/北京市首都師范大學第二附屬中學2025?2026學年上學期八年級期中數(shù)學試題一、單選題1．以下國產(chǎn)新能源電動車的車標圖案不是軸對稱圖形的是（）A．北汽新能源 B．長城新能源C．東風新能源 D．江淮新能源2．下列長度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（

）A．3，4，8 B．3，4，7 C．5，6，10 D．5，6，113．如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B．C． D．6．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，到兩邊距離相等的點應是(

)A．點 B．點 C．點 D．點7．已知，，則的值為（

）A．5 B．6 C．8 D．108．若，則M，N的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無法確定9．如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點，連結(jié)AD，則∠CAD=（

）A．40° B．30° C．20° D．10°10．如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正確的有（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③二、填空題11．已知和關(guān)于軸對稱，則的值為．12．計算：．13．等腰三角形的一個角等于，則它的頂角的度數(shù)是．14．如圖，在中，，是高．若，則．15．如圖，是等邊三角形的中線，，則．

16．如圖，將三角形沿平行于的直線折疊，折痕為，點落在點處，若，則的度數(shù)為．17．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分線，點E到AB的距離等于3cm，則CF=cm.18．如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為三、解答題19．計算：（1）；（2）．20．已知，求代數(shù)式的值．21．如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，E是邊AC的中點，作CF∥AB交DE的延長線于點F．（1）證明：△ADE≌△CFE；（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．22．如圖，在平面直角坐標系中，直線是第一、三象限的角平分線．（1）由圖觀察易知關(guān)于直線的對稱點的坐標為，請直接寫出、關(guān)于直線的對稱點、的坐標：______、______；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點關(guān)于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標為______；（3）已知兩點、，試在直線上確定一點，使點到、兩點的距離之和最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）23．如圖，在中，是高，點D是邊的中點，點E在邊的延長線上，的延長線交AB于點F，且，若．（1）求證：是等邊三角形；（2）請判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由．24．將四個長為，寬為的長方形如圖1，拼成如圖2的“回形”正方形和正方形．觀察與發(fā)現(xiàn)：（1）請你觀察圖2直接寫出，，之間的一個等量關(guān)系式；運用與探究：（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，解決下列問題：，，求的值；實踐與拓展：（3）將兩個正方形，如圖3擺放，若兩個正方形面積之和為65，，求圖中陰影部分面積和．25．如圖，在等邊三角形ABC右側(cè)作射線CP，∠ACP=（0°<<60°），點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，BD交CP于點E，連接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含的代數(shù)式表示）；（2）在（0°<<60°）的變化過程中，∠AEB的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請直接寫出∠AEB的大??；（3）用等式表示線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.26．在平面直角坐標系中，直線為過點且與軸垂直的直線．對某圖形上的點作如下變換：當時，作出點關(guān)于直線的對稱點，稱為變換；當時，作出點關(guān)于軸的對稱點，稱為變換．若某個圖形上既有點作了變換，又有點作了變換，我們就稱該圖形為雙變換圖形．例如，已知，，如圖1所示，當時，點應作Ⅰ（2）變換，變換后的坐標是；點作Ⅱ（2）變換，變換后的坐標是．請解決下面的問題：（1）當時，①已知點的坐標是，則點作相應變換后的點的坐標是；②若點作相應變換后的點的坐標為，求點的坐標；（2）已知點，，①若線段是雙變換圖形，則的取值范圍是；②已知點在第一象限，若及其內(nèi)部（點除外）組成的圖形是雙變換圖形，且變換后所得圖形記為，直接寫出所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故錯誤；B、是軸對稱圖形，故錯誤；C、不是軸對稱圖形，故正確；D、是軸對稱圖形，故錯誤．故選C．2．【正確答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析判斷．【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得A中，3+4=7＜8，不能組成三角形；B中，3+4=7，不能組成三角形；C中，5+6=11＞10，能夠組成三角形；D中，5+6=11，不能組成三角形．故選C．3．【正確答案】B【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”建立角度之間的關(guān)系．利用三角形外角性質(zhì)（外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和），結(jié)合已知的和的度數(shù)，直接計算的度數(shù)．【詳解】解：已知是的外角，因此有．將代入上式，得：解得：．故選B．4．【正確答案】A【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方以及積的乘方解決此題．【詳解】解：A．根據(jù)冪的乘方，，故此選項符合題意；B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，，故此選項不符合題意；C．根據(jù)積的乘方，，故此選項不符合題意；D．根據(jù)同底數(shù)冪的除法，，故此選項不符合題意．故選A．5．【正確答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法，結(jié)合，解答即可．【詳解】解：A．若添加，在和中，∴，故不符合題意．B．若添加，又，，符合，此種方法不能判定兩個三角形全等，故符合題意．C．若添加，在和中，∴，故不符合題意．D．若添加，在和中，∴，故不符合題意．故選B．6．【正確答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，網(wǎng)格與勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明平分是解題的關(guān)鍵．證明，則根據(jù)全等三角形的對應角相等得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)網(wǎng)格得出，，在與中∴，∴，即平分∴到兩邊距離相等的格點應是點，故選A7．【正確答案】B【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)，熟練掌握（，、為實數(shù)）是解題的關(guān)鍵．利用指數(shù)運算性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為與的乘積形式，再代入已知值計算．【詳解】解：∵，，，∴．故選B．8．【正確答案】B【分析】本題考查整式的混合運算，作差法比較M，N的大小關(guān)系即可．【詳解】解：，∴；故選B．9．【正確答案】B【分析】由D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的度數(shù).【詳解】解：由題意得：D為線段AB的垂直平分線與直線BC的交點，AD=BD,∠ABC=∠BAD=50°,∠BAC=20°,∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°,故選B.10．【正確答案】B【分析】①分別用外角減去內(nèi)角表示∠ACB和∠APB，即可得到結(jié)論；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求出結(jié)論；③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)果；④根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】解：①∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠CAB+∠ACB=2（∠PAB+∠APB），∴∠CAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正確；②過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，如圖所示：∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=（AC?PN）：（AB?PM）=AC：AB，而AC：AB不一定等于PC：PB，∴S△PAC∶S△PAB不一定等于PC∶PB，故②錯誤；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正確；④∵PG∥AD，∴∠FPC=∠DCP，∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正確．綜上分析可知，①③④正確，故B正確．故選B．11．【正確答案】1【分析】本題考查了關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標變化，靈活利用軸對稱的特點“關(guān)于軸對稱的兩點縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)”求點坐標是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于軸對稱點的特征確定出與的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：和關(guān)于y軸對稱，，12．【正確答案】【分析】本題考查整式的加減運算，先去括號，再合并同類項即可．【詳解】解：．13．【正確答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，注意：一個銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以是底角，一個鈍角只能是等腰三角形的頂角，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．由于本題中沒有明確角是頂角還是底角，因此要分類討論．【詳解】當是底角時，頂角的度數(shù)為；當是頂角時，頂角度數(shù)即為．14．【正確答案】【分析】本題考查含30度角的直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．15．【正確答案】/15度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得出，，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和為180度進行求解即可．【詳解】∵是等邊三角形的中線，∴，，∴，∵，∴，∴.16．【正確答案】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)，，求出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，∵，，∴，∵，∴.17．【正確答案】3【分析】由角平分線的性質(zhì)易得CE=點E到AB的距離等于3cm，需求CF，根據(jù)等角的余角相等可得∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AE是∠BAC的平分線，∴CE=點E到AB的距離=3cm，∠BAE=∠CAE，∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，∴∠AEC=∠AFD，∵∠CFE=∠AFD，∴∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=3cm．故答案為3．18．【正確答案】【分析】要使BF最大，則AF需要最小，而AF=FD，根據(jù)FD≥FH，可求出FD的最小值，從而解決問題．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BC，連接DF，設(shè)AF=x，則BF=4－x，∵EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．19．【正確答案】（1）5（2）【分析】此題考查了零指數(shù)冪，同底數(shù)冪的除法，單項式乘以多項式和單項式乘以單項式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運算法則．（1）首先計算零指數(shù)冪，同底數(shù)冪的除法，然后計算乘方，最后計算加法；（2）首先計算單項式乘以多項式和單項式乘以單項式，然后合并即可．【詳解】（1）；（2）．20．【正確答案】11【分析】本題考查整式的乘法，平方差公式等知識，按照相關(guān)的運算法則計算即可．【詳解】解：原式當，即時，原式．21．【正確答案】（1）見詳解；（2）3【分析】（1）由CF∥AB，可得，，又由E是邊AC的中點，可得△ADE≌△CFE；（2）由（1）CF=AD=7，AE=CE=5，由∠B=∠ACB，可得AB=AC=2CE=10，可得DB的長.【詳解】解：（1）證明：∵E是邊AC的中點,

∴AE=CE.

又∵CF∥AB,

∴，.

在△ADE與△CFE中,∴△ADE≌△CFE.

（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF=7,∴CF=AD=7.

又∵∠B=∠ACB,

∴AB=AC.

∵E是邊AC的中點，CE=5,

∴AC=2CE=10.∴AB=10.

∴DB=ABAD=107=3.22．【正確答案】（1），；（2）；（3）見詳解．【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中對稱點的求解問題，以及求最短距離的問題．分別作出點、關(guān)于直線的對稱點、，根據(jù)網(wǎng)格可知點的坐標是，點的坐標是；由可知當直線是第一、三象限的角平分線，關(guān)于直線對稱的兩個點的坐標，只需將該點橫縱坐標互換即可得到對稱點；根據(jù)將軍飲馬問題，求點到兩點之間距離之和最小，點關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線于點，當點、、三點共線時，的值最小.【詳解】（1）解：如下圖所示，分別作出點、關(guān)于直線的對稱點、，根據(jù)網(wǎng)格可知點的坐標是，點的坐標是.（2）解：由可知，坐標平面內(nèi)任一點關(guān)于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標為.（3）解：如下圖所示，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，交直線于點，由對稱可知，，當點、、三點共線時，的值最小.23．【正確答案】（1）見詳解；（2），理由見詳解．【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟記等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．【詳解】（1）證明：∵，點D是邊的中點，∴垂直平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）解：，理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∵點D是邊的中點，∴，∴．24．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何意義與代數(shù)應用，熟練掌握完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵．（1）通過觀察圖2中大正方形、小正方形和長方形的面積關(guān)系，推導、、之間的等量關(guān)系．（2）利用（1）中得出的等量關(guān)系，將的平方轉(zhuǎn)化為與、相關(guān)的形式，進而求解．（3）設(shè)正方形邊長，根據(jù)面積和與的長度列出方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論和陰影部分面積的組成求解．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為，小正方形的面積為，四個長方形的面積和為，大正方形面積小正方形面積四個長方形面積，∴．（2）設(shè)，則，，即．由（1）的結(jié)論可得，∵，，∴，∴，即．（3）設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，則，．由，∵，，∴，∴，即．∴，∴或（舍去），∴陰影部分面積為．25．【正確答案】（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不會發(fā)生變化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，見詳解.【分析】（1）如圖1，連接CD，由軸對稱的性質(zhì)可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等邊三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，進一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；（2）設(shè)AC、BD相交于點H，如圖2，由軸對稱的性質(zhì)可證明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，進而得∠DBC=∠CAE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判斷；（3）如圖3，在BD上取一點M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性質(zhì)得出∠BEC，進而得△CME是等邊三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差關(guān)系可得∠BCM=∠DCE，再根據(jù)SAS證明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，進一步即可得出線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：（1）如圖1，連接CD，∵點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，∴