/安徽省合肥包河區(qū)2025?2026學年九年級上學期數(shù)學期中試卷一、單選題1．二次函數(shù)y＝2x2﹣1的圖象的頂點坐標是（）A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）2．若，則下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，平移方法是（

）A．向左平移個單位，再向上平移個單位B．向左平移個單位，再向下平移個單位C．向右平移個單位，再向上平移個單位D．向右平移個單位，再向下平移個單位4．攝影師們通常會將主體放置在畫面中的黃金分割點上，以獲得更好的攝影效果．如圖，P是的黃金分割點（），若線段的長為，則的長為（

）．A． B． C． D．5．已知二次函數(shù)的變量x與變量y的部分對應值如下表：根據(jù)表中信息，可得一元二次方程的一個近似根可能是（

）x…1234…y…39…A． B． C． D．6．的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．217．如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點都在格點上，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，圖中相似的三角形有（）對．A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③；④若，則，其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．410．如圖，菱形邊長為2，，點P以每秒1個單位的速度沿射線AD移動，過點P作直線AB的垂線與菱形的兩邊分別交于兩點，設面積為y，則y與點P移動的時間x之間的函數(shù)關系大致為（

）A． B．C． D．二、填空題11．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則的值為.12．如圖，在中，是的中點，連接，是上的點，且，連接并延長交于點F，則的值為．13．如圖，有一塊三角形余料，它的面積為，邊．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在，上，則加工成的正方形零件的邊長為．14．如圖，在矩形中，為對角線，點F在上，連接交于點E，且，；（1）則；（2）若，為等腰直角三角形，，則．三、解答題15．計算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°．16．如圖，正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上．（1）請用無刻度直尺，在線段上找一點P，使；（2）以點O為位似中心，在x軸下方畫出的位似圖形，使與的位似比為．17．清風閣位于安徽省合肥市的包公園內(nèi)，是為紀念北宋清官包拯誕辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小羅同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量清風閣的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力．他們經(jīng)過研究，決定進行如下操作：如圖，首先，在陽光下，小夏在清風閣影子的末端C點處豎立一根2米的標桿，此時，小羅測得標桿的影長米；然后，小夏從C點沿方向走了6米，到達點G，在G處豎立一根2米的標桿，接著沿方向走到點M處時，恰好看見清風閣頂端A點與F在一條直線上（即A，F(xiàn)，H在一條直線上），此時，小羅測得米，小夏的眼睛到地面的距離米．請你根據(jù)題中提供的相關信息，求出清風閣的高．18．如圖，拋物線經(jīng)過點，點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點P，使的面積是面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標：若不存在，請說明理由．19．如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，.（1）求函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解集；（3）若點是軸上的動點，當周長最小時，求點的坐標.20．如圖，在中，，于點，在邊上，與交于點，作交于點．（1）求證：；（2）若，，求的值．21．在節(jié)假日期間，萬象匯廣場的音樂噴泉上演了絢麗的燈光秀，隨著音樂的節(jié)拍，噴泉的水線起伏跳躍，勾勒出迷人的拋物線圖案．假設噴泉的出水口為坐標原點，出水口離岸邊．隨著音樂的變化，拋物線的頂點在直線上變動，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線，設這組拋物線的統(tǒng)一形式為．（1）當時，①若噴出的水恰好達到岸邊，則此時噴出的拋物線形水線最大高度是多少米？②若噴出的拋物線形水線最大高度為，求、的值；（2）當時，若要噴出的水不能觸及岸邊，請直接寫出此時的取值范圍．22．如圖，在中，，，是邊上的一個動點（不與點，重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點，連接．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長．23．已知拋物線經(jīng)過點，中的一點．（1）求的值；（2）若點，是拋物線上的兩點，對于，，都有，求的取值范圍；（3）點在拋物線上，作軸，交軸于點，交拋物線對稱軸于點，設點橫坐標為，令，求關于的函數(shù)關系式，并求出的最小值．

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式解析式，即可計算出二次函數(shù)頂點坐標為（0，﹣1）．【詳解】解：二次函數(shù)y＝2x2﹣1的圖象的頂點坐標是（0，﹣1）．故選D．2．【正確答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，則ad=bc，逐個判斷可得答案．【詳解】解：由可得：2x=3yA.，此選項不符合題意

B.，此選項不符合題意

C.，則3x=2y，此選項不符合題意

D.，則2x=3y，正確故選D3．【正確答案】C【分析】本題考查了拋物線的平移規(guī)律，通過比較平移前后拋物線的頂點坐標，確定平移方向和平移單位，解題的關鍵是確定平移前后拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)坐標變化判斷平移方向．【詳解】解：∵原拋物線的頂點坐標為，平移后拋物線的頂點坐標為，∴水平方向：從到，增加了，即向右平移個單位；垂直方向：從到，增加了，即向上平移個單位，∴平移方法是向右平移個單位，再向上平移個單位，故選．4．【正確答案】B【分析】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．由黃金分割點的定義求出的長，即可解決問題．【詳解】解：是的黃金分割點，線段的長為，，，故選B．5．【正確答案】B【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，熟練掌握用圖象法求一元二次方程的近似根的方法是解題的關鍵．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出當時，；當時，，由此即可得出結論．【詳解】解：當時，；當時，，方程的一個近似根的范圍是，方程的一個近似根可能是，故選B．6．【正確答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選C．7．【正確答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，AC與BC，再利用勾股定理逆定理確定△ABC為直角三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求即即可【詳解】解：根據(jù)勾股定理得AB=，AC=，BC=，∵AC2+BC2=5+20=25=52=AB2，，∴△ABC為直角三角形，∴，故選C.8．【正確答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再證出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，證出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．【詳解】解：圖中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACD，故選C．9．【正確答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結合是解題的關鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對稱軸在軸右側(cè)，、異號，，∵拋物線與軸交點在軸負半軸，，，故①錯誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，，，時，，，，，故②正確；③對稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應方程的根與系數(shù)的關系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選C10．【正確答案】A【分析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象．特殊角的三角函數(shù)，菱形的性質(zhì)，根據(jù)所給題意判斷出不同取值范圍與之間的函數(shù)解析式是解決本題的關鍵．分別求得，，范圍的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)解析式判斷出相應的函數(shù)圖象即可．【詳解】解：①時，如圖：由題意得：，，，，，，，該函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，②時，如圖：作于點，則，，，，，，，，該函數(shù)圖象為隨的增大而增大的線段；③時，如圖：作于點，于點，于點，則，，，，∵，∴，∴，∴，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，該函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，故選A．11．【正確答案】2；【分析】本題中已知了二次函數(shù)經(jīng)過原點（0，0），因此二次函數(shù)與y軸交點的縱坐標為0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次項系數(shù)m不能為0．【詳解】根據(jù)題意得：m(m?2)=0，∴m=0或m=2，∵二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為零，所以m=2.故填2.12．【正確答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關鍵．過點D作，交于點G，證明，，，，從而得出，，最后得出答案即可．【詳解】解：過點D作，交于點G，如圖所示：∵，∴，，∴，，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，∴．13．【正確答案】C【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相似三角形．設加工成的正方形零件的邊長為，過點作于，交于點，先根據(jù)的面積求出高，證明，得到，代入數(shù)值求出即可．【詳解】解：設加工成的正方形零件的邊長為，過點作于，交于點，的面積為，邊，，解得，四邊形是正方形，，，，解得，故選C．14．【正確答案】；【分析】（1）設，，利用矩形的性質(zhì)證明，利用相似三角形性質(zhì)得到，進而得到，即可求得；（2）作于點，作于點，利用矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形得到，利用勾股定理算出，利用等面積法得到，利用解直角三角形得到，再利用等面積法得到，繼而利用解直角三角形得到，證明，利用相似三角形性質(zhì)建立等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：，設，，四邊形是矩形，，，，，，，則，解得，，.（2）解：作于點，作于點，為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得，，即，解得，，，，，，即，解得，，，，，，解得.15．【正確答案】﹣【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：原式．16．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理畫圖即可；（2）根據(jù)與的位似比等于，可得，據(jù)此作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所作；如圖所示：，∴；（2）如圖：即為所作．17．【正確答案】42米【分析】本題考查的是相似三角形的實際應用，平行投影的含義，先證明可得，如圖，過點H作于點N，交于點P，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：由題意可知，則，∵，∴，∴，∴，∴，如圖，過點H作于點N，交于點P，設米，則米，米，（米），米，∵，∴，∴，即解得：．∴清風閣的高為42米．18．【正確答案】（1）（2）存在，，【分析】（1）將點，點，代入拋物線得，求出的值，進而可得拋物線的解析式．（2）將解析式化成頂點式得，可得點坐標，將代入得，，可得點坐標，求出的值，根據(jù)可得，設，則，求出的值，進而可得點坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：．（2）解：存在．∵，∴，將代入得，，∴，又∵B（2，-3），∴BC//x軸，∴到線段的距離為1，，∴，∴，設，由題意可知點P在直線BC上方，則，整理得，，解得，或，∴，，∴存在點P，使的面積是面積的4倍，點P的坐標為，．19．【正確答案】（1）；（2）或；（3）點的坐標為.【分析】（1）先把A（1，a），B（b，2）分別代入y=-2x+8中求出a、b的值得到A（1，6），B（3，2），然后把A點坐標代入中得到k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式；（2）寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應的自變量的范圍即可；（3）作點A關于y軸的對稱點A′，連接BA′交y軸于P，如圖，則A′（-1，6），根據(jù)兩點之間線段最短判斷此時PA+PB的值最小，△ABP周長最小，然后利用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，從而得到點P的坐標．【詳解】解：（1）把，分別代入得，，解得，∴，；把代入得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）不等式的解集為或；（3）作點關于軸的對稱點，連接交軸于，如圖，則，∵，∴此時的值最小，周長最小，設直線的解析式為，把，代入得，解得，∴直線的解析式為，∴點的坐標為.20．【正確答案】（1）見詳解；（2）．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，解方程，掌握這些知識點的應用是解題的關鍵．（）根據(jù)同角的余角相等得出，，從而證明；（）過點作于點，設，則，，然后證明，得，所以，設，，則，再證明，所以，即，求得，然后代入即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）解：過點作于點，如圖，設，則，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，，∵，∴，∴，即，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴．21．【正確答案】（1）①拋物線形水線最大高度是米；②，（2）【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，正確求出二次函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關鍵．（1）①根據(jù)噴出的水恰好達到岸邊，由拋物線的對稱性可求得拋物線的對稱軸是直線，再把代入，求出y值即可求解；②根據(jù)拋物線形水線最大高度達4米，則拋物線頂點的縱坐標為，把代入求得，即可求解；（2）根據(jù)，得出拋物線的頂點坐標為，再根據(jù)拋物線的頂點在直線上，得到，求得，然后根據(jù)噴出的拋物線形水線不能到岸邊，出水口離岸邊，得，求解即可．【詳解】（1）解：∵∴，①∵噴出的水恰好達到岸邊，∴拋物線過，∵拋物線過原點，∴拋物線的對稱軸是直線，∵拋物線的頂點在直線上，∴當時，，∴拋物線形水線最大高度是米；②∵拋物線形水線最大高度達4米，∴拋物線頂點的縱坐標為，當時，，解得：，∴拋物線的頂點是，∴，∵拋物線過原點，∴，解得，∴，∴，．（2）解：∵，∴拋物線的頂點坐標為，∵拋物線的頂點在直線上，∴，解得：或，當時，拋物線的頂點在原點，不符合實際，∴，∵噴出的拋物線形水線不能到岸邊，出水口離岸邊，∴，即，解得．22．【正確答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）．【分析】（）先判斷出，進而得出，進而判斷出，即可得出結論；（）由，進而判斷出，得出，再判斷出，即可得出結論；（）先求出，，進而得出，，進而求出，最后根據(jù)（）的結論，即可求出答案．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，∴，在中，，，∴，∴，由（）知，，∴，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得，，∴，∴；（3）解：在中，∴，，∵，