/山東省濰坊市安丘市聯(lián)盟校2025?2026學年上學期第二次學科素養(yǎng)考試八年級數(shù)學試題一、單選題1．下列寫法正確的是（

）A． B． C． D．2．在，，，，，，，，（每兩個之間依次多一個）中，無理數(shù)有（

）個．A． B． C． D．3．在中，的對邊分別是，下列條件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．4．已知，，那么約為（

）A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.25．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個正方形中的數(shù)及字母表示所在正方形的面積．其中的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．如圖，在中，，和的平分線分別交于點、，若，，，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖1，我們把對角線相等的四邊形稱為對等四邊形．如圖2，在中，；點為邊上一動點，分別為邊上的動點．已知，若四邊形為對等四邊形，則的最小值為（

）A．10 B．8 C．6 D．59．已知關于的分式方程的解是非負數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．或10．如圖，和都是等腰三角形，．，相交于點，連接．給出下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤．其中正確結論有（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題11．若不等式兩邊同除以，得，則的取值范圍為12．設的小數(shù)部分是m，的整數(shù)部分是n，則的值是．13．三條公路兩兩相交，要在該平面內修建一個加油站，使加油站到三條公路的距離都相等，則滿足條件的加油站可以建處．14．如圖，在中，平分交于點于點E，且的周長為，則．15．如圖，已知為等腰直角三角形，其中，，點C在線段AB上運動（不與點A、點B重合），當以點C、O、B為頂點的三角形為等腰三角形時，則AC的長為．三、解答題16．求的值或計算：（1）；（2）．（3）計算：17．（1）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（2）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來，再求出這個不等式的最小整數(shù)解．18．已知：如圖，是內部一點．求作：等腰，使點，分別在射線，上，且底邊經過點．19．如圖是由8個同樣大小的立方體組成的二階魔方，體積為．（1）求這個魔方的棱長；（2）圖中陰影部分是一個正方形，求陰影部分的面積及其邊長．（3）把正方形放到數(shù)軸上，如圖，使得點A與1重合，數(shù)軸上有一個動點E，若，則點E在數(shù)軸上表示的數(shù)為______．20．如圖，，是的中點，平分，，，求的長．21．第屆數(shù)學教育大會（）會標如圖所示，會標中心圖案來源于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．【知識探索】（1）請用圖驗證勾股定理：；【知識遷移】（2）如果滿足等式的是三個正整數(shù)，我們稱為勾股數(shù)．已知是正整數(shù)且．請證明，，是勾股數(shù)；根據中的結論，寫出一組符合條件的勾股數(shù)___________；【知識應用】（3）鹿鳴社團計劃在學校菜園上種青菜，使之構成如圖所示的“弦圖”，已知這四個直角三角形的三邊是勾股數(shù)，最短的邊長為米，種青菜要求：僅在三角形邊上種青菜，每個三角形頂點處都種1棵青菜，各邊上相鄰兩棵青菜之間的距離均為米，那么這塊菜園最少需要種植多少棵青菜？（直接寫出結果，不必說明理由）．22．某企業(yè)為提高生產效率，采購了相同數(shù)量的型、型兩種智能機器人，購買型機器人的總費用為90萬元，購買型機器人的總費用為60萬元，型機器人單價比型機器人單價低3萬元．（1）求型、型兩種機器人的單價；（2）該企業(yè)計劃從采購的這批機器人中選擇10臺配備到某生產線，要求兩種型號的機器人各至少配備1臺，且購買這10臺機器人的總費用不超過70萬元．求出所有配備方案．23．【問題提出】如圖1，通過拼擺兩個含角的全等的三角尺，發(fā)現(xiàn)兩個三角尺恰好可以拼成一個等邊三角形，從而得出猜想：在直角三角形中，若一個銳角為，則它所對的直角邊等于斜邊的一半．通過實驗提出猜想后，如何通過幾何推理嚴格證明該性質？【思路啟迪】從邏輯推理的角度思考：如何通過添加輔助線將含的直角三角形轉化為等邊三角形或其他特殊圖形，從而將邊角關系轉化為已知定理？已知：如圖，中，，，求證：．請在圖中添加輔助線，將含的直角三角形轉化為等邊三角形或其他特殊圖形，要求：用兩種不同的方法（后續(xù)論證方法不同）在圖2、圖3添加輔助線，并用簡短、專業(yè)的數(shù)學語言描述如何添加輔助線的．分類方法一（圖2）方法二（圖3）畫圖及描述【邏輯論證】在上述圖形中，選擇其中一種方法，完成證明．【觸類旁通】以上完成了命題“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”的證明．反過來思考：它的逆命題是否成立呢？（1）請補充完整它的逆命題：“在直角三角形中，如果__________，那么__________．”（2）請判斷該逆命題是否成立，并說明你的理由．

答案1．【正確答案】C【分析】本題主要考查了平方根的表示方法和意義，包括算術平方根、負平方根和平方根的區(qū)別，根據平方根的定義求解即可．【詳解】解：A、，原式錯誤，不符合題意；B、，原式錯誤，不符合題意；C、，原式正確，符合題意；D、，原式錯誤，不符合題意；故選；C．2．【正確答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握無理數(shù)的定義，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．根據無理數(shù)的定義逐個數(shù)進行判斷即可．【詳解】解：是分數(shù)，屬于有理數(shù)；是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；是整數(shù)，屬于有理數(shù)；中是無理數(shù)，故屬于無理數(shù)；，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；是開方開不盡的數(shù)，屬于無理數(shù)；（每兩個之間依次多一個）是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，無理數(shù)有、、（每兩個之間依次多一個），共個，故選C．3．【正確答案】A【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用，以及三角形內角和定理，判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．根據勾股定理逆定理即可判斷A、D，根據三角形內角和定理即可判斷B，C．【詳解】解：A、由設，∴，而，∴，故不是直角三角形，本選項符合題意；B、，得，故是直角三角形，本選項不符合題意；C、由設，由三角形內角和定理可得：，∴，解得：，∴，故是直角三角形，本選項不符合題意；D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本選項不符合題意；．故選A．4．【正確答案】A【分析】本題考查立方根的規(guī)律探索問題，結合已知條件總結出規(guī)律是解題的關鍵．利用立方根的性質，得，代入已知近似值計算．【詳解】解：∵，又∵，∴．故選A．5．【正確答案】D【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，根據勾股定理可知，以兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：根據勾股定理可知，以兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選D．6．【正確答案】D【分析】本題考查不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．根據不等式兩邊同時加減乘除一個大于零的數(shù)，不等號的方向不變，據此進行逐項判斷即可．【詳解】解：A、若，則，故A錯誤；B、取，，則，但，即，故B錯誤；C、當時，，則不成立，故C錯誤；D、由于，則，即，兩邊除以得，故D正確；故選D．7．【正確答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握角平分線的定義和平行線的性質可證等腰三角形是解題的關鍵．根據角平分線的定義和平行線的性質可證和是等腰三角形，從而可得，，然后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：，，，又和的平分線分別交于點、，，，，，，，．故選．8．【正確答案】B【分析】此題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，線段最值問題，根據對等四邊形對角線相等和點到直線垂線段最短即可求出長度的最小值．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形為對等四邊形，∴，∵當時最短，此時∵，，∴，∴，∴的長度的最小值為8．故選B．9．【正確答案】C【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，據此即可求解．【詳解】解：分式方程去分母得，，解得，∵分式方程的解是非負數(shù)，∴，∴，又∵，即，∴，∴且，故選C．10．【正確答案】C【分析】結合等腰三角形的性質先證，再由全等三角形的性質可推得①正確；結合三角形內角和定理可證②正確；由全等三角形的面積相等推得全等三角形內高相等，結合角平分線的判定定理可證④正確；結合已證的②④即可推得⑤正確；若③成立，推得的條件與題意不符，則③錯誤，綜上即可得到答案．【詳解】解：和都是等腰三角形，，，，，即，在和中，，，，故①正確；，，中，，中，,，，故②正確；作交于點，交于點，，，即，，點在的角平分線上，即平分，故④正確；又，，故⑤正確；若③成立，則，由②⑤得，，，，，即，中，，中，，，，，，推出，由題意知，不一定等于，故③錯誤．綜上，正確結論有①②④⑤．故選C．11．【正確答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質．由不等式的基本性質知，據此可得答案．【詳解】解：不等式兩邊同除以，得，，.12．【正確答案】2【分析】此題考查了實數(shù)的估算與計算能力，關鍵是能準確理解并運用相關知識．先確定出，的值，再通過計算求解此題．【詳解】解：的整數(shù)部分是1，的小數(shù)部分是，即，的整數(shù)部分是2，即，.13．【正確答案】4/四【分析】本題考查了角平分線的性質，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結合解決問題是解題的關鍵．根據角平分的性質，即可得出油庫的位置在角平分線的交點處，依此畫出圖形，由此即可得出結論．【詳解】解：∵三條公路兩兩相交，要求加油站到這三條公路的距離都相等，

∴加油站在角平分線的交點處，畫出加油站位置如圖所示，共4處．14．【正確答案】【分析】本題主要考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，得到的周長等于是解題的關鍵．根據角平分線的性質可得，再利用“”證明可得，然后求出的周長等于即可．【詳解】解：∵，平分，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴的周長，∵的周長為，∴．故答案為．15．【正確答案】或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質以及等腰直角三角形的相關知識，解題關鍵是分情況討論等腰三角形的不同情況．分情況討論以點C、O、B為頂點的三角形為等腰三角形的情況，即三種情況，然后根據等腰直角三角形的性質和勾股定理等知識求解的長度．【詳解】解：當時，，，∴，當時，，，，，，，當時，C與A或B重合，此種情況不成立．∴當以點C、O、B為頂點的三角形為等腰三角形時，的長為或．16．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了平方根解方程，立方根解方程，求一個數(shù)的算術平方根，求一個數(shù)的立方根，化簡絕對值．（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程；（3）先計算算術平方根，立方根，絕對值，再計算加減即可．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：17．【正確答案】（1），見詳解（2），最小整數(shù)解為，見詳解【分析】本題考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．（1）通過去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解不等式，得到解集后在數(shù)軸上表示即可；（2）先通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解不等式，得到解集后在數(shù)軸上表示，再找出最小整數(shù)解即可．【詳解】解：（1），去分母，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，數(shù)軸表示如下：（2），去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，數(shù)軸表示如下：則這個不等式的最小整數(shù)解為．18．【正確答案】見詳解【分析】本題考查了尺規(guī)作——角平分線，過一點作已知直線的垂線，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的定義，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先作的平分線，再過點作角平分線的垂線，與射線的交點即為點，根據角平分線以及垂線的定義可得，則，故等腰即為所作．【詳解】解：如圖，等腰即為所作：19．【正確答案】（1）2（2）陰影部分的面積為2，邊長為（3）或．【分析】（1）根據立方體的體積公式，直接求棱長即可；（2）根據棱長，求出每個小正方體的棱長，進而可得小正方形的對角線，即陰影部分圖形的邊長，即可得解；（3）分當動點在點A左邊和右邊兩種情況求解．本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸、立方根的綜合應用，解決此題的關鍵是能求出每個小正方形的邊長．【詳解】（1）解：設這個魔方的棱長為x，則，解得：故這個魔方的棱長為2；（2）棱長為2，每個小立方體的棱長都是1，陰影部分；陰影部分正方形的邊長為：；（3）正方形的邊長為，點A與1重合，，動點E在點左邊時，數(shù)軸上表示的數(shù)為：，動點E在點右邊時，數(shù)軸上表示的數(shù)為.20．【正確答案】【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、等角對等邊，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．延長、交于，可證明，得，根據平行線的性質以及角平分線的定義可得，得出，即可求解．【詳解】解：如圖，延長、交于F，，，，∵點E是的中點，，在和中，，，，，，，平分，∴，∴，∴．21．【正確答案】（）見詳解；（）見詳解；，，（答案不唯一）；（）這塊菜園最少需要種植棵青菜．【分析】本題考查了勾股定理及逆定理、以弦圖為背景的計算題，完全平方公式，等面積法等知識點，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（）用兩種方法求正方形面積即可求證；（）分別求出，，，則有，從而求證；取，即可求解；（）由是正整數(shù)且，則要使勾股數(shù)最小則有，，得出最小勾股數(shù)為，，，又最短的邊長為米，則直角三角形三邊為米，米，米，所以這塊菜園最少種植青菜（棵），從而求解．【詳解】解：（）∵正方形的面積為，或，∴；（）∵，，，∴，∴，，是勾股數(shù)；取，，∴，，，∴勾股數(shù)為，，.（）∵是正整數(shù)且，∴要使勾股數(shù)最小則有，，∴最小勾股數(shù)為，，，∵最短的邊長為米，∴直角三角形三邊為米，米，米，則這塊菜園最少種植青菜（棵），答：這塊菜園最少需要種植棵青菜．22．【正確答案】（1）型機器人單價為9萬元，型機器人單價為6萬元（2）方案一：型機器人1臺，型機器人9臺；方案二：型機器人2臺，型機器人8臺；方案三：型機器人3臺，型機器人7臺【分析】本題考查分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確的列出分式方程和不等式，是解題的關鍵：（1）設型機器人單價為萬元，則型機器人單價為萬元，根據采購了相同數(shù)量的型、型兩種智能機器人，購買型機器人的總費用為90萬元，購買型機器人的總費用為60萬元，列出方程進行求解即可；（2）設配備型機