5.3.1等比數(shù)列（第二課時(shí)）人教B版（2019）選擇性必修第三冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.理解等比中項(xiàng)的概念，能用公式求解，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.掌握判斷等比數(shù)列的常用方法，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.能通過等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式了解等比數(shù)列的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用于解決問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）課程引入等比數(shù)列的概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的概念，根據(jù)等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì).課程內(nèi)容教學(xué)等比中項(xiàng)的概念如果x，G，y是等比數(shù)列，那么稱G為x與y的等比中項(xiàng).課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)如果G為x與y的等比中項(xiàng)，那么G能用x與y表示出來(lái)嗎？根據(jù)等比中項(xiàng)與等比數(shù)列的定義可知

，因此G2=xy.由此可知

舉個(gè)例子:

課程內(nèi)容教學(xué)想一想：G為x與y的等比數(shù)列的充要條件是G2=xy嗎？為什么？必要性：如果G是x與y的等比中項(xiàng)，根據(jù)定義

，交叉相乘后立即得到G2=xy充分性：如果G2=xy成立，那么可以推導(dǎo)出

，從而證明G是x與y的等比中項(xiàng).因此，G2=xy是G為x與y的等比中項(xiàng)的充要條件.課程內(nèi)容教學(xué)例6：如果數(shù)列{an}中，

，在n≥3時(shí)恒成立，求證：{an}是等比數(shù)列.根據(jù)題意有因此，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都相等，所以{an}是等比數(shù)列.結(jié)論：例6說(shuō)明，如果一個(gè)數(shù)列中，中間的每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等比數(shù)列.課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，求出a2a7，a3a6，并比較它們的大小.因?yàn)閍2a7=22-1×27-1=27a3a6=23-1×26-1=27所以a2a7=a3a6課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列的性質(zhì)一般地，如果{an}是等比數(shù)列，而且正整數(shù)s，t，p，q滿足s+t=p+q，則asat=apaq特別地，如果2s=p+q，則as2=apaq課程內(nèi)容教學(xué)對(duì)于上面的性質(zhì)進(jìn)行證明：設(shè){an}是等比數(shù)列，所以as=a1qs-1，at=a1qt-1ap=a1qp-1，aq=a1qq-1所以asat=a12qs+t-2，apaq=a12qp+q-2因?yàn)閟+t=p+q，所以asat=apaq.如果2s=p+q，則as2=apaq課程內(nèi)容教學(xué)例7：在4與

之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù).

方法一：依題意，a1=4，a5=

，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得=4×q4，解得q=±2.

當(dāng)q=時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為4×=2，2×=1，1×=

當(dāng)q=-時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為4×(-)=2，2×(-)=1，1×(-)=-

課程內(nèi)容教學(xué)例7：在4與

之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù).

方法二：因?yàn)榈缺葦?shù)列共有5項(xiàng)，即a1,a2,a3,a4,a5又因?yàn)?×3=1+5，所以a32=a1a5=4×=1

即a3=±1，又因?yàn)閍3與a1同號(hào)，因此a3=1.類似地，有a22=a1a3，a42=a3a5，而且a2與a4同號(hào).因此

課程內(nèi)容教學(xué)判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：若(q為常數(shù))，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(2)等比中項(xiàng)法：若an2=an-1an+1(n≥2)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)法：若an=kqn(k，b為非零常數(shù))，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；(4)性質(zhì)法：若數(shù)列{an}，{bn}為等比數(shù)列，k為非零常數(shù)，則{kan}，{anbn}，

也是等比數(shù)列.課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列的其他性質(zhì)1.數(shù)列{an}中，每隔k(k∈N+)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為qk+1.2.數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等比數(shù)列.3.在數(shù)列{an}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和（或積）構(gòu)成公比為qk（或qk2）的等比數(shù)列.4.若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差數(shù)列，則am,an,