天津市部分區(qū)2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高二數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共120分，考試用時(shí)100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（共36分）注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線在軸上的截距是（）A. B. C.1 D.2.已知向量與共線，則（）A.9 B.3 C. D.3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列公差為，若，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.45.若直線一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的大小為（）A. B. C.或 D.或6.已知圓：，圓：，則圓與圓位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.外離 D.內(nèi)含7.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若直線的方程為，則（）A.3 B.4 C.5 D.68.在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A.41 B.50 C.61 D.749.已知，，點(diǎn)在曲線上，則的面積（）A.有最大值，但沒有最小值 B.沒有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒有最大值，也沒有最小值第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共84分.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.拋物線的準(zhǔn)線方程為________．11.向量與的夾角為______.12.直線被圓截得的弦長為，則實(shí)數(shù)______.13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公比為______.14.如圖，阿基米德橢圓規(guī)是由基座、帶孔橫桿、兩條互相垂直的空槽和兩個(gè)可動(dòng)滑塊，組成的一種繪圖工具，橫桿的一端上裝有鉛筆，假設(shè)兩條互相垂直的空槽和帶孔的橫桿都足夠長，將滑塊，固定在帶孔的橫桿上，設(shè)滑塊在其中一條空槽上滑動(dòng)，滑塊在另一條空槽上滑動(dòng)，鉛筆隨之運(yùn)動(dòng)就能畫出橢圓.當(dāng)，之間的距離為8厘米時(shí)，若需要畫出一個(gè)離心率為的橢圓，則，之間的距離為______厘米.15.雙曲線：左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，若四邊形的面積為，則的方程為______.三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知為等比數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓的方程；（2）求過原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.18.如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，若平面與平面夾角的余弦值是，求的長.19.已知橢圓的焦距為，其左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程；（2）與直線垂直的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)（位于第一象限），求三角形的面積.20.已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，證明：.天津市部分區(qū)2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)高二數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共120分，考試用時(shí)100分鐘.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（共36分）注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線在軸上的截距是（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用截距定義令計(jì)算求解.【詳解】令，則，則直線在軸上的截距是1.故選：C.2.已知向量與共線，則（）A.9 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，解得，所以.故選：C3.橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求出，直接求離心率即可.【詳解】由可得，所以，故，所以，故選：D4.已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列列式得出，再應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，即得，所以，即，則.故選：C.5.若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則與所成角的大小為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式計(jì)算線面夾角的正弦值即可.【詳解】設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，所以.所以，即直線與平面所成角為.故選：A.6.已知圓：，圓：，則圓與圓位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.外離 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與兩個(gè)半徑的關(guān)系，即可判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．【詳解】圓可化簡(jiǎn)為：，因?yàn)閳A與圓的圓心分別為和，所以兩個(gè)圓的圓心距兩個(gè)圓的半徑分別為因?yàn)?，所以兩個(gè)圓外離.故選：C7.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若直線的方程為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】先由直線求出焦點(diǎn)和即拋物線的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點(diǎn)B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】如圖，對(duì)，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：B8.在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A.41 B.50 C.61 D.74【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后判斷數(shù)列的性質(zhì)，然后化簡(jiǎn)，最后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，所以設(shè)公差為，則由得.所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以.由于.所以.故選：B.9.已知，，點(diǎn)在曲線上，則的面積（）A.有最大值，但沒有最小值 B.沒有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得和直線的方程，結(jié)合雙曲線的漸近線分析點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，進(jìn)而可得的面積的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，則，直線斜率，所以直線的方程為，即，雙曲線的漸近線方程為，則直線與漸近線平行，兩平行線間距離，曲線過點(diǎn)，過點(diǎn)與直線平行的直線方程為，兩平行線間距離，結(jié)合圖形可知點(diǎn)到直線的距離，則的面積，所以的面積有最大值，但沒有最小值.故選：A.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共84分.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.拋物線的準(zhǔn)線方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程直接寫出即可.【詳解】由題,開口向左,且,故準(zhǔn)線方程為,即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程,屬于基礎(chǔ)題.11.向量與的夾角為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的余弦公式和向量數(shù)量積坐標(biāo)公式先求出余弦值，進(jìn)而得到向量的夾角.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c，所以.所以.又向量夾角的范圍為，所以向量與的夾角為.故答案為：.12.直線被圓截得的弦長為，則實(shí)數(shù)______.【答案】2或【解析】【分析】利用勾股定理計(jì)算出圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，該圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.故答案為：2或.13.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公比為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)等式，進(jìn)而求出該數(shù)列的公比.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，當(dāng)公比時(shí)，，此時(shí)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?解得，所以該數(shù)列的公比為.故答案為：.14.如圖，阿基米德橢圓規(guī)是由基座、帶孔的橫桿、兩條互相垂直的空槽和兩個(gè)可動(dòng)滑塊，組成的一種繪圖工具，橫桿的一端上裝有鉛筆，假設(shè)兩條互相垂直的空槽和帶孔的橫桿都足夠長，將滑塊，固定在帶孔的橫桿上，設(shè)滑塊在其中一條空槽上滑動(dòng)，滑塊在另一條空槽上滑動(dòng)，鉛筆隨之運(yùn)動(dòng)就能畫出橢圓.當(dāng)，之間的距離為8厘米時(shí)，若需要畫出一個(gè)離心率為的橢圓，則，之間的距離為______厘米.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定橢圓的長短半軸長，再利用橢圓離心率求法列式計(jì)算得解.【詳解】依題意，當(dāng)滑塊在兩條空槽的交點(diǎn)處時(shí)，長為橢圓的短半軸長，當(dāng)滑塊在兩條空槽的交點(diǎn)處時(shí)，長為橢圓的長半軸長，則，由橢圓的離心率為，得，解得，即，解得，所以之間的距離為5厘米.故答案為：515.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且，若四邊形的面積為，則的方程為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意列出圓的方程和雙曲線的漸近線方程，然后將這兩者聯(lián)立，得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式列出等式，求得，最后根據(jù)面積公式得到等式，從而可求出，進(jìn)而得到雙曲線的方程.【詳解】由題意可知，，雙曲線的漸近線方程為.以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為.因?yàn)橐詾橹睆綀A與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，所以聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)得，所以，所以.因?yàn)椋?，解?由于四邊形的面積為，所以.由得，所以，解得.所以雙曲線的方程為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知為等比數(shù)列，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.（2）先化簡(jiǎn)的表達(dá)式，然后根據(jù)分組求和進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由，，得，解得，又，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）得，，.17.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓的方程；（2）求過原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出線段的中垂線方程，再求出圓心坐標(biāo)及半徑即可.（2）按切線斜率是否存在分類，再利用切線的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求解.【小問1詳解】線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.過原點(diǎn)且斜率不存在的直線為，點(diǎn)到直線的距離為，等于半徑，則直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此切線方程為，所以經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.18.如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，若平面與平面夾角的余弦值是，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）1【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后列出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量坐標(biāo)和的坐標(biāo)，進(jìn)而證明結(jié)論.（2）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，結(jié)合（1）中求出的平面的法向量坐標(biāo)計(jì)算即可.（3）先求出平面的法向量坐標(biāo)，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式求出平面與平面夾角的余弦值，進(jìn)而得到結(jié)果.【小問1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，∴，，∴，令，得，所以，因?yàn)椋?，又因平面，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面的法向量，記點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為.【小問3詳解】由題意點(diǎn)在線段上，可設(shè)，則，設(shè)平面法向量，∴，，∴令，得，，所以，因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值是，所以，解得，所以長為1.19.已知橢圓的焦距為，其左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程；（2）與直線垂直的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)（位于第一象限），求三角形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距先求出，然后結(jié)合線段的長求出，進(jìn)而得到橢圓方程.（2）先根據(jù)垂直求出直線的斜率，然后設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)相切求出直線的方程，進(jìn)而可求出三角形的面積.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，.由可得，即，又，解得，∴橢圓的方程.【小問2詳解】由（1）得，，∴直線的斜率為，記與直線垂直的直線為，∴直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去，得，∵直線與橢圓相切，∴，解得，因?yàn)榕c直線垂直的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)位于第一象限，所以，此時(shí)，方程為，即