專題08三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求w歸類

目錄

第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)

典例引領(lǐng)方法透視變式演練

【選填題破譯】

題型01零點(diǎn)問題

題型02單調(diào)問題

題型03最值問題

題型04極值問題

題型05對(duì)稱性

題型06性質(zhì)的綜合問題

第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)

題型01零點(diǎn)問題

ππ

【例1-1】（2025·天津·一模）函數(shù)fxsinxx,0恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是．

33

【答案】8,54,7

【分析】分0和0兩種情況結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出參數(shù)范圍.

ππππ

【詳解】①0，x,，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)知：

3333

ππ

2ππ，解得4,7．

33

ππππ

②0，x,，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)知：

3333

ππ

2π3π，解得8,5．

33

綜上有8,54,7．

故答案為：8,54,7．

lnx

,x0

x

【例1-2】（2025·天津·二模）設(shè)函數(shù)fx有4個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為

π

sinx,πx0

4

（）

913913913913

A．,B．,C．,D．,

44444444

【答案】A

【分析】由已知可得fx在[π,0]上有3個(gè)不同零點(diǎn)即可，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，解出正實(shí)數(shù)

的范圍．

lnxπ

【詳解】令y0，解得x1，即fx在(0,)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以只需ysinx在[π,0]上

x4

有3個(gè)不同零點(diǎn)即可．

ππππ913

當(dāng)x[π,0]時(shí)，xπ,，所以3ππ2π，即,

444444

故選：A

1.f(x)Asin(x)在f(x)Asin(x)區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn)

TT

baba

22

kakk

a

kbk

k

b

同理，f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)沒有零點(diǎn)

T

Tba

ba2

2

k

kaka

kbk

k

b

2.f(x)Asin(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)

Tba2T

Tba2T

k(k1)

kaka

3kb4k

(k3)(k4)

b

同理f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

T3T

T3Tba

ba22

22

kk

kaka

2kb3k

(k2)(k3)

b

3.f(x)Asin(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

同理f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

2x

x,x0

e2

【變式1-1】函數(shù)fx，若2fx3fx10恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)

π

sinx,πx0

6

的范圍為（）

10101010

A．2,B．2,C．,4D．,4

3333

【答案】B

1

【分析】把問題轉(zhuǎn)化為yfx與y1或y的交點(diǎn)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性求出

2

參數(shù)取值范圍即可.

1

【詳解】由題意可知2f2x3fx10的實(shí)數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為fx1或fx的實(shí)數(shù)解，

2

1

即yfx與y1或y的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

2

2x21x

當(dāng)x0時(shí)，fx，則fx，

exex

所以x0,1時(shí)，fx0，所以fx在0,1上單調(diào)遞增，

當(dāng)x1,+時(shí)，fx0，可得fx在1,+上單調(diào)遞減，

12

所以當(dāng)x=1時(shí)，fx取得極大值，也是最大值，且fx1；

2maxe

作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：

所以當(dāng)x0時(shí)，由圖可知yfx與y1無(wú)交點(diǎn)，即方程fx1無(wú)解；

11

yfx與y有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即fx有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；

22

πππ

當(dāng)π≤x≤0時(shí)，πx，

666

πππππ

令tx，則tπ,，則ysint,tπ,，

66666

作出大致圖象如下圖所示：

1

因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，yfx與y有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

2

1

所以ysint與y1及y共有四個(gè)交點(diǎn)，

2

19ππ11π10

所以π，解得2<，

6663

10

即可得正實(shí)數(shù)的取值范圍2,.

3

故選：B

lnx

,x0

x

【變式1-2】（2023·天津河?xùn)|·一模）設(shè)函數(shù)fx有4個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范

π

sinx,π<x0

4

圍為（）

913913913913

A．,B．,C．,D．,

44444444

【答案】C

【分析】由已知可得fx在π,0上有3個(gè)不同零點(diǎn)即可，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，解出正實(shí)數(shù)

的范圍．

lnx

【詳解】令y0，解得x1，即fx在(0,)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

x

π

所以只需ysinx在[π,0]上有3個(gè)不同零點(diǎn)即可．

4

ππππ913

當(dāng)xπ,0時(shí)，xπ,，所以3ππ2π，即,.

444444

故選：C.

ππ

【變式1-3】（2025·天津和平·一模）已知函數(shù)fx2sinx0在區(qū)間,上是增函數(shù)，若函數(shù)fx

43

π

在0,上的圖象與直線y2有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的范圍為（）

2

3

A．2,5B．1,5C．1,2D．1,

2

【答案】D

ππ2πT

【分析】結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，及fx在區(qū)間,上的單調(diào)性，可知，又函數(shù)fx與直線y2交

4332

π2kππππ2π

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xkZ，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍.

2222

ππ2πT

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx2sinx0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間,上是增函數(shù)，所以，

4332

4π

所以T，

3

2π

3

又T，得0，

2

0

π2kπ

令fx2sinx2，得xkZ，

2

ππ2π

所以fx在0,上的圖象與直線y2的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

22

πππ2π

所以，解得15，

222

3

綜上所述，1.

2

故選：D.

題型02單調(diào)問題

5π2π

【例2-1】（2024·天津和平·一模）函數(shù)fxsinx（0且R在,上單調(diào)，且

183

π5π2π

ff0，若fx在,π上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值最準(zhǔn)確的范圍是（）

399

276399918918

A．,B．,C．,D．,

1326545547

【答案】B

π5π4π4π

【分析】由ff結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可確定fx的一個(gè)對(duì)稱中心為(,0)，即可求得f0；

3999

T2π4π9

利用函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期可得，求出0，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出

4394

918

不等式求得，綜合，即可求得的取值范圍.

55

5π2π

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=sinx(0,R)在區(qū)間,上單調(diào)，

183

π5π

π5π4π5π2π

且滿足ff，而394π，,,

399183

29

4π4π

即fx的一個(gè)對(duì)稱中心為(,0)，故f0；

99

4π5π2π4π2π

而,，故fx在區(qū)間,上單調(diào)，

918393

T2π4π2π2π8π9

設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，則,,0；

439994

2π4π

函數(shù)fx在區(qū)間,π上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則恰好為第一個(gè)零點(diǎn)，

99

T

相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，

2

T4π12π4π2π

故πT，即π，

2929

9189

解得，結(jié)合0，

554

99

可得的取值范圍為,，

54

故選：B.

3

【例2-2】（2025·天津·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)sin(2x)||在區(qū)間,上單調(diào)且f(x)，則

21262

的范圍是（）

A．,0B．,C．,0D．0,

33643

【答案】A

3

【分析】根據(jù)x的范圍求出2x的范圍，再由f(x)得出2，且2，即可

263122

求出的范圍.

3

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)sin(2x)||在區(qū)間,上單調(diào)且f(x)，又2x，

2126263

所以2，且2，解得0.

631223

故選:A.

xx

【變式2-1】（2025·天津?yàn)I海新·三模）0，函數(shù)f(x)sinsin在,上單調(diào)遞增，則的

2243

范圍是（）

23

A．0,B．0,C．(0,2]D．[2,)

32

【答案】B

1

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式可得f(x)sinx，再求出f(x)的增區(qū)間

2

2k2k

,，kZ，，根據(jù),,列式可解得結(jié)果.

224322

111

【詳解】由題得f(x)sinxcosxsinx，

222

由2kx2k，kZ，

22

2k2k

得x，kZ，

22

2k2k

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,，kZ，

22

1

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)sinx在,上單調(diào)遞增，

243

所以,,，

4322

233

所以，又＞0，所以0.

2

24

故選：B.

x25

【變式2-2】（2025·天津?yàn)I海新·一模）已知函數(shù)f(x)2sinxcos2()sin2x(0)在區(qū)間[,]

2436

上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0,]上恰好取得一次最大值，則的范圍是（）

3131315

A．(0,]B．[,]C．[,]D．[,)

5252422

【答案】B

25

【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)fx在區(qū)間,上是增函數(shù)，則為函數(shù)含有零的增區(qū)間的子集，再根據(jù)

36

區(qū)間0,上恰好取得一次最大值，則取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的最小正數(shù)解屬于0,，最后取交集.

2x2

【詳解】因?yàn)閒x2sinxcossinx，

24

sinx1sinxsin2x，

sinxsin2xsin2x，

sinx，

令2kx2k,kZ，

22

2k2k

則x,kZ，

22

25

因?yàn)閒x在區(qū)間,上是增函數(shù)，

36

252k2k

,,,kZ

3622

2

233

所以，解得，

5

5

62

令x2k,kZ，

2

因?yàn)樵趨^(qū)間0,上恰好取得一次最大值，

1

所以0，所以，

22

13

所以的取值范圍是.

25

故選：B.

【變式2-3】已知函數(shù)ysinx0在,是增函數(shù)，則的范圍是（）

63

32

A．02B．0C．D．2

23

【答案】B

【分析】根據(jù)x,求得x的取值范圍，根據(jù)題意得出有關(guān)的不等式組，解出即可.

63

【詳解】當(dāng)x,時(shí)，且0，則x，

6363

由于函數(shù)ysinx0在,是增函數(shù)，則,,，

636322

62

3

可得，解得0.

322

0

故選：B.

題型03最值問題

π7π

【例3-1】（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fxsinx0在0,內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則

44

的范圍是（）

1313

A．,4B．,3

77

44

C．,4D．,3

33

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小值的性質(zhì)，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.

π7π

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxsinx0在0,內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，0，

44

7πππ7ππ

所以x0,,x,,

44444

7π7ππ11π

所以，

2442

13

所以3.

7

故選：B

ππ7π

【例3-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fxsinx0在,內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則

444

ω的范圍是（）

1313

A．,4B．,3

77

44

C．,4D．,3

33

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小值的性質(zhì)，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.

ππ7π

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxsinx0在,內(nèi)恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，0，

444

1711713

所以最小正周期滿足πππTππ=π,

3442442

42π715

所以4,ππ+ππ，

3T12444

4

4

313

所以有：3，

7π7ππ11π7

2442

故選：B

對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)最值，需要確定含有k個(gè)最值的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和

周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個(gè)最值，需要確定包含k+1個(gè)最值的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值.

【變式3-1】（2025·天津·二模）已知fxsinxcosx，0.若存在0xx，使得

122

fx1fx222，則實(shí)數(shù)的范圍是（）

591559

A．,B．,C．,D．,

222222

【答案】B

5

【分析】先將函數(shù)進(jìn)行化一處理，由0x得x，由可得解.

24424242

【詳解】fxsinxcosx2sin(x)，

4

當(dāng)0x時(shí)，x，

24424

存在0xx，使得fx1fx222，

122

59

則，解得.

2422

故選：B.

【變式3-2】（2025·天津南開·模擬預(yù)測(cè)）已知f(x)sin(x)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

3

①fx1fx22時(shí)x1x2最小值為；②yfx是奇函數(shù)；③f(0)f.若f(x)在[0,t)上

236

沒有最大值，則實(shí)數(shù)t的范圍是（）

1111511

A．0,B．0,C．,D．,

66612612

【答案】D

【分析】由條件①得出函數(shù)的半周期，進(jìn)而求得ω的值，結(jié)合條件②③討論并確定ω和φ的值，得函數(shù)解

析式，最后結(jié)合函數(shù)圖像可求得t的取值范圍.

【詳解】因函數(shù)f(x)sin(x)最大值為1，最小值為-1，而fxfx2，則xx，xx為

31212

函數(shù)f(x)圖象的兩條對(duì)稱軸，

2

xx最小值為，而相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為半周期，即周期T，||2，

122T

當(dāng)2時(shí)，f(x)sin(2x)，

3

f(x)sin[2(x)]sin(2x)sin(2x)是奇函數(shù)，則k(kZ)，

333

f(x)sin(2xk)，f(0)sin(k),f()sink，而f(0)f，

3366

sin(k)sink，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)成立，

3

2

此時(shí)f(x)sin(2x)sin(2x)，

33

當(dāng)2時(shí)，f(x)sin(2x)，

3

f(x)sin[2(x)]sin(2x)是奇函數(shù)，則k(kZ)，

33333

22

k，f(x)sin(2xk)，f(0)sin(k),f()sin(k)，

3336

22

而f(0)f，即sin(k)sin(k)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)成立，f(x)sin(2x)，

633

2

綜上得f(x)sin(2x)，

3

2222

0xt時(shí)，2x2t，因f(x)sin(2x)在[0,t)沒有最大值，

3333

22

則有函數(shù)ysinx在[,2t)上沒有最大值，如圖是ysinx的部分圖象，

33

725725511

sinsin，x時(shí)，sinx取最大值1，從而有2t，t.

332332612

故選：D

k

【變式3-3】（2025·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)ysinx(k0)在0,6內(nèi)恰好出現(xiàn)2次最大值，則k的范

2

圍為（）

355353

A．,B．,C．,D．,

266262

【答案】D

4

【分析】先判斷函數(shù)最小正周期T和函數(shù)取最大值時(shí)的x取值，再列第二個(gè)、第三個(gè)最值點(diǎn)與6的關(guān)系，

k

即解得結(jié)果.

24

kT

【詳解】依題意可知，函數(shù)ysinx的最小正周期kk.

2

2

kT5T9T13T

函數(shù)ysinx(k0)在x0時(shí)的最大值依次在x,,,,...處取得，

24444

k5T9T

所以要使在ysinx在0,6內(nèi)恰好出現(xiàn)2次最大值，需要6，

244

24242442453

解得T，即，解得k.

959k562

故選：D.

題型04極值問題

2π1

【例4-1】（2025·天津靜?！と＃┮阎瘮?shù)fxsin2πxsin2πxaxaR在區(qū)間0,上有兩個(gè)

32

x1x2

極值點(diǎn)x1和x2，則f的范圍為（）

2

ππππππππ

A．,B．,C．,D．,

36363636

【答案】A

【分析】先根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分離參數(shù)及數(shù)形結(jié)合求出a的范圍，

xx

結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可求解f12的范圍.

2

2π

【詳解】因?yàn)閒xsin2πxsin2πxax，

3

2ππ

所以fx2πcos2πxcos2πxa2πcos2πxa，

33

πa

由fx0得cos2πx，

32π

π1

且函數(shù)ycos2πx，x0,的圖象如圖：

32

a1

故當(dāng),1時(shí)，fx0有兩個(gè)不等實(shí)根x1和x2，此時(shí)aπ,2π，

2π2

11ππ

因?yàn)閒x2πcos[2πx]a2πcos2πxafx，

3333

1xx1

即x是fx的對(duì)稱軸，由fxfx0知12，

61226

xx1a

從而f12f，

266

xxaππ

所以f12,.

2636

故選：A.

π

【例4-2】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）定義在[0，π]上的函數(shù)ysin(x)(ω>0)存在極值點(diǎn)，且值域

6

1

M[,)，則ω的范圍是（）

2

724742

A．[,2]B．[,]C．(,]D．[，2]

633633

【答案】B

π

【分析】由x[,]，根據(jù)極值點(diǎn)和值域范圍即可求得的范圍.

666

π

【詳解】定義在[0,π]上的函數(shù)ysin(x),

6

π

x[,],

666

π2

因?yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，所以，即ω.

623

1π

又因?yàn)橹涤騇[,)，所以，

266

4

即有：,

3

24

綜上：ω[,].

33

故選：B

對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個(gè)極值，需要確定含有k個(gè)極值的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和

周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個(gè)極值，需要確定包含k+1個(gè)極值的區(qū)間長(zhǎng)度的最小值.

π

【變式4-1】（2025·天津北辰·三模）記函數(shù)fxAsinxA0,0,的導(dǎo)函數(shù)為fx，且

2

ππππ

、分別為函數(shù)fx、fx的零點(diǎn)，若函數(shù)fx在,上無(wú)極值，則的值為（）

8832

A．2B．4C．6D．8

【答案】A

ππ

【分析】由題知24k2k1,k2k1Z，再由fx在,上無(wú)極值可得06，從而得到2或

32

6，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分別討論的取值可得結(jié)果.

ππ

【詳解】由題知，fxAcosx，f0，f0，

88

π

kπ,kZ