為t秒，BC=x，則依題意得AM=4tcm，CN=2t根據(jù)在運動過程中，總有MC=2BN得：解得：x=6cm故答案為：6cm．4．（24-25七年級下·湖南衡陽·月考）如圖，點C在射線AB上，且在點A、B之間，AB=18，AC=2BC．動點P從C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB向右勻速運動；同時動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿射線AB運動，遇到點P時按原速返回點C停止運動．當點Q停止運動時，點P也隨之停止運動，設(shè)點Q(1)AC=(2)當點P是線段BC的中點時，求PQ的長．【答案】(1)12(2)6【分析】本題考查了線段的和差倍分的計算，運動問題，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握線段的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)AC=2BC，且（2）根據(jù)題意，得AQ=3t，CP=t，當點【詳解】（1）解：∵根據(jù)AC=2BC，且∴2CB∴CB=6∴AC=2故答案為：12．（2）解：∵動點P從C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB向右勻速運動；同時動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿射線AB運動，設(shè)運動時間為t，得AQ=3t，CP當點P是線段BC的中點時，CP=故此時t=3∴AQ=9，CP∴PQ=5．如圖，已知A、B、C是數(shù)軸上三點，O為原點，點A、點B在原點的右側(cè)，點C在原點左側(cè)，點A表示的數(shù)為m，若關(guān)于x的多項式-x3+12x2(1)求點B、點C在數(shù)軸上所表示的數(shù)；(2)動點P從點C出發(fā)，以每秒6個單位的速度沿數(shù)軸的正方向運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸的正方向運動，M為AP的中點，點N在BQ上，且QN=23BQ，設(shè)運動時間為t?t>0(3)在（2）的條件下，若R為PQ的中點，求t為何值時，滿足2OM【答案】(1)點B所表示的數(shù)是10；點C所表示的數(shù)是-(2)點M所表示的數(shù)是3t-8；點(3)t=1或【分析】本題主要考查了數(shù)軸、絕對值方程、兩點間距離等知識點，理解題意，學會構(gòu)建絕對值方程解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出OB、（2）先表示出點P表示的數(shù)為：-20+6t，點Q表示的數(shù)為：10+3t，再根據(jù)題意可得點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)為-20+6t（3）由題意可得點R表示的數(shù)為9t-102、點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)為3t-8，點N【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的多項式-x3+12∴m=4∴OA=4∵AB=6∴OB=10∴點B所表示的數(shù)是10；點C所表示的數(shù)-20（2）解：由題意可得：點P表示的數(shù)為：-20+6t，點Q表示的數(shù)為：∵M為AP的中點，點N在BQ上，且QN=∴點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)為-20+6t+42=3（3）解：∵點P表示的數(shù)為：-20+6t，點Q表示的數(shù)為：10+3t，R∴點R表示的數(shù)為-20+6∵點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)為3t-8，點N∴OM=∵2OM∴23①當0<t≤109時，②當109<t≤8③當t>83時，6綜上所述，t=1s或2s題型二、線段動點問題——等量關(guān)系探究1．（25-26七年級上·江西吉安·期中）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為12，且AB=18，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點P在向左的運動過程中，M，N始終為AP，PB的中點，設(shè)運動時間為t①B對應(yīng)的數(shù)是-6②點P到達點B時，t=9③BP=2時，t④當t=3時，點N⑤在點P的運動過程中，線段MN的長度會改變．A．①②③ B．①③⑤ C．①②④ D．①④⑤【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)兩點間距離進行計算即可判斷①；利用路程除以速度即可判斷②；分兩種情況，點P在點B的右邊，點P在點B的左邊，由題意求出AP的長，再利用路程除以速度即可判斷③；求出點P表示的數(shù)為6，可得點N表示的數(shù)為0即可判斷④；分兩種情況，點P在點B的右邊，點P在點B的左邊，利用線段的中點性質(zhì)進行計算即可判斷⑤．【詳解】解：∵已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為12，且AB=18∴B對應(yīng)的數(shù)為12-18=-6，故①正確；∵18÷2=9，∴點P到達點B時，t=9，故②當點P在點B右邊時，∵BP=2∴AP=16∴t當點P在點B左邊時，∵BP=2∴AP=18+2=20∴t=20÷2=10∴BP=2時，t=8或10，故當t=3時，AP∴點P表示的數(shù)為12-6=6，∵點N為PB的中點，∴點N表示的數(shù)為-6+62=0在點P的運動過程中，當點P在點B右邊時，MN=在點P的運動過程中，當點P在點B左邊時，MN=∴在點P的運動過程中，線段MN的長度不會發(fā)生變化，故⑤錯誤；∴正確結(jié)論有①②④，故選：C．2．（24-25七年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，點A、B、C、D為直線l上從左到右的四個點，且AB:BC:CD=3:1:2，動點P、Q在直線l上，點P從點A出發(fā)向右運動，同時點Q從點D出發(fā)向左運動，點P的速度是點QA．AP B．BP C．CP D．DP【答案】C【分析】本題主要考查線段的和差關(guān)系，數(shù)軸上的動點問題，根據(jù)題意，設(shè)AB=3a,BC=a,【詳解】解：∵AB∴設(shè)AB∵點P的速度是點Q的速度的2倍∴設(shè)AP∴PQCPPQ∴若要知道PQ的長，則只要知道CP的長，故選：C．3．如圖，點A、B、C在同一條直線上，點D為BC的中點，點P為AC延長線上一動點(AD≠DP)，點E為AP的中點，則【答案】±2【分析】設(shè)AB=x，BC=y，CP=【詳解】解：設(shè)AB=x，BC=當AD>則AD=AB+BD=xDE=AD-則AC當AD<則AD=AB+BD=xDE=AE-則AC故答案為：±24．（24-25七年級上·貴州·期末）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為-4，且AB=10．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒（t(1)當t=1時，AP的長為，點P表示的有理數(shù)為(2)當PB=2時，求t(3)M為線段AP的中點，N為線段PB的中點．在點P運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖象，并求出線段MN的長．【答案】(1)2；-(2)4或6(3)不變，見解析，長度始終是5【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段的和差運算和線段的中點的定義，只要能夠畫出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問題要全面．（1）根據(jù)點P的運動速度，即可求出；（2）當PB=2時，要分兩種情況討論，點P在點B（3）分兩種情況結(jié)合中點的定義可以求出線段的長度不變．【詳解】（1）解：因為點P的運動速度每秒2個單位長度，所以當t=1時，AP的長為2因為點A對應(yīng)的有理數(shù)為-4，AP所以點P表示的有理數(shù)為-2（2）解：當PB=2點P在點B的左側(cè)時，因為AB=10，所以AP所以t=4點P在點B的右側(cè)時，AP=12所以t=6綜上分析可知：t的值為4或6；（3）解：MN長度不變且長為5．理由如下：當P在線段AB上時，如圖，

∵M為線段AP的中點，N為線段PB的中點，∴MP=12∴MN=∵AB=10∴MN=5當P在線段AB的延長線上時，如圖，同理可得：MN=綜上：MN=55．（25-26七年級上·安徽馬鞍山·期中）已知代數(shù)式M=a-16x3+20x2+10x+5是關(guān)于(1)求a，(2)若動點P，Q分別從C，O兩點同時出發(fā)，向右運動，且點Q不超過點A，點P不超過點B．在運動過程中，點E為線段AP的中點，點F為線段BQ的中點，若動點P的速度為每秒2個單位長度，動點Q的速度為每秒【答案】(1)a=16，b=20，(2)是定值，值為2【分析】本題考查了數(shù)軸上動點問題、多項式的定義，根據(jù)二次多項式的次數(shù)及系數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點間的距離的表示方法，利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)代數(shù)式M=(a-16)x3+20x2+10x+5是關(guān)于x的二次多項式，得出（2）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，則AP=24-2t，BQ=20-3t，AB=4，BP=28-2t，AQ=16-3t，當t<163時，根據(jù)線段的和差得到EF=6+12t，BP-AQ=12+t，即可求出比值；當【詳解】（1）解：∵Ma-16x3∴a=16，∴AB∵AC∴AC∴16-c∴c∴a=16，b=20（2）設(shè)點P的出發(fā)時間為t秒，由題意得：AP=24-2t，BQ=20-3t，AB=4當t<163∴EF=AE-AF=BP-∴BP-當t≥163時，此時點Q與點A此時AQ=0，點F對應(yīng)的數(shù)值為16+20÷2=18，點P在點∴OP∴點E對應(yīng)的值為OP+∴EF∵BP∴BP∴BP綜上，BP-AQEF題型三、角的旋轉(zhuǎn)問題1．（24-25七年級上·河北滄州·期中）如圖1，點A，O，B依次在直線MN上；如圖2，現(xiàn)將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0≤tA．當t值為10秒時，∠B．整個運動過程中，不存在∠AOBC．當∠AOB=60°時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為D．當t值為36秒時，射線OB恰好平分∠【答案】D【分析】本題主要考查了角的運算，角平分線，一元一次方程的應(yīng)用等知識，根據(jù)角的運算，角平分線，一元一次方程的應(yīng)用逐一排除即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當t=10時，∠AOM=20°∴∠AOBB、由題意得∠AOB當0<t<45時，∠AON則180-2t解得t=15∴整個運動過程中，存在∠AOBC、由題意得∠AOB當0≤t≤45時，∠AON則180-2t解得t=20當45<t≤90時，∠AON則180-2t解得t=80∴當∠AOB=60°時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t為20或D、當t=36時，∠AOM=72°∴∠MOB故選：D．2．（24-25七年級下·重慶巫山·期中）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC,∠BOC=120°，一塊三角板∠MON=90°,∠OMN=30°,∠ONM=60°的直角頂點與點O重合，邊OM在射線OB上，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°A．5 B．6 C．5或23 D．6或24【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及角平分線的定義，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．由∠AOC與∠BOC互補，可求出∠AOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可得出∠AOE與∠COE的度數(shù)，由∠NOF與∠BOF互余，結(jié)合對頂角相等，可求出∠NOF的度數(shù)，根據(jù)“在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t【詳解】解：∵∠AOC∴∠AOC如圖，EF平分∠AOC，當ON旋轉(zhuǎn)到直線EF∴∠AOE∵∠NOF+∠BOF∴∠NOF根據(jù)題意得：10t=60或解得：t=6或t∴t的值為6或24．故選：D．3．（24-25七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，∠AOB是直角，∠AOC=50°，射線OP從邊OA出發(fā)，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)直至與邊OBA．OP平分∠AOC B．OP平分C．OC平分∠BOP D．OC平分【答案】D【分析】本題考查了角平分線定義的應(yīng)用，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合圖形，逐一判斷各選項，可得到結(jié)果．【詳解】解：當射線OP旋轉(zhuǎn)到∠AOP則OP平分∠AOC故A選項可能出現(xiàn)，不符合題意；當射線OP旋轉(zhuǎn)到∠AOP則OP平分∠AOB故B選項可能出現(xiàn)，不符合題意；當射線OP旋轉(zhuǎn)到∠BOC則OC平分∠BOP故C選項可能出現(xiàn)，不符合題意；∵∠AOC若∠AOC則∠POC∴∠APC但∠AOB是直角為90°，且射線OP從邊OA出發(fā)，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)直至與邊OB故在∠AOB中不可能有一個大于90°的∠故D選項不可能出現(xiàn)，符合題意，故選：D．4．一副直角三角板按如圖①放置，點B、O、D在同一直線上，∠B=∠D=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°，△【答案】26.25或206.25或116.25或296.25【分析】此題主要考查了角平分線定義和幾何圖形中角度計算問題，作∠AOB的平分線為OE，∠COD的平分線為OF，求出∠EOF=127.5°，然后分如圖，當E1、O、F1共線時，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為x，即x+127.5°+【詳解】解：如圖，作∠AOB的平分線為OE，∠COD的平分線為∴∠EOB=1∴∠EOF如圖，當E1設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為x，即x+127.5°+解得：x=26.25°如圖，當E2設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為y，即y-解得：y=206.25°如圖，當OE3和設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為m，即m+127.5°+解得：m=116.25°如圖，當OE4和設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為n，即n+127.5°+解得：n=296.25°當∠AOB和∠COD的平分線在同一直線上時，這兩個三角形都旋轉(zhuǎn)了26.25°或206.25°或116.25°故答案為：26.25或206.25或116.25或296.25．5．（24-25七年級上·陜西咸陽·階段練習）如圖，已知∠COD=∠AOB=70°，當∠COD繞著點O旋轉(zhuǎn)且OC在∠AOB【答案】140°/140度【分析】本題主要考查了平面圖形中角的計算，設(shè)∠BOD=x【詳解】解：設(shè)∠BOD∵∠COD∴∠BOC∴∠AOD故答案為：140°．6．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖1．點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線(1)將圖1中的三角板繞點O處逆時針（箭頭所指方向）旋轉(zhuǎn)至圖2．使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部且恰好平分∠BOC，求(2)將圖1中的三角板繞點O順時針（箭頭所指方向）旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部．則∠AOM-∠NOC=(3)將圖1中的三角板繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當射線OA、OC、ON【答案】(1)150°(2)30(3)30或120或210【分析】本題主要考查了利用鄰補角互補求角度，角平分線的有關(guān)計算，熟練掌握角平分線的有關(guān)計算并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）利用鄰補角互補可求出∠BOC=180°-∠AOC=120°，由OM平分∠BOC（2）由角的和差關(guān)系可得∠AON=90°-∠AOM，∠（3）分三種情況討論：①當OA平分∠CON時；②當ON平分∠AOC時；③當OC平分【詳解】（1）解：∵∠AOC∴∠BOC∵OM恰好平分∠∴∠COM∴∠CON（2）解：∵∠AON∠AON∴90°-∠AOM∴∠AOM故答案為：30；（3）解：分三種情況討論：①如圖，當OA平分∠AON∠AON∴旋轉(zhuǎn)的角度是90°-60°=30°；②如圖，當ON平分∠AOC∠AON∴旋轉(zhuǎn)的角度是90°+30°=120°；③如圖，當OC平分∠AON∠AON∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°+90°=210°；綜上，當射線OA、OC、ON中的某一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是30°或故答案為：30或120或210．7．（24-25七年級上·云南昆明·期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部作射線OC，使∠AOC與∠AOB互補，將射線OA，OC同時繞點O分別以每秒12°，每秒8°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線OA，OC分別記為OM，ON，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t(1)∠AOC=(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當∠COM與∠BON互余時，求【答案】(1)66°(2)當∠COM與∠BON互余時，t的值是1.2秒或【分析】本題考查了補角的定義，角的和差，一元一次方程的應(yīng)用及分類討論的數(shù)學思想．熟記補角的定義是解（1）的關(guān)鍵，分類討論是解（2）的關(guān)鍵．（1）利用互補的定義列式計算；（2）分兩種情況：利用∠COM【詳解】（1）解：∵∠AOC與∠∴∠AOC∵∠AOB∴∠AOC（2）解：當t<5.5時，射線OM在∠AOC內(nèi)部，射線ON在由題意得66-12t解得：t=1.2當t>6時，射線ON在∠BOC外部，射線OM在由題意得12t解得：t=10.2綜上所述，當∠COM與∠BON互余時，t的值為1.2或8．（24-25七年級上·貴州遵義·階段練習）綜合與探究已知O是直線AB上一點，∠COD是直角，OE平分∠(1)如圖1，若∠AOC=40°，求(2)如圖2，若OF平分∠BOD，求∠(3)如圖3，當∠AOC=40°時，∠COD繞點O以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ts(0<t【答案】(1)20°(2)45°(3)當0<t≤8時，∠AOC=2∠【分析】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，補角的定義等知識的綜合運用，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）由補角及直角的定義可求得∠BOD的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解∠（2）由角平分線的定義可得∠EOF（3）可分兩總情況：①0<t≤8時，【詳解】（1）解：∵∠AOC∴∠BOC∵∠COD∴∠COD∴∠BOD∵OE平分∠∴∠BOE∴∠DOE（2）解：∵OE平分∠BOC，OF平分∴∠BOE=1∴∠EOF∵∠COD∴∠EOF（3）解：①0<t≤8時，由題意得∴∠DOE=90°-=20°-5∴∠AOC②8<t由題意得∠AOC∴∠=90°+=200°-5∴∠AOC題型四、定義性與理解性問題1．定義：如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，若ACAB≈0.618，則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金“右割”點；由圖形不難發(fā)現(xiàn)，線段AB上另有一點D把線段AB分成兩條線段AD和BD，也滿足BDAB≈0.618，點D叫做線段AB的黃金“左割”點．如果AB=2A．1.382 B．0.764 C．0.472 D．0.236【答案】C【分析】本題考查線段的和差關(guān)系，由已知得出BD=AC≈0.618【詳解】解：∵BDAB≈0.618，∴BD=∵AB=2∴CD=故選：C．2．定義：若兩個角的度數(shù)差的絕對值等于60°，則稱這兩個角互為“優(yōu)角”，其中一個角是另一個角的“優(yōu)角”．如∠α=100°，∠β=40°，∠α-∠β=60°，則∠α和∠β互為“優(yōu)角”．如圖，∠AOB=120°，射線OC平分∠AOB

A．6對 B．7對 C．8對 D．9對【答案】B【分析】本題考查了新型定義及角的和差關(guān)系，掌握角的和差是解題的關(guān)鍵．根據(jù)互為“優(yōu)角”的定義進行解答即可．【詳解】解：∵∠AOB=120°，射線OC平分∠∴∠AOC∵∠∴∠AOB、∠AOC互為“∵∠AOB∴∠AOB、∠BOC互為∵∠∴∠AOB、∠EOF互為“∵∠∴∠AOF、∠AOE互為∵∠∴∠AOF、∠COF互為∵∠∴∠BOE、∠BOF互為∵∠∴∠BOE、∠EOC互為故共有7對角互為“優(yōu)角”故選∶B．3．（24-25七年級上·河北邯鄲·期中）定義：如圖1，點C在射線AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“美點”．如圖2，已知AB=24cm，動點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)沿AB相向運動，速度分別為2cms，1cms，當點P到達點B時，運動停止．設(shè)點P的運動時間為ts，當點P恰好是線段AQ的“美點”時，A．185 B．65 C．247【答案】D【分析】本題考查了幾何新定義，一元一次方程的應(yīng)用，線段的和差計算，根據(jù)題意，分別表示出AP,AQ,PQ，根據(jù)新定義可得PQ=2【詳解】解：動點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)沿AB相向運動，速度分別為2cms，1cms，設(shè)點P的運動時間為∴AP=2t，當AP+BQ=24時，P解得：t當t<8時，PQ當8<t≤12時，∴PQ=由新定義可知PQ=2AP或AQ=2當PQ=2AP時，則解得t=247當AQ=2AP時，則解得t=當AP=2PQ時，則解得t=6或t∴t的最大值為12，最小值為247∴12-24故選：D．4．定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成1:2兩個部分的射線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條．如圖1，∠AOB=2∠BOC，則OB

（1）如圖1，若∠AOC=57°，則∠（2）如圖2，若∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB①則∠COD=②若以點O為中心，將∠COD順時針旋轉(zhuǎn)n°（0<n<90）得到∠C'OD'【答案】19°/19度40°/40度1603或【分析】本題屬于新定義類型的問題，主要考查了角的計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握角的三分線的定義，解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．（1）根據(jù)三分線的定義計算即可；（2）①根據(jù)三分線的定義計算即可；②根據(jù)三分線的定義可得∠BOC=∠COD=∠AOD=40°，由旋轉(zhuǎn)得∠C'OD'=∠COD=40°，然后分兩種情況：當OA是【詳解】解：（1）解：∵∠AOC=57°∴∠BOC故答案為：19°；（2）①∵OC，OD是∠AOB的兩條三分線，∠AOB∴∠COD=故答案為：40°；②∵∠AOB=120°，OC，OD是∴∠BOC由旋轉(zhuǎn)得：∠C'O分兩種情況：當OA是∠C'OD'∴∠DO∴∠COC'當OA是∠C'OD'∴∠DOD'故答案為：1603或2005．（24-25七年級上·四川成都·期末）定義：過一個角的頂點在角的內(nèi)部作一條射線，把這個角分成兩個小角，且這兩個小角的度數(shù)滿足2倍關(guān)系，則稱這條射線為這個角的“倍分線”．已知射線OC為∠AOB的“倍分線”，若∠BOC=40【答案】60°或120°【分析】本題考查了角的和差倍分關(guān)系，角的和差，分∠AOC=2∠BOC【詳解】解：當∠AOC=2∠BOC∴∠AOB當∠BOC=2∠AOC∴∠AOB綜上，∠AOB=60°或故答案為：60°或120°．6．（2025七年級上·全國·專題練習）定義：在直線l上的三點A，B，C，若滿足CB=2CA，則稱點C是點A關(guān)于點B的“半距點”．如圖，若M，N，P三點在同一直線m上，且點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，MN=10cm，則PM【答案】103或【分析】本題考查線段的和差，熟練找出已知條件中線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．對點P在線段MN之間和在MN的反向延長線上時的情況，分別畫出示意圖，再據(jù)此進行計算即可．【詳解】解：由題知，當點P在線段MN之間時，如圖所示，∵點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，∴∵∴當點P在MN的反向延長線上時，如圖所示，因為點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，∴∵∴綜上所述，PM=103或故答案為：103或107．（24-25七年級上·遼寧遼陽·期末）定義：如果從一個角的頂點引出的一條射線，與角的一條邊組成的角是原來的角的13，則這條射線叫原來角的“新生線(1)如圖1，∠MOP=2∠PON，射線OP∠MON的“新生線”（填“是”或(2)點M、O、N在同一直線上，①在圖2中，∠AON=72°，射線OC在∠AOM的內(nèi)部，并且是∠AOM的“新生線”，OD平分∠COM②如圖3，OA⊥MN，∠AOB=44°，射線OC從OM出發(fā)繞點O以每秒6°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC與射線ON重合時，運動都停止．當射線OC是∠MOD【答案】(1)是(2)①36°或18°；②27.2或687或【分析】本題考查了新定義，角的數(shù)量關(guān)系，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用．理解“新生線”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“新生線”的定義及計算方法即可求解；（2）①射線OC在∠AOM的內(nèi)部，并且是∠AOM的“新生線”，分類討論，當∠AOC②OC到ON的時間范圍為30s，當OC追上OB的時間為t=11.5s，當OC追上OA的時間為t=22.5s，分類討論：第一種情況，當OC在OB右側(cè)時，即0<t<11.5；第二種情況，當OC在OA左側(cè)時，即22.5<t<30；第三種情況，當OC在∠AOB內(nèi)部，且在OD左側(cè)，即11.5≤t≤22.5【詳解】（1）解：∵∠MOP=2∠PON，設(shè)∠∴∠MON∴∠PON∴∠PON是∠MON的∴OP是∠MON故答案為：是；（2）解：①射線OC在∠AOM的內(nèi)部，并且是∠AOM的“新生線當∠AOC∵點M、O、N在同一直線上，∠AON∴∠AOM∴∠AOC∴∠COM∵OD平分∠COM∴∠DOM當∠MOC同理，∠AOM∴∠MOC∵OD平分∠COM∴∠DOM綜上所述，∠DOM的大小為36°或18°②射線OC從OM出發(fā)繞點O以每秒6°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，∠AOB繞點O以每秒2°∴OC到ON的時間范圍為：180°÷6°=30s．∵OA⊥MN，∴∠BOM∴當OC追上OB的時間為：46°+2°t解得：t=11.5s當OC追上OA的時間為：90°+2°t解得：t=22.5s第一種情況，當OC在OB右側(cè)時，即0<t∴∠COM=6°t，∠∵射線OD平分∠AOB∴∠AOD∵∠MOD當∠COM∴6°t解得：t=當∠COD∠=22°+46°+2°t∴68°-4°t解得：t=第二種情況，當OC在OA左側(cè)時，即22.5<t當∠COD∵∠MOD∴∠COD∴4°t解得：t=27.2s第三種情況，當OC在∠AOB內(nèi)部，且在OD左側(cè)，即11.5≤當∠COD∵∠MOD∴∠COD∴4°t解得：t=27.2s第四種情況，當OC在∠AOB內(nèi)部，且在OD右側(cè)，即11.5≤當∠COD∵∠MOD∴∠=46°+2°t∵∠MOD∴68°-4°t解得：t=當∠COM∴6°t解得：t=綜上可知t的值為27.2或687或178．（25-26七年級上·福建泉州·期中）【知識準備】若數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為x，點B對應(yīng)的數(shù)為y，C為AB的中點，則我們有中點公式：點C對應(yīng)的數(shù)為x+【問題探究】在一條數(shù)軸上，O為原點，點A對應(yīng)的數(shù)為4，點B對應(yīng)的數(shù)為-2（1）直接寫出：AB的中點C對應(yīng)的數(shù)為；（2）動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度向右運動．設(shè)運動時間為t秒．求當t為何值時，PQ的中點所對應(yīng)的數(shù)為5.5？【拓展延伸】若數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為x，點B對應(yīng)的數(shù)為y，點M為AB靠近點A的三等分點，則我們有三等分點公式：點M對應(yīng)的數(shù)為2x若數(shù)軸上點A的對應(yīng)數(shù)為x，點B的對應(yīng)數(shù)為y，點M為AB最靠近點A的四等分點，則我們有四等分點公式：點M對應(yīng)的數(shù)為3x以此類推……（3）在（2）的條件下，若點D為PQ最靠近Q的五等分點，點E為PA的中點，是否存在t，使得521【答案】（1）1；（2）t=3；（3）存在，定值為【分析】（1）利用中點公式求解；（2）用含t的式子表示出點P，Q表示的數(shù)，再根據(jù)PQ的中點所對應(yīng)的數(shù)為5.5，列方程求解；（3）根據(jù)已知條件得出五等分點公式，用含t的式子表示出點D，E表示的數(shù)，進而用絕對值表示出521【詳解】解：（1）AB的中點C對應(yīng)的數(shù)為：-2+4故答案為：1；（2）解：由題意得，點P表示的數(shù)為4-3t，點Q表示的數(shù)為-∵P,Q∴4-3解得t=3（3）存在這樣的t，使得521∵點D為PQ最靠近Q的五等分點，∴點D表示的數(shù)為4-點E表示的數(shù)為4+4-3∴OD∴5∴521OD+23OE∴當421≤1．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）小明將一副三角板擺成如圖形狀，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠COA=∠DOB B．∠C．∠AOD=∠B D．∠【答案】C【分析】本題考查了余角和補角的概念.由余角和補角的概念分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、∵∠COD∴∠COD即∠COA=∠DOBB、∵∠COA∴∠COA與∠DOA互余，故選項C、當AB⊥OD時，∠AODD、∵∠AOD∴∠AOD與∠COB互補，故選項故選：C．2．（24-25七年級上·甘肅蘭州·期末）如圖，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“平衡線”.若∠AOB=72°，且射線OC是∠AOB的A．24° B．24°或36° C．36°或48° D．24°或36°或48°【答案】D【分析】本題主要考查了角的計算、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，理解“平衡線”的定義以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“平衡線”的定義，分∠AOB=2∠AOC、∠AOC=2∠【詳解】解：根據(jù)“平衡線”的定義，可分三種情況討論：①當∠AOB=2∠AOC時，即2∠②當∠AOC∵∠AOC∴32∠③當∠BOC∵∠BOC∴3∠AOC=72°，解得：綜上，∠AOC的度數(shù)為24°或36°或48°故選：D．3．（25-26七年級上·河北衡水·期中）題目：“如圖，有公共端點P的兩條線段PM，PN組成一條折線M-P-N，若該折線M-P-N上一點Q把這條折線分成長度相等的兩部分，我們把這個點Q叫做這條折線的“折中點”．若已知D是折線A-C-B的“折中點”，E為線段AC的中點，CD=2，CEA．只有甲的答案正確 B．甲、乙的答案合在一起才正確C．甲、丙的答案合在一起才正確 D．三人的答案合在一起才正確【答案】C【分析】本題主要考查與線段中點有關(guān)的計算，線段的和差,熟練掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)中點定義即可求解線段AC的長；再分兩種情況：當“折中點”D在AC上時；當“折中點”D在BC上時，根據(jù)“折中點”的定義,結(jié)合線段的和差即可求解．【詳解】解：∵點E為線段AC的中點，CE=5∴AE=∴AC=10①如圖，當“折中點”D在AC上時，∵點D是折線A-C-B的“∴AD=∵CD=2∴AD=∴DC+∴BC=8-2=6②如圖，當“折中點”D在BC上時，∵點D是折線A-C-B的∴BD=∵CD=2∴BD=∴BC=綜上所述，BC的長為6或14，即甲、丙的答案合在一起才正確，故選：C4．（24-25七年級上·陜西西安·期末）如圖，線段AB=24cm，動點P從A出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動，M為AP的中點，N為BP的中點．以下說法正確的是（

①運動4s后，MN=12cm②在點P運動過程中，2BM-BP③當AN=6PM時，運動時間為A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】D【分析】本題考查兩點間的距離，動點問題，線段的和差問題，根據(jù)題意，分別用代數(shù)式表示出AP,【詳解】解：運動4s后，AP=2×4=8cm,∵M為AP的中點，N為BP的中點，∴AM=∴MN=MP+設(shè)運動t秒，則AP=2∵M為AP的中點，N為BP的中點，∴AM∴BM=∴2BM∴2BM-BP∵AN∴12+t解得：t=125故選：D．5．（25-26七年級上·河北石家莊·期中）定義新概念：如圖1，點P在線段AB上，圖中共有3條線段AP，PB和AB，若有一條線段的長度是另一條線段長度的3倍，則稱點P是線段AB的“巧點”，如圖2，若AB=20cm，點P是的AB的“巧點”，則AP【答案】203或403或15【分析】本題考查了線段的概念，把握“巧分點”的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵；根據(jù)“巧分點”的定義分類討論即可得到答案.【詳解】解：∵點P在線段AB上，根據(jù)題意

當AB=3AP時；則AP當AB=3BP時；則AP當AP=3BP時；則AB=AP+BP當BP=3AP時；則AB=故答案為：203或403或15或6．（24-25七年級下·黑龍江大慶·期中）如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“啟仔等分線”．如圖2，∠MPN=80°，若射線PE繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當∠EPN首次等于180°時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(秒【答案】103秒或5秒或20【分析】本題考查角的運算中的新定義，仔細分析動態(tài)過程，確定三種情況是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程，依次設(shè)定∠MPE=3∠EPN，∠MPN=3∠【詳解】解：由題意，可分四種情況：當∠MPE=3∠EPN所以t=40當∠MPN=3∠EPN所以t=80當∠MPE=3∠MPN所以t=160當∠NPE=3∠MPN不符合條件“當∠EPN首次等于180°時停止旋轉(zhuǎn)故答案為：5秒或103秒或207．（25-26七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，數(shù)軸上O，A兩點的距離為12，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1點跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A3處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點A4，A5，A6…An【答案】9-【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點表示數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，先根據(jù)規(guī)律得出各點表示的數(shù)，進而求出點2025次跳動的點表示的數(shù)，再求出A1A【詳解】解：由題意可得，點A1表示的數(shù)為12×點A