黔南州2025-2026學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前將姓名、準考證號、座位號準確填寫在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號對應(yīng)選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書寫．在試卷、草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若直線經(jīng)過兩點，則直線的斜率為（）A. B.7 C.1 D.-12.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.63.若數(shù)列的通項公式為，則80是這個數(shù)列的（）A.第7項 B.第8項 C.第9項 D.第10項4.若橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.5.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6.在正方體中，分別是的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，若直線的方程為，則（）A2 B.3 C.4 D.58.已知直線過點，下列說法正確的是（）A. B.C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.關(guān)于空間向量，下列說法正確的是（）A.若向量和向量都是單位向量，則B.若向量與向量的夾角為鈍角，則C若四點共面，對空間中任意一點，有，則D.若，，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為10.橢圓的左、右焦點分別為，過原點的直線與橢圓交于兩點，則（）A.B.面積的最大值為C.存在直線使得D.當直線的傾斜角為時，四邊形的面積為11.在正四面體中，點，則點的坐標可以是（）A. B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知空間向量，若，則___________．13.在數(shù)列中，，，則數(shù)列通項公式為___________．14.已知兩點（其中），若圓上總存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知直線和圓．（1）若直線，求實數(shù)的值；（2）若直線，求直線被圓所截得的弦長．16.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和，并證明．17.如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是矩形，，是線段的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．18.橢圓的離心率為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點．（1）求橢圓標準方程；（2）當時，求弦長；（3）設(shè)橢圓的左焦點為，當?shù)膬?nèi)切圓的半徑最大時，求實數(shù)的值.19.已知第1個正方形的邊長為1，從第2個正方形起，每個正方形的頂點分別是上一個正方形各邊的中點，例如：第2個正方形的頂點分別是第1個正方形各邊的中點．記第個正方形的面積為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列．（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，并保持數(shù)列順序不變，將數(shù)列原有的項和插入的數(shù)組成新數(shù)列．（i）數(shù)列中是否存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？請說明理由．（ii）記數(shù)列的前項和為，求的值．（參考數(shù)據(jù)：）黔南州2025-2026學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前將姓名、準考證號、座位號準確填寫在答題卡指定的位置上．3．選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號對應(yīng)選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；非選擇題在答題卡上對應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書寫．在試卷、草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若直線經(jīng)過兩點，則直線的斜率為（）A. B.7 C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】由斜率的坐標公式直接求解可得.【詳解】由斜率公式可得斜率．故選：A．2.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)求出.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，即，解得．故選：C．3.若數(shù)列的通項公式為，則80是這個數(shù)列的（）A.第7項 B.第8項 C.第9項 D.第10項【答案】B【解析】【分析】令，求出的正整數(shù)解即可.【詳解】由數(shù)列的通項公式為，則令，即，可得.解得或（舍去），所以，所以80是數(shù)列的第8項．故選：B．4.若橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再由、、的關(guān)系及離心率公式計算可得.【詳解】由題可知，即，從而，即．由，可得，即，所以可得離心率．故選：C．5.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線方程可知雙曲線的焦點在軸上，由離心率為，得，求得的值，從而求得其漸近線方程.【詳解】由題可知雙曲線的焦點在軸上，且，，所以.由，可得．由離心率，可得．解得，從而，所以雙曲線的漸近線方程為，即．故選：D．6.在正方體中，分別是的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角余弦值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)正方體的棱長為1．由分別是的中點，可得，所以．由向量夾角公式，得，因此直線與所成角的余弦值為．故選：B7.設(shè)拋物線的焦點為，點在拋物線上，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，若直線的方程為，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】求出焦點的坐標，由此可得拋物線的方程，從而求得準線方程，聯(lián)立直線的方程，求得點的坐標，進而求得點的坐標，求出.【詳解】如下圖：對于直線，令，則，所以.所以拋物線的方程為，故拋物線的準線方程為．把代入直線的方程1，得點．設(shè)，故，代入拋物線，解得，所以．故選：A．8.已知直線過點，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得點的軌跡是單位圓，由直線與圓有公共點，可得圓心到直線的距離不大于半徑，由此求得可得.【詳解】由于，所以點的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為1的圓．因為直線過點，所以直線與圓有交點，因此，圓心到直線的距離不大于1，即，可得，所以．故選：D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.關(guān)于空間向量，下列說法正確的是（）A.若向量和向量都是單位向量，則B.若向量與向量的夾角為鈍角，則C.若四點共面，對空間中任意一點，有，則D.若，，則向量在向量方向上的投影向量的坐標為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B，根據(jù)空間共面定理的推論判斷C，根據(jù)投影向量的定義判斷D.【詳解】對于A，向量和向量都是單位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此與不一定相等，故A錯誤；對于B，若、的夾角為鈍角，顯然向量和向量都不是零向量，則為負數(shù)，因此，故B正確；對于C，由四點共面，且，所以，解得，故C正確；對于D，因為，，所以，，所以向量在向量方向上的投影向量為，故D正確．故選：BCD．10.橢圓的左、右焦點分別為，過原點的直線與橢圓交于兩點，則（）A.B.面積的最大值為C.存在直線使得D.當直線的傾斜角為時，四邊形的面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A；由的長度為定值，可知當點到的距離最大時，的面積最大，由此求出最大面積判斷B；假設(shè)存在直線使得，求得的值，判斷C；寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，求得點的坐標，求出四邊形的面積，判斷D.【詳解】對于A：由橢圓，得橢圓中.因此.由橢圓的定義得，故A正確；對于B：因為在中，底邊長度不變，所以當點在橢圓的上頂點時，面積最大，此時.因此面積的最大值為，故B正確；對于C：假設(shè)存在直線使得，則，即．又因為，即.代入，得.因為，所以方程無解，因此假設(shè)錯誤，所以不存在直線使得，故C錯誤；對于D：由橢圓的對稱性，設(shè)為軸上方的點.當直線的傾斜角為時，直線，聯(lián)立得，因此的面積為．由對稱性得四邊形的面積為，故D正確．故選：ABD．11.在正四面體中，點，則點的坐標可以是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】把正四面體補全為正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合三角形重心坐標公式進行求解即可.【詳解】由正四面體對棱相等，補全為如圖所示的正方體，易知．由對稱性可知，點還有可能落在圖中點處，因四面體為正四面體，所以是正三角形，取的重心為點．由正三角形性質(zhì)可得因點與點關(guān)于點對稱，設(shè)，則根據(jù)中點坐標公式可得，，所以．故選：BC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知空間向量，若，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標運算求解即可.【詳解】由題可得．由，可知，即，解得，則，則．故答案為：13.在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為___________．【答案】【解析】【分析】由，構(gòu)造等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，從而求得數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，所以.因為，所以.所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.所以數(shù)列的通項公式為．故答案為:．14.已知兩點（其中），若圓上總存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用向量垂直可得，由圓上一點到圓外定點距離的范圍可得的范圍.【詳解】設(shè)，由，，從而，所以，又因為，所以．即的取值可看作到原點的距離，由于，圓的半徑，則圓上一點到圓外一點距離的范圍是，即，解得或．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知直線和圓．（1）若直線，求實數(shù)的值；（2）若直線，求直線被圓所截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的結(jié)論列式求值即可.（2）先根據(jù)兩直線垂直確定直線的方程，再利用“幾何法”求弦長.【小問1詳解】由，得，解得.經(jīng)檢驗，當時，直線，此時成立，所以的值為.【小問2詳解】由，得，解得，此時.由圓，得圓，所以圓的圓心坐標，半徑.因為點到直線的距離，所以直線被圓所截得的弦長為.16.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和，并證明．【答案】（1）（2），證明見解析【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，根據(jù)裂項相消求和法求得數(shù)列的前項和，即可判斷其取值情況，從而證明．【小問1詳解】由已知，當時，；當時，.因為當時上式也成立，所以.【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以因，所以，所以，即.17.如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，四邊形是矩形，，是線段的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】如圖，設(shè)交于點，則為的中點，連接．因為四邊形是矩形，是的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】因為是的中點，所以．因為四邊形是正方形，所以．又平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面，且交線為．因為平面，所以平面.因為平面，所以.以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則，所以.設(shè)平面和平面的法向量分別為．由得令，則.由得令，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.18.橢圓離心率為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點．（1）求橢圓的標準方程；（2）當時，求弦長；（3）設(shè)橢圓的左焦點為，當?shù)膬?nèi)切圓的半徑最大時，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）1或.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出的值即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理以及弦長公式求出；（3）將問題轉(zhuǎn)化為求面積最大時求的值，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理求出面積，再結(jié)合基本不等式求最值，根據(jù)取等條件可得.【小問1詳解】依題意，得橢圓的右焦點為，即半焦距.又離心率，則.因為，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)．當時，由，得.根據(jù)韋達定理可知.則.【小問3詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，而的周長為．由，得，因此，當?shù)拿娣e最大時，其內(nèi)切圓的半徑最大.設(shè)．由，得，則，于是.令，則，則，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以當?shù)膬?nèi)切圓的半徑最大時，實數(shù)的值為1或.19.已知第1個正方形的邊長為1，從第2個正方形起，每個正方形的頂點分別是上一個正方形各邊的中點，例如：第2個正方形的頂點分別是第1個正方形各邊的中點．記第個正方形的面積為，且．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列．（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，并保持數(shù)列順序不變，將數(shù)列