/安徽省合肥市行知中學(xué)2025?2026學(xué)年12月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是（

）A． B． C． D．2．已知線(xiàn)段，，是線(xiàn)段，的比例中項(xiàng)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A．或 B．C． D．3．在中，，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，直線(xiàn)，直線(xiàn)，與，，分別交于點(diǎn)，，和點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是（）A．4 B．4.5 C．5 D．65．已知，且．若的周長(zhǎng)是6，則的周長(zhǎng)是（

）A．3 B．6 C．12 D．186．若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．已知，下列等式中，一定正確的是（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，的平分線(xiàn)為，交于點(diǎn)E，若，，則的值為（

）A． B． C． D．9．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)在與之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．則以下結(jié)論中正確的有（

）①；②；③；④若t為任意實(shí)數(shù)，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點(diǎn)，BM與AC垂直，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)N，連接DN，則下列四個(gè)結(jié)論中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正確的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④二、填空題11．將拋物線(xiàn)的圖象向下平移2個(gè)單位后，所得新的函數(shù)表達(dá)式為．12．二胡是中國(guó)古老的民族拉弦樂(lè)器之一，演奏家發(fā)現(xiàn)，二胡的“千斤”鉤在琴弦長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)處（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出來(lái)的音調(diào)最和諧悅耳．如圖，一把二胡的弦長(zhǎng)為，求“千斤”下面一截琴弦長(zhǎng)為（保留根號(hào)）．

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，若的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)E，連接，則的面積為．14．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)．（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，（2）若將拋物線(xiàn)向上平移m（）個(gè)單位，平移過(guò)后的圖象在內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是．三、解答題15．計(jì)算：．16．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸左側(cè)畫(huà)一個(gè)，使它與位似，且相似比為2，其中，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)；（2）在（1）的條件下，若是線(xiàn)段上一點(diǎn)，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．18．已知：如圖，平行四邊形中，點(diǎn)C在上，點(diǎn)B是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接和，．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．19．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出滿(mǎn)足時(shí)x的取值范圍．（3）連接并延長(zhǎng)交的另一支于點(diǎn)C，連接，求的面積．20．如圖，中，，于，為的中點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：

（1）；（2）．21．清風(fēng)閣是合肥市區(qū)標(biāo)志性建筑物之一，也是全國(guó)廉政教育基地，通過(guò)展示包拯及其他廉吏的事跡，傳承和弘揚(yáng)了包公的清正廉潔、剛正不阿的精神．合肥市行知學(xué)校某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，采用如下方案測(cè)量清風(fēng)閣的高度，下面是他們實(shí)踐報(bào)告的部分內(nèi)容：活動(dòng)主題測(cè)量清風(fēng)閣的高度測(cè)量工具卷尺、測(cè)角儀方案設(shè)計(jì)第一步：在A(yíng)處使用測(cè)角儀測(cè)得清風(fēng)閣頂部點(diǎn)C的仰角的度數(shù)；第二步：沿著方向走到E處，用度尺測(cè)得的長(zhǎng)；第三步：在E處使用相同高度的測(cè)角儀測(cè)得清風(fēng)閣頂部點(diǎn)C的仰角的度數(shù)．說(shuō)明：地面上的點(diǎn)A，E，D在同一水平直線(xiàn)上，，表示測(cè)角儀，表示清風(fēng)閣的高，、、均與垂直．測(cè)量數(shù)據(jù)，，，參考數(shù)據(jù)，，，，，．備注測(cè)量過(guò)程中注意安全及保護(hù)文物不被破壞請(qǐng)根據(jù)該小組的報(bào)告計(jì)算清風(fēng)閣的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．22．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C．（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為．①求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；②點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與x軸垂直的直線(xiàn)交線(xiàn)段于D，交x軸于E．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的直線(xiàn)為，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)取最小值？23．在中，，，D是邊上不與A，B重合的一個(gè)定點(diǎn)．于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E．，，和的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M．與交于點(diǎn)I．（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求的度數(shù)；（3）如圖2，連接，若N是的中點(diǎn)，連接，，求證：．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．已知拋物線(xiàn)解析式為頂點(diǎn)式，可直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D．2．【正確答案】B【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：由題意可得且，即，解得故選B3．【正確答案】A【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可．【詳解】如圖所示，∵在中，，∴由勾股定理得，，則，故選A．4．【正確答案】A【分析】利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，結(jié)合已知的線(xiàn)段比例和總長(zhǎng)度，求出的長(zhǎng)．本題主要考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，熟練掌握該定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∴∵，∴∵∴∴，故選A．5．【正確答案】C【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)的比等于相似比成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，且∴的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)，∵的周長(zhǎng)為6，∴的周長(zhǎng)為12．故選C．6．【正確答案】A【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)中k＜0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵-3＜0，-1＜0，∴點(diǎn)A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵-3＜-1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴點(diǎn)C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故選A．7．【正確答案】C【分析】此題考查了分式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需要掌握分式的性質(zhì)．由已知比例關(guān)系，可設(shè)參數(shù)表示變量，代入各選項(xiàng)驗(yàn)證是否恒成立即可判斷．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，A、（當(dāng)），但時(shí)分母為零，故不一定成立，不符合題意；B、，需且特定值才相等，故不一定成立，不符合題意；C、，恒成立，符合題意；D、，不成立，不符合題意．故選C．8．【正確答案】B【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與證明，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．通過(guò)，的平分線(xiàn)，可得，證明，從而得到進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵是的平分線(xiàn)，∴；又∵，∴；∴，∴為等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴四邊形ABED的面積為，∴，故選B．9．【正確答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與其系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)開(kāi)口方向可得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸計(jì)算公式可得，根據(jù)與y軸的交點(diǎn)位置可得，據(jù)此可判斷①；可求出當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可判斷②；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，可推出，據(jù)此可判斷③；求出函數(shù)的最大值即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，∴；∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在與之間（不包括這兩點(diǎn)），∴，∴，故①正確；∵拋物線(xiàn)的圖象與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；∵拋物線(xiàn)的圖象與x軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴函數(shù)的最大值為∴，∴，故④錯(cuò)誤；故選C．10．【正確答案】C【分析】通過(guò)證明△AMN∽△CBN，可得，可證CN=2AN；過(guò)D作DH∥BM交AC于G，可證四邊形BMDH是平行四邊形，可得BH=MD=BC，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得DN=DC；通過(guò)證明△ABM∽△BCA，可得，可求AB=BC，即可得tan∠DAC=；由平行線(xiàn)性質(zhì)可得∠DAC=∠ACB，∠ABC=∠ANM=90°，可證△AMN∽△CAB，則可求解．【詳解】∵AD//BC，∴△AMN∽△CBN，∴，∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝AD＝BC，∴，∴CN＝2AN，故①正確；如圖，過(guò)D作DH//BM交AC于G，∵DH//BM，BM⊥AC，∴DH⊥AC，∵DH//BM，AD//BC，∴四邊形BMDH是平行四邊形，∴BH＝MD＝AD＝BC，∴BH＝CH，∵∠BNC＝90°，∴NH＝HC，∵DH⊥AC，∴DH是NC的垂直平分線(xiàn)，∴DN＝CD，故②正確；∵AD//BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠BAM＝∠ABC，∴△ABM∽△BCA，∴，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，∴tan∠DAC＝，故③錯(cuò)誤，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ANM＝90°，∴△AMN∽△CAB，故④正確；故選C．11．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)則．根據(jù)平移規(guī)則“上加下減”，向下平移是減，直接應(yīng)用規(guī)則即可求解．【詳解】解：∵將拋物線(xiàn)向下平移2個(gè)單位，∴新函數(shù)表達(dá)式為．12．【正確答案】【分析】本題考查黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義即可解決問(wèn)題．熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因?yàn)槎摹扒Ы铩便^在琴弦長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)處，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，則令“千斤”下面一截琴弦長(zhǎng)為，所以，解得，所以“千斤”下面一截琴弦長(zhǎng)為．13．【正確答案】6【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法．先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，即可得出，，進(jìn)而得到，再根據(jù)可得，則，可得，進(jìn)而得到的面積．【詳解】解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵四邊形是矩形，∴，，，，，∴，，即，的面積．14．【正確答案】；或【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象平移，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）利用對(duì)稱(chēng)軸公式直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸；（2）先求出原拋物線(xiàn)的解析式，再寫(xiě)出平移后的解析式，根據(jù)平移后圖象在與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置，分類(lèi)討論頂點(diǎn)在內(nèi)、外兩種情況求出m的取值范圍．【詳解】解：的對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn).（2）解：拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，代入得：

，解得，∴拋物線(xiàn)解析式為，向上平移m個(gè)單位后得到，令得∶

，即，，平移過(guò)后的圖象在內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，分兩種情況：第一種情況：方程在內(nèi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即，解得；

當(dāng)時(shí)，代入平移后的拋物線(xiàn)解析式得,令得，解得,即拋物線(xiàn)與軸有唯一交點(diǎn),滿(mǎn)足平移后拋物線(xiàn)的圖象在與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；第二種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，方程在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，另一根不在內(nèi)，二次函數(shù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且開(kāi)口向下，則解得：，綜上所述，m的取值范圍為或．15．【正確答案】【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵熟記特殊角的三角函數(shù)值．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入求值即可．【詳解】解：．16．【正確答案】【分析】本題考查了求解二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解決本題的關(guān)鍵．利用頂點(diǎn)坐標(biāo)代入頂點(diǎn)形式，再展開(kāi)為標(biāo)準(zhǔn)形式即可求解．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴由頂點(diǎn)式可得．17．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）．【分析】本題考查了作圖—位似變換，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)A，B，C的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)D，E，F(xiàn)，再順次連接即可得出答案；（2）利用（1）中可得把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.18．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)三角形中兩組對(duì)應(yīng)角相等證明即可；（2）根據(jù)，得，求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，，，，；（2）解：由（1)知，,，，，，解得：．19．【正確答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為（2）x的取值范圍為（3）的面積為15【分析】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．（1）由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，求解即可求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象和、的坐標(biāo)即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于，求出的坐標(biāo)，即可求得，然后根據(jù)即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意得，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：由題意可得，，由圖象和兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，可知，x的取值范圍為：；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)D，如圖，由反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，，在一次函數(shù)的圖象上，得，解得，直線(xiàn)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，，解得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，，，．20．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）由余角的性質(zhì)可得，由相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，通過(guò)證明，可得，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，又，；（2）證明：，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，又，，，．21．【正確答案】清風(fēng)閣的高度為42米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于H，設(shè)，則米，然后在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)交于H，如圖，設(shè)米，∵米，∴，∵米，∴米，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴解得，∴米，∴米．22．【正確答案】（1）①；②（2）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．（1）①利用待定系數(shù)法