/北京市順義區(qū)第三中學(xué)2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．下列各組種的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cmC．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．如圖所示，點(diǎn)、分別在的、邊上，且．如果，那么等于（

）A． B． C． D．4．把二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．5．如圖，直線y＝x＋3與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則cos∠BAO的值是()A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CE交AD于E，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則S△AEF：S四邊形BDEF為(

)A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：37．若二次函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．或 C．或 D．二、填空題9．若，則．10．拋物線的對(duì)稱軸是．11．已知，點(diǎn)，為二次函數(shù)的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則（填“＞”或“＜”）．12．在中，，則．13．下圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中、分別表示一樓、二樓地面的水平線，，的長(zhǎng)是，則乘電梯時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)上升的高度是m．14．如圖，拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.15．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊離地面的高度，，則樹高是．

16．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．則有以下5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有．其中正確的結(jié)論是．（填序號(hào)）三、解答題17．已知一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式．18．如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．19．已知二次函數(shù)．（1）求該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求該二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；（4）當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍．20．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為，求的值．21．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的長(zhǎng)．22．如圖，燈塔C在海島A的北偏東75°方向，某天上午8點(diǎn)，一條船從海島A出發(fā)，以18海里/時(shí)的速度由西向東方向航行，10時(shí)整到達(dá)B處，此時(shí)，測(cè)得燈塔C在B處的北偏東60°方向．（1）求B處到燈塔C的距離；（2）已知在以燈塔C為中心，周圍17海里的范圍內(nèi)均有暗礁，若該船繼續(xù)由西向東航行，是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)你說明理由．23．如圖，在中，為邊上的中線，點(diǎn)為中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形為矩形；（2）若，求的長(zhǎng)．24．已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）過作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)時(shí)，求b的值．25．跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一．記運(yùn)動(dòng)員在該項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)位置與起跳點(diǎn)的水平距離為x（單位：），豎直高度為y（單位：），下面記錄了甲運(yùn)動(dòng)員起跳后的運(yùn)動(dòng)過程中的七組數(shù)據(jù)010203040506054.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的7個(gè)點(diǎn)，并用平滑的曲線連接它們：（2）觀察發(fā)現(xiàn)，（1）中的曲線可以看作是________的一部分（填“拋物線”或“雙曲線”），結(jié)合圖象，可推斷出水平距離約為________（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）時(shí)，甲運(yùn)動(dòng)員起跳后達(dá)到最高點(diǎn)；（3）乙運(yùn)動(dòng)員在此跳臺(tái)進(jìn)行訓(xùn)練，若乙運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的最高點(diǎn)的豎直高度達(dá)到，則乙運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)比甲運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)________（填寫“高”或“低”）．26．已知拋物線．（1）該拋物線的對(duì)稱軸為；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)M（m，y1），N（2，y2）在該拋物線上，若，求m的取值范圍．27．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的延長(zhǎng)線上，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求的度數(shù)；（2）在線段EG上取點(diǎn)H，使得，連接，．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)在圖形上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)為圖形的“和諧點(diǎn)”．（1）如圖，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“和諧點(diǎn)”的是；（2）點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“和諧點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)是，直線的表達(dá)式是；（3）已知點(diǎn)，是拋物線上的“和諧點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)，．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個(gè)數(shù)之積是否相等進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．，所以四條線段不成比例，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，所以四條線段不成比例，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，所以四條線段成比例，故C選項(xiàng)符合題意；D．，所以四條線段不成比例，故D選項(xiàng)不符合題意．故選C．2．【正確答案】B【分析】本題考查了頂點(diǎn)式頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，熟練掌握頂點(diǎn)式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選．3．【正確答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．先證明，得到，再結(jié)合求解即可．【詳解】解：，，，，，，故選C4．【正確答案】D【詳解】解：把二次函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，得到，再向上平移1個(gè)單位，得到，故此題答案為D．5．【正確答案】A【詳解】∵在中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得；∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（0，3），∴OA=4，OB=3，又∵∠AOB=90°，∴AB=，∴cos∠BAO=．故選A．6．【正確答案】D【詳解】∵DC=AC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠ACB的平分線CE交AD于E，∴E為AD的中點(diǎn)（三線合一），又∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴EF為△ABD的中位線，∴EF=BD，△AFE∽△ABD．∴S△AFE：S△ABD=1：4，∴S△AFE：S四邊形BDEF=1：3，故選D.7．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題和一元二次方程的根的判別式，根據(jù)已知得出方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即，求出不等式的解集即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即，解得：．故選C．8．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式，根據(jù)函數(shù)圖象可得中x的取值范圍就是二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：若，則，有圖象可知，當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象的下方，即，∴當(dāng)或時(shí)，，則當(dāng)或時(shí)，，故選B．9．【正確答案】【分析】此題主要考查了比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵．由已知分式等式變形，分離出，再通過倒數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：由，得，所以，故，故答案為.10．【正確答案】直線【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線；故答案為直線．11．【正確答案】＜【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該拋物線的開口方向向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)，為二次函數(shù)的圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且，∴．12．【正確答案】【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角的正切的定義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)代入即可得出答案．【詳解】解：在中，，∵，∴，∴．13．【正確答案】4【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)．作交的延長(zhǎng)線于，則，求出，再由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，

，∵，∴，∵的長(zhǎng)是，∴，即.14．【正確答案】【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），對(duì)稱軸為x=1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）=4，即可求解．【詳解】點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），對(duì)稱軸為x=1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）=4，則：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-1+4=3，故答案為（3，0）．15．【正確答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可得（），進(jìn)而可求解．【詳解】解：，且，，，即：，解得：（），（），樹高是.16．【正確答案】①③⑤【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口方向，與y軸的交點(diǎn)位置，對(duì)稱軸判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷②；根據(jù)對(duì)稱軸判斷③；根據(jù)拋物線經(jīng)過判斷④；根據(jù)當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，拋物線與y軸交于正半軸，∴，，∵對(duì)稱軸為，∴，∴，∴，∴，∴①正確．∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∴②錯(cuò)誤．∵，∴③正確．∵當(dāng)時(shí)，，∴．∴④錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，有最大值為，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有．∴⑤正確．17．【正確答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，熟知頂點(diǎn)式的特征是解本題的關(guān)鍵；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線表達(dá)式為，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴將代入，得：，∴，∴．18．【正確答案】見詳解【分析】根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．【詳解】證明：于點(diǎn)，∴，19．【正確答案】（1）該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2），（3）或（4）【分析】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，將代入，得，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）令，求出的值，即可得該二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)．（3）畫出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得答案．（4）結(jié)合圖象可得答案．【詳解】（1）解：該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線．將代入，得，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：令，解得，，該二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)為，．（3）解：畫出二次函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或．（4）解：將代入，得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行證明即可；（）解方程得，，由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為，得，據(jù)此即可求解；本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式，解一元二次方程的一般方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴，∴或，∴，，∵，∴，∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為，∴，解得．21．【正確答案】BC＝．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．22．【正確答案】（1）36海里（2）沒有危險(xiǎn)【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，方向角．

（1）根據(jù)已知條件得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）過C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得

,，（海里），

∴，∴，

∴（海里），答：B處到燈塔C的距離為36海里；

（2）解：沒有觸礁的危險(xiǎn)，理由如下：

過C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

∵（海里），

∴（海里），

∵，

∴若這條船繼續(xù)由西向東航行沒有觸礁的危險(xiǎn)．23．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】對(duì)于（1），先說明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”得出答案；對(duì)于（2），先求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，進(jìn)而求出，然后根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案.【詳解】（1）連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴，即，四邊形為平行四邊形，∴，.又為邊上的中線，∴，，∴，，四邊形為平行四邊形．又，平行四邊形為矩形．

（2）∵，是上的中線，，在中，，∴，，又點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，在中，，∴．24．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半計(jì)算即可．（2）設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱軸為直線，，得到，求得值后，利用對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算即可；本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵二次函數(shù)在和時(shí)函數(shù)值相等，∴對(duì)稱軸為直線．（2）∵過作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N，設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，設(shè)，，∵對(duì)稱軸為直線，，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為∴，，∴，．25．【正確答案】（1）見詳解（2）拋物線；（3）高【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）根據(jù)圖表求解即可；（3）根據(jù)圖表求解即可．【詳解】（1）解：如圖，（2）根據(jù)所學(xué)函數(shù)，（1）中的曲線可以看作是拋物線的一部分；結(jié)合圖象，圖象的最高點(diǎn)在到之間，可推斷出水平距離約為時(shí)，甲運(yùn)動(dòng)員起跳后達(dá)到最高點(diǎn).（3）由圖可知，乙運(yùn)動(dòng)員在此跳臺(tái)進(jìn)行訓(xùn)練，若乙運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的最高點(diǎn)的豎直高度達(dá)到61m，則乙運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)比甲運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)高．26．【正確答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出對(duì)稱軸；（2）由（1）得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，求出a值即可；（3）根據(jù)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N'，再分和兩種情況確定m的取值范圍．【詳解】（1）解：∴拋物線的對(duì)稱軸為.（2）解：由（1）知，拋物線的頂點(diǎn)為，∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴，解得，∴拋物線的解析式；（3）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N'，①當(dāng)時(shí)，若，則或；②當(dāng)時(shí)，若，則．綜上，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，．27．【正確答案】（1）（2），見詳解【分析】本題考查了正