高二年級數(shù)學(xué)試卷202601考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C.5 D.73.已知向量，若，則（）A.7 B.5 C. D.4.若直線被圓截得的弦長為，則（）A. B. C.2 D.5.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則該動圓圓心軌跡是（）A.拋物線 B.雙曲線的一支 C.橢圓 D.圓6.某無人機愛好者組織小規(guī)模無人機表演，按照如圖所示規(guī)律排列圖形，若從第一組開始依次排列，則210架無人機可以同時排出的圖形組數(shù)是（）A.14 B.13 C.12 D.117.已知橢圓的右焦點為，為上任意一點，點，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.8.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過原點的直線交于，兩點，若，為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線滿足，且間距離為，若的方程為，則的方程為（）A. B.C. D.10.在平行六面體中，，點是上靠近的三等分點，設(shè)，則（）A. B.C. D.11.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)中不在中的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項和為，則（）A. B.是等比數(shù)列C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若成等差數(shù)列，則________．13.若直線過原點，且直線的方向向量，則點到直線的距離為__________.14.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，若是曲線C上任意一點，的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項和為．（1）若為等比數(shù)列，，，求的公比；（2）若為等差數(shù)列，，，求．16.已知圓的圓心在直線上，并且過和兩點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過直線上一點作圓的切線，，切點為，，求四邊形面積最小值.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）若，數(shù)列前項和為，證明：．19.已知橢圓的右焦點為上一動點到的距離的取值范圍為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為的直線過點，交于，兩點.記線段的中點為，直線交直線于點，直線交于，兩點.①求的大?。虎谇笏倪呅蚊娣e的最小值.高二年級數(shù)學(xué)試卷202601考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程即可求解準(zhǔn)線方程.【詳解】由得，即，故準(zhǔn)線方程為，故選：C2.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用，代值計算，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，可得．故選：A.3.已知向量，若，則（）A.7 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，即.故選：D4.若直線被圓截得的弦長為，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)圓的弦長公式可得.【詳解】由圓，圓心，半徑.則圓心到直線的距離，又因為截得的弦長為，所以，化簡得，解得.故選：A.5.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.雙曲線的一支 C.橢圓 D.圓【答案】C【解析】【分析】由圓與圓的位置關(guān)系確定，，，再利用橢圓的定義可求.【詳解】如圖，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由題意得圓：，圓：，則，，，所以，所以點的軌跡為以，為焦點，長軸長為的橢圓（除去點）.故選：C.6.某無人機愛好者組織小規(guī)模無人機表演，按照如圖所示規(guī)律排列圖形，若從第一組開始依次排列，則210架無人機可以同時排出的圖形組數(shù)是（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】C【解析】【分析】記第組中無人機的架數(shù)為，可知數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運算求解.【詳解】記第組中無人機的架數(shù)為，由圖形可得，可知數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和，令，得，解得（舍）或，所以210架無人機可以同時排出的圖形組數(shù)是12．故選：C7.已知橢圓的右焦點為，為上任意一點，點，則的最大值為（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)在線段上時，取最大值即，再利用兩點距離公式就可求解.【詳解】由題意，橢圓的左焦點為，由橢圓定義可得，所以，因為，故在橢圓內(nèi)，所以，當(dāng)在線段上時，等號成立.故選：B.8.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過原點的直線交于，兩點，若，為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用雙曲線定義結(jié)合已知條件得出，，再結(jié)合余弦定理得出邊長間關(guān)系得出，即可得出離心率范圍.【詳解】由題意知，，關(guān)于原點對稱，不妨設(shè)點為第一象限內(nèi)一點，則，，又，，所以，，記，因為為銳角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故選:D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線滿足，且間的距離為，若的方程為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，由平行線間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)直線的方程為，則間的距離，解得，或，所以直線的方程為或.故選：AB.10.在平行六面體中，，點是上靠近的三等分點，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項通過空間向量的加減法，將向量按向量減法法則變形為，利用向量與基底的關(guān)系得到表達(dá)式；對于B選項根據(jù)空間向量的線性運算，通過選取路徑，結(jié)合三等分點的向量表示，得出結(jié)果；對于C選項，展開向量平方并代入已知模長與夾角的內(nèi)積公式，綜合運用空間向量數(shù)量積的運算法則；對于D選項，通過計算其數(shù)量積是否為零來實現(xiàn)，再次利用已知夾角與向量內(nèi)積的性質(zhì).【詳解】對于A選項，在平行六面體中，，故A正確；對于B選項，因為點是上靠近的三等分點，所以，又，所以，故B正確；對于C選項，因為，，，所以，所以，故C錯誤；對于D選項，，所以，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)中不在中的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項和為，則（）A. B.等比數(shù)列C. D.【答案】AC【解析】【分析】由的遞推公式可判斷A，由可判斷B，確定數(shù)列中含的個數(shù)，可判斷CD；【詳解】對于A：由，可得：，所以：，所以，正確，對于B：所以，即是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以則，不是等比數(shù)列，錯誤；對于C：數(shù)列的第106項為213，又，，，，，，，所以，所以的前項和為，C對，D錯；故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若成等差數(shù)列，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差中項公式，列出方程，即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，解得．故答案為：.13.若直線過原點，且直線的方向向量，則點到直線的距離為__________.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量的方法計算點到直線的距離，已知點與點，首先求在直線上的投影向量為的模長，然后再利用勾股定理即可求出點到直線的距離.【詳解】設(shè)向量在直線上的投影向量為，則，所以點到直線的距離.故答案為：.14.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，若是曲線C上任意一點，的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)曲線方程分析曲線的性質(zhì)及形狀，問題化為各圓弧上點到直線的距離，再應(yīng)用圓上點到直線的距離求法確定最值.【詳解】曲線，當(dāng)，時，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時，曲線C的方程可化為，作出曲線如圖：到直線的距離，則即為，要求得的最小值，結(jié)合曲線的對稱性，只需考慮，時的情況；當(dāng)，時，曲線C的方程為，曲線為圓心為，半徑為的圓的一部分，而到直線的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線C上一點到直線的距離最小為，故的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項和為．（1）若為等比數(shù)列，，，求的公比；（2）若為等差數(shù)列，，，求．【答案】（1）1或（2）-100【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出關(guān)于首項和公比的方程組，解方程組即可（2）方法1：根據(jù)等差數(shù)列結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)即可求解；方法2，根據(jù)等差數(shù)列的公式列出關(guān)于和的方程組，解方程組即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由題意得兩式相除，得，即，解得，或．【小問2詳解】法1：由，，得，因為這些項成等差數(shù)列，且項數(shù)為80，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，所以，所以，所以．法2：設(shè)數(shù)列的公差為，由，，得化簡，得解得所以．16.已知圓的圓心在直線上，并且過和兩點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過直線上一點作圓的切線，，切點為，，求四邊形面積最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，列出方程求得，求得圓；（2）根據(jù)題意求得，當(dāng)時，得到，取得最小值，進(jìn)而得出面積的最小值.【小問1詳解】由題意，圓心在直線上，可設(shè)，因為圓過點，且過點，可得，整理得，所以，即，且半徑所以圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓，圓心，半徑，則四邊形的面積，設(shè)，因為，所以當(dāng)時，，此時四邊形的面積最小，最小值為；17.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面，進(jìn)而得，再根據(jù)即可結(jié)合證明平面，最后證明結(jié)論；（2）分別取的中點，連結(jié)，進(jìn)而證明對應(yīng)的垂直關(guān)系，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.小問1詳解】證明：因為四邊形是正方形，所以.因為平面平面，平面平面平面，所以平面.又平面PAD，所以，又平面，所以平面，又平面PCD，所以平面平面PCD.【小問2詳解】解：分別取的中點，連結(jié)，因為，所以，且，因為四邊形ABCD是正方形，分別是的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，，又平面平面，所以，即，又，所以，以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)為平面的一個法向量，則令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和；（3）若，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，利用累乘法，求得，進(jìn)而得到的通項公式；（