/山東省威海市文登區(qū)三校聯(lián)考2025?2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下面是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．下列各組式子中，沒(méi)有公因式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．在，，，，，中，是分式的有（

）．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．5．若一組數(shù)據(jù)2，6，3，5，x的平均數(shù)與中位數(shù)相同，則實(shí)數(shù)的值不可能是（）A．4 B． C．0 D．96．若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除7．計(jì)算的值為（

）．A． B． C． D．8．下列結(jié)論：①無(wú)論為何實(shí)數(shù)，都有意義；②當(dāng)時(shí)，分式的值為0；③若的值為負(fù)，則的取值范圍是；④若有意義，則的取值范圍是且．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列說(shuō)法中正確的有（）①描述一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)只有一個(gè)；②描述一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不僅僅有一個(gè)；③描述一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個(gè)；④描述一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都一定是這組數(shù)據(jù)里的數(shù)；⑤一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)大小發(fā)生了變化，一定會(huì)影響這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．一條船往返于甲，乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭?，由乙至甲是逆水行駛，已知船在靜水中的速度為，平時(shí)逆水航行與順?biāo)叫兴玫臅r(shí)間比為，某天恰逢暴雨，水流速度是原來(lái)的2倍，這條船往返共用了．則甲，乙兩港之間的距離為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如果把分式：中的都擴(kuò)大10倍，那么分式的值．12．對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，則，．13．若的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是三角形．14．若是一個(gè)完全平方式，則．15．小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：．小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是．16．一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)是90，方差是13.5，則，，，的平均數(shù)是，方差是．如果這組數(shù)據(jù)再加上一個(gè)數(shù)90，那么這11個(gè)數(shù)的方差（“變大”、“變小”或者“不變”）？三、解答題17．因式分解：（1）（2）（3）18．計(jì)算：（1）（2）．（3）化簡(jiǎn)求值．先化簡(jiǎn)：，然后從0，1，2，3中選擇你喜歡的值．19．解方程：（1）（2）20．若關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，關(guān)于的不等式組有且僅有2個(gè)偶數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和．21．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，學(xué)校開(kāi)展“科學(xué)小博士”知識(shí)競(jìng)賽．各班以小組為單位組織初賽，規(guī)定滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀．?dāng)?shù)據(jù)整理：小夏將本班甲、乙兩組同學(xué)（每組8人）初賽的成績(jī)整理成如下的統(tǒng)計(jì)圖．?dāng)?shù)據(jù)分析：小夏對(duì)這兩個(gè)小組的成績(jī)進(jìn)行了如下分析：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差優(yōu)秀率甲組7.625a74.48乙組7.6257b0.73c請(qǐng)認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：，，；（2）小祺認(rèn)為甲、乙兩組成績(jī)的平均數(shù)相等，因此兩個(gè)組成績(jī)一樣好．小夏認(rèn)為小祺的觀點(diǎn)比較片面，請(qǐng)結(jié)合上表中的信息幫小夏說(shuō)明理由（寫出兩條即可）．22．2025年湘超聯(lián)賽火爆三湘大地，賽事帶動(dòng)關(guān)聯(lián)消費(fèi)突破200億元，印有聯(lián)賽專屬Logo和熱門球員剪影的潮流短袖T恤成為球迷追捧的爆款單品．某體育用品店緊抓“賽事經(jīng)濟(jì)”風(fēng)口，先用6000元購(gòu)進(jìn)一批該款T恤；因線下觀賽客流激增、訂單火爆，店鋪緊急追加采購(gòu)，用15000元購(gòu)入第二批，所購(gòu)數(shù)量是第一批的2倍，且受貨源緊張影響，每件進(jìn)價(jià)較第一批貴10元．（1）該店鋪購(gòu)進(jìn)第一批、第二批T恤每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）如果兩批T恤按相同標(biāo)價(jià)銷售，最后50件斷碼款按五折優(yōu)惠清倉(cāng)，要使兩批T恤全部售完后（扣除450元快遞及包裝費(fèi)用），利潤(rùn)率不低于，那么每件T恤的標(biāo)價(jià)至少是多少元？23．我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)的差，如，；，，……，請(qǐng)用觀察到的規(guī)律解方程，該方程解是多少？24．閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．解：由知，所以，即．所以．故的值為．（1）上題得解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：，求的值．（2）已知，，，求的值．25．【知識(shí)再現(xiàn)】在研究平方差公式時(shí)，我們?cè)谶呴L(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如圖1，把余下的陰影部分再剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2），根據(jù)圖1、圖2陰影部分的面積關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于的等式①___________．【知識(shí)遷移】在邊長(zhǎng)為的正方體上挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方體后，余下的部分（如圖3）再切割拼成一個(gè)幾何體（如圖4）根據(jù)圖3中的幾何體的體積和圖4中幾何體的體積得到關(guān)于的等式為_(kāi)__________．（結(jié)果寫成整式的積的形式）

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)符合題意，B、是整式乘法運(yùn)算，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意，C、，分解錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意，D、，分解錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意，故選A．2．【正確答案】A【分析】先對(duì)各多項(xiàng)式分解因式，然后利用公因式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】、與，沒(méi)有公因式，此選項(xiàng)符合題意；、，，有公因式，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、與有公因數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意，排除；、，，有公因式，此選項(xiàng)不符合題意，排除；故選．3．【正確答案】B【分析】根據(jù)分式的定義判斷即可．【詳解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式，故選B．4．【正確答案】D【分析】直接判斷分子和分母在因式分解后有沒(méi)有公因式即可．【詳解】解：A選項(xiàng)中分子和分母有公因式，所以A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中分子和分母有公因式，所以B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)中分子和分母有公因式x，所以C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中的分子和分母沒(méi)有公因式，所以D選項(xiàng)符合題意；故選D．5．【正確答案】C【分析】本題考查了平均數(shù)與中位數(shù)的定義，通過(guò)分類討論x在不同取值范圍時(shí)中位數(shù)的值，令平均數(shù)等于中位數(shù)，解方程得到x的可能值，從而找出不可能的值．【詳解】平均數(shù)為，當(dāng)時(shí)，排序后中位數(shù)為3，根據(jù)題意得，，解得，符合條件；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)為x，根據(jù)題意得，，解得，符合條件；當(dāng)時(shí)，中位數(shù)為5，根據(jù)題意得，，解得，符合條件．∴x的可能值為、4、9．選項(xiàng)中0不在其中，故x的值不可能是0．故選C．6．【正確答案】B【分析】用平方差公式進(jìn)行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．【詳解】解：，能被3整除，∴的值總能被3整除，故選B．7．【正確答案】C【分析】原式各括號(hào)利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式，，，，故選C．8．【正確答案】D【分析】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，分式的除法運(yùn)算，分式值為0的條件以及分式值的符號(hào)判斷．①中要求；②中分母為0時(shí)無(wú)意義；③需排除；④分式有意義則分母不為0．【詳解】∵①中要求，時(shí)無(wú)意義，∴①錯(cuò)誤；∵②當(dāng)時(shí)，分母，分式無(wú)意義，∴②錯(cuò)誤；③，∵，當(dāng)時(shí)，需即，但時(shí)分式為0不為負(fù)，∴結(jié)論漏，∴③錯(cuò)誤；∵④有意義需分母不為0，即且，，∴且，，∴④錯(cuò)誤．∴錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是4．故選D．9．【正確答案】A【分析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的基本概念，需理解其唯一性和是否屬于原數(shù)據(jù)．根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義，逐一判斷各說(shuō)法的正誤．【詳解】∵平均數(shù)是通過(guò)所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)得到的，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，平均數(shù)唯一，∴①正確；∵中位數(shù)是將數(shù)據(jù)排序后位于中間的數(shù)（或中間兩數(shù)的平均數(shù)），對(duì)于一組數(shù)據(jù)，中位數(shù)唯一，∴②錯(cuò)誤；∵眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能有多個(gè)，∴③錯(cuò)誤；∵平均數(shù)和中位數(shù)不一定為原數(shù)據(jù)中的數(shù)（如數(shù)據(jù)1，3的平均數(shù)為2，2不在原數(shù)據(jù)中），而眾數(shù)必為原數(shù)據(jù)中的數(shù)，∴④錯(cuò)誤；∵數(shù)據(jù)變化后，平均數(shù)一定改變，但眾數(shù)和中位數(shù)可能不變（如變化非眾數(shù)數(shù)據(jù)或中間位置數(shù)據(jù)未變），∴⑤錯(cuò)誤．綜上，只有①正確，故正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)．故選A．10．【正確答案】D【分析】本題有兩個(gè)等量關(guān)系：①平時(shí)逆水航行時(shí)間：順?biāo)叫袝r(shí)間；②雨天逆水航行時(shí)間+順?biāo)叫袝r(shí)間，同時(shí)順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度-水流速度，再列方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩港相距，水流速度平時(shí)速度為．根據(jù)平時(shí)逆水航行與順?biāo)叫兴玫臅r(shí)間比為，得：∴，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意且符合實(shí)際應(yīng)用，∵某天恰逢暴雨，水流速度是原來(lái)的2倍，這條船往返共用了．∴，解得：．答：甲，乙兩港相距．故選D．11．【正確答案】不變【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式基本性質(zhì)分析分子分母的變化．將和都擴(kuò)大10倍后，代入分式計(jì)算，分子和分母均擴(kuò)大100倍，比值不變．【詳解】∵將中的都擴(kuò)大10倍，∴擴(kuò)大后分式為，與原分式相等，故分式的值不變．12．【正確答案】0；【分析】此題主要考查了分式值為零的條件和分式無(wú)意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．根據(jù)分式無(wú)意義的條件，當(dāng)時(shí)，分母為零；根據(jù)分式值為零的條件，當(dāng)時(shí)，分子為零．分別代入得到關(guān)于a和b的方程，解方程組即可．【詳解】∵對(duì)于分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為零，∴∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，∴∴∴聯(lián)立①②得，解得．13．【正確答案】等腰【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．將方程移項(xiàng)后因式分解，得到，根據(jù)三角形三邊為正，得出，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵∴∴∴∵a，b，c是的三邊長(zhǎng)∴∴∴∴是等腰三角形．14．【正確答案】或者【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)，常數(shù)項(xiàng)可表示為，因此中間項(xiàng)系數(shù)應(yīng)與相等，從而求解．【詳解】∵∴解得或．15．【正確答案】【分析】此題考查了已知分式方程的解求參數(shù)，設(shè)“？”代表的數(shù)為m，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用增根使分母為零且滿足整式方程的性質(zhì)，代入求解m．【詳解】設(shè)“？”代表的數(shù)為m，則原方程為．去分母得，∵方程的增根是，∴把代入得，∴16．【正確答案】190；121.5；變小【分析】此題考查了平均數(shù)和方差，利用平均數(shù)和方差的計(jì)算方法求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；通過(guò)計(jì)算加數(shù)后的新方差與原方差比較變化．【詳解】∵一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)是90，∴∴∴，，，的平均數(shù)是190；∵一組數(shù)據(jù)，，的方差是13.5，∴∴∴∴，，，的方差是121.5，如果這組數(shù)據(jù)再加上一個(gè)數(shù)90，∴平均數(shù)為∴∴這11個(gè)數(shù)的方差變?。?7．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．（1）先根據(jù)平方差公式分解因式，再計(jì)算兩括號(hào)里的加減，最后提取公因式即可；（2）先計(jì)算多項(xiàng)式的乘法，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．18．【正確答案】（1）（2）（3）；當(dāng)時(shí)，原式【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值．（1）先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除即可；（2）先計(jì)算括號(hào)里的加減，再計(jì)算除法，最后合并同類項(xiàng)即可；（3）先計(jì)算除法，再計(jì)算加法，最后選取符合要求的的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，可知，即，當(dāng)時(shí)，原式．19．【正確答案】（1）（2）無(wú)解【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．注意：解分式方程要檢驗(yàn)．（1）方程兩邊同時(shí)乘，化簡(jiǎn)并求出x的值，再檢驗(yàn)即可．（2）方程兩邊同時(shí)乘，化簡(jiǎn)并求出x的值，再檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊同時(shí)乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為；（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程無(wú)解．20．【正確答案】【分析】本題考查了分式方程的解和不等式組的整數(shù)解，理解題意是解題的關(guān)鍵．先分別解分式方程和不等式組，再根據(jù)題意求出整數(shù)m的值，再求解．【詳解】解：分式方程可化為：，解得：，∵分式方程的解為整數(shù)，∴為2的倍數(shù)，即m為奇數(shù)，解不等式組，得，∵關(guān)于y的不等式組有且僅有2個(gè)偶數(shù)解，∴不等式組的偶數(shù)解為：2，0，，解得：，滿足條件的整數(shù)m的值為、、，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分式無(wú)意義，不合題意，，21．【正確答案】（1）7.5，7，（2）見(jiàn)詳解【分析】本題考查的是方差，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)．（1）根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)和優(yōu)秀率的定義和計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）從優(yōu)秀率，中位數(shù)，眾數(shù)和方差等角度中選出兩個(gè)進(jìn)行分析即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：（分），（分），，故7.5，7，；（2）解：小祺的觀點(diǎn)比較片面．理由不唯一，例如：①甲組成績(jī)的優(yōu)秀率為，高于乙組成績(jī)的優(yōu)秀率，∴從優(yōu)秀率的角度看，甲組成績(jī)比乙組好；②甲組成績(jī)的中位數(shù)為7.5，高于乙組成績(jī)的中位數(shù)，∴從中位數(shù)的角度看，甲組成績(jī)比乙組好；因此不能僅從平均數(shù)的角度說(shuō)明兩組成績(jī)一樣好，可見(jiàn)，小祺的觀點(diǎn)比較片面．22．【正確答案】（1）第一批進(jìn)價(jià)40元，第二批進(jìn)價(jià)50元（2）元【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用及不等式的實(shí)際應(yīng)用，解應(yīng)用題時(shí)需要理清楚數(shù)量關(guān)系，找到合適的量設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要檢驗(yàn)．（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)第一批T恤衫每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)兩次購(gòu)買數(shù)量關(guān)系列分式方程求解即可；（2）設(shè)每件T恤衫的標(biāo)價(jià)是y元，通過(guò)利潤(rùn)率不低于列不等式，求解范圍即可．【詳解】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)第一批T恤衫每件的進(jìn)價(jià)是元，則第二批T恤衫每件的進(jìn)價(jià)是元；由題意得，