高中二年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，且，則（）A.4 B.8 C. D.3.若點在直線上的垂足為，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知圓：，圓：，則這兩個圓的位置關(guān)系為（）A外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含5.已知等差數(shù)列滿足，，則其前30項和（）A585 B.957 C.1020 D.10856.，用表示，中的最小者，記為.記的最大值為，表示不超過的最大整數(shù)，如：，，若，，則（）A.0 B.1 C.2 D.37.如圖，正四面體的棱長為4，平面，為垂足，，延長交于點，則（）A.12 B. C.16 D.8.雙曲線：的右焦點為，設(shè)，過且斜率存在的一條直線與雙曲線交于，兩點.記直線，的斜率依次為，，若，則的取值范圍是（）A. B.C D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，下列說法正確的是（）A.B.與平行的一個單位向量是C.D.平面的一個法向量是10.設(shè)公比的等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.若，則11.已知，，點滿足直線與直線的斜率之積為，記點的軌跡為，，為曲線的左、右焦點，若經(jīng)過與交于，兩點，，的內(nèi)切圓分別與相切于，，半徑分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球，2個白球，乙盒中有2個紅球，4個白球，這些球除顏色外，形狀大小都相同.現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各摸取一球，則摸取的兩個球恰好一紅一白的概率為________.13.已知數(shù)列中，，，則________.14.已知四棱錐中，底面為正方形，底面，，分別為線段，的中點，是線段上的一點，.若異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.16.已知點，點在圓：上運動，線段的中點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過圓心的直線與曲線相切，求直線的方程.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為鈍角三角形，求的取值范圍.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，，，.（1）求證：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.19.已知拋物線：經(jīng)過點，且為焦點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)，為上兩個不同的點，且三點不共線，直線，的斜率分別為，，且.（i）試問直線否經(jīng)過定點?若是，求出該定點；若不是，請說明理由.（ii）若直線與軸的交點位于之間，設(shè)兩點到直線的距離之和為，兩點到直線的距離之和為，求的取值范圍.高中二年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：A2.設(shè)復(fù)數(shù)，且，則（）A.4 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式運算求解即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)，則，解得.故選：D.3.若點在直線上的垂足為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直線垂直列式求解即可.【詳解】由題意得，解得，所以.故選：B4.已知圓：，圓：，則這兩個圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】D【解析】【分析】求出圓心距，與半徑之差的絕對值比較大小即可判斷.詳解】由題可得：，，，，所以，則，故這兩個圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D5.已知等差數(shù)列滿足，，則其前30項和（）A.585 B.957 C.1020 D.1085【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式結(jié)合題設(shè)先求得，再根據(jù)求和公式計算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.故選：C6.，用表示，中的最小者，記為.記的最大值為，表示不超過的最大整數(shù)，如：，，若，，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)，的大致圖象，易知，則，結(jié)合新定義即可求解.【詳解】畫出函數(shù)，的大致圖象如下圖所示，則的圖象為圖中粗線部分，所以.因為，，所以，即，所以.故選：B7.如圖，正四面體的棱長為4，平面，為垂足，，延長交于點，則（）A.12 B. C.16 D.【答案】B【解析】【分析】由平面可得，再結(jié)合空間向量的線性運算、數(shù)量積的定義及運算律求解即可.【詳解】由平面，平面，得，由題可知，.故選：B8.雙曲線：的右焦點為，設(shè)，過且斜率存在的一條直線與雙曲線交于，兩點.記直線，的斜率依次為，，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，設(shè)直線為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】雙曲線：的右焦點的坐標(biāo)為，設(shè)直線為：，，，聯(lián)立，得，則，，且，，所以.因為，所以.故選：C二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，，下列說法正確的是（）A.B.與平行的一個單位向量是C.D.平面的一個法向量是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算、模、數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解判斷ABC；根據(jù)法向量的求法求解判斷D.【詳解】對于A，，，則，所以，故A正確；對于B，由于，則與平行的單位向量是，故B正確；對于C，因為，所以，則與不垂直，故C錯誤；對于D，設(shè)平面的一個法向量是，則，得，令，得平面一個法向量是，故D正確.故選：ABD10.設(shè)公比的等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合題設(shè)可求得，，進(jìn)而得到，，進(jìn)而求解判斷各選項即可.【詳解】對于A，由，，所以，是方程兩根，又，則，，則公比，故A正確；對于B，因為，由等比數(shù)列前項和公式得，則，故B正確；對于C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，，成公比為的等比數(shù)列，且，則，，即，故C錯誤；對于D，由，則，故D正確.故選：ABD11.已知，，點滿足直線與直線的斜率之積為，記點的軌跡為，，為曲線的左、右焦點，若經(jīng)過與交于，兩點，，的內(nèi)切圓分別與相切于，，半徑分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A：設(shè)點，根據(jù)題意列出，整理后得到的方程（）；對于B：由橢圓的定義可求解；對于C：由橢圓的定義得，通過切點的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化成即可求解，同理可求；對于D：先通過條件判斷，通過的關(guān)系，結(jié)合切點處另外兩個直角三角形的邊長關(guān)系得到第一個含的式子，再通過的關(guān)系，結(jié)合切點處另外兩個直角三角形的邊長關(guān)系得到第二個含的式子，兩個式子聯(lián)立化簡即可得證.【詳解】對于選項A：設(shè)，因為直線與直線的斜率之積為，所以有，所以，故A錯誤；對于選項B：易得為去掉長軸頂點的橢圓，故有，故B正確；對于選項C：如圖，設(shè)和的內(nèi)心分別為，，設(shè)的內(nèi)切圓的另兩個切點為，，的內(nèi)切圓的另兩個切點為，，則，，，則，由題中相切可得，，，所以有，即，，，所以，同理可證，故C正確；對于選項D：由題意得，，所以，所以有，且，，故，又因為。聯(lián)立，即，整理得，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球，2個白球，乙盒中有2個紅球，4個白球，這些球除顏色外，形狀大小都相同.現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各摸取一球，則摸取的兩個球恰好一紅一白的概率為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意，摸取的兩個球恰好一紅一白的概率為.故答案為：.13.已知數(shù)列中，，，則________.【答案】##4.375【解析】【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而利用累乘法求解即可.【詳解】由，得，所以，，則.故答案為：.14.已知四棱錐中，底面為正方形，底面，，分別為線段，的中點，是線段上的一點，.若異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為________.【答案】【解析】【分析】建系并標(biāo)出點，設(shè)，，利用空間向量得坐標(biāo)運算結(jié)合線線夾角求得，進(jìn)而可求錐體的體積.【詳解】因為四棱錐的底面為正方形，且平面，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，，可得，，設(shè)，，則，即，可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，整理可得，解得或（舍去），即，則.所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式結(jié)合題設(shè)先求得，進(jìn)而求解即可；（2）由題設(shè)可得，結(jié)合裂項相消法求解即可【小問1詳解】由，得，解得，所以.【小問2詳解】由題意，所以.16.已知點，點在圓：上運動，線段的中點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過圓心的直線與曲線相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，，由為的中點可得，，進(jìn)而將點代入圓的方程即可求解；（2）分直線的斜率存在、不存在兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】設(shè)，，由，為的中點，則，，解得，，因為點在圓：上，所以，即，化簡得，所以曲線的方程為.【小問2詳解】易知，曲線是以為圓心，為半徑的圓.顯然當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，與曲線不相切；故直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，即，由直線與圓相切，則圓心到直線的距離，化簡得，解得或，故直線的方程是或.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為鈍角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)結(jié)合余弦定理、正弦定理、兩角的正弦公式化簡求解即可；（2）結(jié)合三角恒等變換化簡可得，進(jìn)而分為鈍角、為鈍角兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得，得，由正弦定理可得，得，得，因為，所以，所以，得，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，故，，所以.若為鈍角，則，即，則，則，所以，此時的取值范圍是；若為鈍角，則，即，則，即，所以，此時的取值范圍是.綜上所述，的取值范圍是.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，，，.（1）求證：.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；解法二：先證明，，可得平面，進(jìn)而求證即可；（2）利用線面角的空間向量公式求解即可；（3）利用面面角的空間向量公式求解即可.【小問1詳解】解法一：由平面，，知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，知，，則，，，，，則，，所以，所以，即.解法二：由，，在與中，因為，，所以，所以，所以，則，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，得，取，得.設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】在棱上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，設(shè)，，，則，則，即.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，由（2）知，平面的一個法向量為，若平面與平面夾角的余弦值為，則，化簡得，解得或，此時或，綜上，在棱上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，此時或.19.已知拋物線：經(jīng)過點，且為的焦點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)，為上兩個不同的點，且三點不共線，直線，的斜率分別為，，且.（i）試問直線是否經(jīng)過定點?若是，求出該定點；若不是，請說明理由.（ii）若直線與軸的交點位于之間，設(shè)兩點到直線的距離之和為，兩點到直線的距離之和為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）直線經(jīng)過定點；（ii）.【解析】【分析】（1）將點代入到拋物線方程即可求的值，進(jìn)而可求拋物線的方程；（2）（i）設(shè)出兩點坐標(biāo)，代入到拋物線方程并結(jié)合求出的第一個關(guān)系，設(shè)出直線含雙參的方程，并與拋物線聯(lián)立后使用韋達(dá)定理，得到的第二個關(guān)系，聯(lián)立兩個關(guān)系得到間的關(guān)系，用表示后直線的方程可求定點；（ii）因為直線與軸的交點位于之間，故令后可得的取值