/山東省濟(jì)寧市泗水縣2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．“致中和，天地位焉，萬物育焉”．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運用于建筑，器物，繪畫，標(biāo)識等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年．下面四個標(biāo)志中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（

）A．6、2、9 B．2、、 C．2、、9 D．、6、93．拋物線的頂點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．如圖，點是正方形的邊上一點，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置．若四邊形的面積為144，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．如圖，已知四邊形內(nèi)接于，若，則等于（

）

A． B． C． D．6．如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為，瓶內(nèi)液體的深度，則截面圓中弦的長為（

）A． B． C． D．7．已知拋物線經(jīng)過，，三點，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．將拋物線的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，所得拋物線的表達(dá)式為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，9．?dāng)?shù)學(xué)來源于生活，傘是生活中常見的一種工具．傘撐開后如圖1所示，由此發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識拋物線．如圖2，以傘柄所在的直線為y軸，以傘骨，的交點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，C為拋物線上的點，點A，B在拋物線上，，關(guān)于y軸對稱．已知拋物線的表達(dá)式為，若點A到x軸的距離是，則A，B兩點之間的距離是（

）A． B． C． D．10．如圖，一段拋物線記為，它與軸交于兩點，，將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點，將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點，照這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，則拋物線的頂點坐標(biāo)是（

）．A． B． C． D．二、填空題11．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則．12．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一根，則另一根為．13．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．若，則．14．如圖，，切于、兩點，切于點E，交，于C，D，若，則的周長為．15．如圖，在正方形中，，點E為正方形內(nèi)一點，且，連接，則的最小值為．三、解答題16．解方程：（1）；（2）．17．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點A的坐標(biāo)為．

（1）圖中點B點的坐標(biāo)是__________；點B關(guān)于原點對稱的點C的坐標(biāo)是__________；點B關(guān)于y軸對稱的點D的坐標(biāo)是__________；（2）在圖中畫出繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)后的；18．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根，滿足，求的值．19．如圖，有一個亭子，它的地基是半徑為的正六邊形．（1）求該地基的周長；（2）求該地基的面積（結(jié)果保留根號形式）；（3）若正六邊形的半徑用表示，寫出正六邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式．20．如圖，在中，，點O是邊上一點，經(jīng)過點A交于點D，交于點F，過點D作的切線，交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．21．在杭州舉辦的亞運會令世界矚目，吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸家喻戶曉，其相關(guān)產(chǎn)品成為熱銷產(chǎn)品．某商店銷售一批吉祥物毛絨玩具，平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件毛絨玩具每降價1元，商場平均每天可多售出2件，據(jù)此規(guī)律，請回答：（1）設(shè)每件毛絨玩具降價元，則商場此商品可多售出________件；此毛絨玩具每件盈利________元；此毛絨玩具每天可銷售________件；（2）每件毛絨玩具降價多少元時；商場日盈利可達(dá)到2100元？（3）每件毛絨玩具降價多少元時，商場日盈利最大？22．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部，有一點，若．求證：．下面是本題的部分解答過程，請補充完整．證明：如圖②，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，則為等邊三角形．完成接下來的證明．（2）【類比延伸】如圖③，在等腰三角形中，，內(nèi)部有一點，若，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點對稱軸為直線，點的坐標(biāo)為．（1）該拋物線的表達(dá)式為；（2）點為拋物線上一點（不與點重合），連接．當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）點為直線下方拋物線上一動點，當(dāng)點的坐標(biāo)為多少時，的面積最大？

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．軸對稱圖形：將圖形沿一條直線折疊兩邊完全重合的圖形是軸對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故選D．2．【正確答案】B【分析】本題考查一元二次方程的相關(guān)概念，根據(jù)一元二次方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的概念求解即可．【詳解】解：方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為2、、，故選B．3．【正確答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把拋物線解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：解拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式為：，∴拋物線的頂點坐標(biāo)是，故選A．4．【正確答案】B【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得出是解答的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，在中，，由勾股定理得：．故選B．5．【正確答案】B【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．先根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，故選B．6．【正確答案】D【分析】本題考查了垂經(jīng)定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點．由垂徑定理和勾股定理求出的長，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接，由題意知三點共線，由題意得：，在中，根據(jù)勾股定理得，即截面圓中弦的長為，故選D．7．【正確答案】D【分析】本題考查拋物線的性質(zhì)（頂點式與增減性），涉及知識點：拋物線的頂點式、對稱軸、增減性．解題方法是先確定拋物線的對稱軸，再計算各點到對稱軸的距離，結(jié)合拋物線的開口方向判斷函數(shù)值大??；解題關(guān)鍵是利用“開口向上時，點到對稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大”的規(guī)律，易錯點是距離計算錯誤．【詳解】∵拋物線解析式為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴，，，故．故選D．8．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)“上加下減，左加右減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可，熟知函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線的圖象向左平移個單位，再向上平移個單位，∴根據(jù)“上加下減，左加右減”規(guī)律可得拋物線平移后是：，∴，，故選．9．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，先求出點到軸的距離為，再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點A到x軸的距離是，∴令，則，解得：或（不符合題意，舍去），∴點到軸的距離為，∵點A，B在拋物線上，，關(guān)于y軸對稱，∴，故選D．10．【正確答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱和點的坐標(biāo)的變換規(guī)律，掌握好二次函數(shù)頂點坐標(biāo)和與x軸交點坐標(biāo)的求法是解題關(guān)鍵．先根據(jù)的解析式求出點的坐標(biāo)，從而得到線段的長．由中心對稱的性質(zhì)可得，，求得點和點的坐標(biāo)．拋物線在中心對稱的過程中，其形狀不變，開口方向發(fā)生變化，即二次項系數(shù)a的絕對值不變．根據(jù)觀察，拋物線的開口向下，所以拋物線的二次項系數(shù)．結(jié)合點和點的坐標(biāo)可以寫出拋物線的交點式，求出其頂點坐標(biāo)即可．【詳解】解：當(dāng)時，，解得，，∴點的坐標(biāo)為，∵拋物線由拋物線繞旋轉(zhuǎn)得到，拋物線由拋物線繞旋轉(zhuǎn)得到，，∴拋物線的二次項系數(shù)與拋物線相同，即，由中心對稱的性質(zhì)可知，，∴，，∴拋物線的解析式為，其對稱軸為直線，當(dāng)時，，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為．故選A．11．【正確答案】【分析】本題考查一元二次方程的定義，涉及知識點：一元二次方程需滿足“未知數(shù)最高次數(shù)為、二次項系數(shù)不為”．根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)的最高次數(shù)為且二次項系數(shù)不為零，由此確定的值．【詳解】∵方程是一元二次方程，∴未知數(shù)的最高次數(shù)為，即，解得或．又∵二次項系數(shù)，當(dāng)時，，符合條件；當(dāng)時，，不符合條件．．故答案為．12．【正確答案】-3【詳解】試題分析：設(shè)方程的另外一根為m，則有：1＋m＝－2，解得：m＝－3．故答案為－3．點睛：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和為是解題的關(guān)鍵．13．【正確答案】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，從而得到，根據(jù)得到，結(jié)合及三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案．【詳解】解：∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴.14．【正確答案】20【分析】根據(jù)切線長定理可得，，，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵、切于點A、B，切于點E，∴，，，∴的周長．15．【正確答案】【分析】本題考查斜邊上的中線，勾股定理，正方形的性質(zhì)，取的中點，連接，斜邊上的中線求出的長，勾股定理求出的長，根據(jù)，求出最小值即可．【詳解】解：取的中點，連接，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)三點共線時，的值最小為.16．【正確答案】（1），；（2），【分析】本題考查一元二次方程的解法，涉及知識點：因式分解法、配方法（或公式法）解一元二次方程．（1）用因式分解法（十字相乘法）將方程化為兩個一次式的積；（2）通過移項、提公因式轉(zhuǎn)化為因式分解形式求解；解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的技巧，易錯點是移項時符號錯誤或漏解．【詳解】（1）；解：，或，解得，；（2）原方程移項得：，，或，解得：，.17．【正確答案】（1），，（2）見詳解【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變換—軸對稱與旋轉(zhuǎn)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)的位置可得點的坐標(biāo)，再利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)特點可得，的坐標(biāo)；（2）先確定，，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，，，即可得；【詳解】（1）解：由的位置可得：，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是.（2）如圖，即為所求；

18．【正確答案】（1）見詳解（2）或【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì)．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及解一元二次方程的步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，，，，故不論取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：方程有兩個實數(shù)根為，，，，，，，故的值為或.19．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查的是正六邊形及等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出等邊三角形以及直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．（1）連接、，證明是等邊三角形，得出即可求出結(jié)論；（2）過作于，求出，，再求出，即可求出結(jié)論；（3）求出，，再求出，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：連接、；六邊形是正六邊形，，是等邊三角形，，正六邊形的周長；（2）解：過作于，是等邊三角形，，，于，，在中，由勾股定理，，；（3）解：是等邊三角形，，，于，，在中，由勾股定理，，．20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系．（1）連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用四邊形的內(nèi)角和，則根據(jù)同角的補角相等得到，然后根據(jù)圓周角定理得到，從而得到結(jié)論；（2）連接，如圖，先利用圓周角定理得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，接著證明為等邊三角形得到，然后計算即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵與相切，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：連接，如圖，∵為的直徑，∴，在中，，∴，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴．21．【正確答案】（1），，；（2）每件商品降價20元，商場日盈利可達(dá)2100元（3）每件商品降價17.5元，商場日盈利最大【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列方程求解是解題的關(guān)鍵．（1）降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出件，盈利的錢數(shù)原來的盈利減去降低的錢數(shù)；（2）等量關(guān)系為：每件商品的盈利×可賣出商品的件數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入計算得到合適的解即可；（3）設(shè)每件商品降價元，商場日盈利元，得，當(dāng)時，有最大值．【詳解】（1）解：設(shè)每件商品降價元，則商場此商品可多售出件，此商品每件盈利元，此商品每天可銷售件.（2）解：設(shè)每件商品降價元，由題意得：，化簡得：，解得：，，該商場為了盡快減少庫存，則不合題意，舍去..答：每件商品降價20元，商場日盈利可達(dá)2100元.（3）解：設(shè)每件商品降價元，商場日盈利元，由題意得：，，時，有最大值．答：每件商品降價17.5元，商場日盈利最大.22．【正確答案】（1）見詳解；（2），見詳解；【分析】（1）將旋轉(zhuǎn)，利用等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)證勾股定理；（2）類比旋轉(zhuǎn)法，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)線段關(guān)系．【詳解】（1）證明：如圖②，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、，如圖：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，，為等邊三角形，，，