柳州市2025-2026學年度九年級（上）期末質量監(jiān)測試題數學（考試時間：120分鐘，全卷滿分：120分）一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，每小題選對得3分，選錯、不選或多選均得零分，請把選擇題的答案填入下面的表格中）1.科技飛速發(fā)展時代，新能源汽車宛如一顆璀璨的新星，劃破傳統(tǒng)燃油車的“蒼穹”，引領著出行方式邁向全新紀元．下圖是四款新能源汽車的標志，其中是中心對稱圖形的是（）A B. C. D.2.任意畫一個三角形，其內角和是，這一事件是（）A.必然事件 B.不可能事件 C.隨機事件 D.確定事件3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍色，從中任意取出一件正好是藍色的概率為（）A. B. C. D.4.如圖，在中，，則等于（）A. B. C. D.5.把拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，所得函數的表達式為（）A. B.C. D.6.下列各點在反比例函數的圖象上的是（）A. B. C. D.7.一元二次方程根的情況為（）A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根 D.有兩個正的實數根8.苯（分子式為）的環(huán)狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現如圖1的一個苯分子中的6個碳原子形成了正六邊形的結構，其示意圖如圖2，點為正六邊形的中心．若，則的長是（）A.1 B. C.2 D.39.我國的乒乓球“夢之隊”在巴黎奧運賽場上大放異彩，奧運會乒乓球比賽的第一階段是團體賽，賽制為單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一場）．共安排28場比賽，設邀請個球隊參加比賽，可列方程得（）A. B.C. D.10.根據圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形內心的是（）A. B. C. D.11.如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點，；則下列結論錯誤的是（）A.B.若點，在拋物線上，則C.D.對任意實數m，均成立12.如圖，菱形的頂點在軸正半軸上，，反比例函數的圖象過點和菱形的對稱中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.二、填空題（本題共4小題，每小題3分，滿分12分）13.若點與點關于原點對稱，則a的值為_____．14.如果關于x的一元二次方程的一根為，則另一根為________．15.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果：投籃的次數投中的次數投中的頻率這名球員投籃一次，投中的概率約是______（精確到）．16.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點在第一象限內，，，將繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第2026次旋轉后，點的坐標為_____．三、解答題（本題共7小題，滿分72分．解答題寫出必要的文字說明、演算步理或推理過程）17.解一元二次方程：（1）；（2）．18.在如圖所示的正方形網格中，的頂點均在格點上，請在所給的平面直角坐標系中按要求作圖并完成填空：作出關于原點成中心對稱的，寫出點的坐標________；作出繞點逆時針旋轉的，寫出點的坐標________．19.通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．化學實驗室中有四瓶標簽被污染無法識別的無色溶液，分別是A：鹽酸（呈酸性），B：硝酸鉀溶液（呈中性），C：氫氧化鈉溶液（呈堿性），D：氫氧化鉀溶液（呈堿性）．慕梓睿在這四瓶溶液中取樣，用酚酞檢測其堿性．（1）若慕梓睿將酚酞隨機滴入一種樣本溶液中，結果樣本溶液變紅色的概率是；（2）若慕梓睿將酚酞隨機滴入兩種樣本溶液中，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求兩種樣本溶液恰好都變紅色的概率是多少？20.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．21.某城門的截面由一段拋物線和一個正方形（為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米，如圖1所示，現以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系．（1）求上半部分拋物線的函數表達式；（2）有一輛寬3米，高米的消防車需要通過該城門，請問該消防車能否正常進入？（3）為營造節(jié)日氣氛，需要臨時搭建一個“裝飾門”，該“裝飾門”關于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中，，為三根承重鋼支架，、在拋物線上，，在地面上，已知鋼支架每米70元，問搭建這樣一個矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？22.綜合與實踐

如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和______，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或______m，______m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空；類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？并仿照小穎的方法，在圖2中利用函數圖象說明理由．【問題延伸】（3）當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發(fā)現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，求出直線與反比例函數的圖象有唯一交點時的交點坐標及的值．【拓展應用】外觀從以上積分中發(fā)現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍______．23.我們定義：有一組鄰邊相等的四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形的頂點A，B，C在平面直角坐標系網格內，坐標分別為，請你寫出三個D點坐標，使得四邊形是3個不同形狀的等鄰邊四邊形，要求頂點D在網格格點上（_____，____），（_____，____），（_____，____）；（2）如圖2，長方形中，，，點E在邊上，連接畫于點F，若，找出圖中的等鄰邊四邊形，并說明理由；（3）如圖3，在中，，，，D是的中點，點M是邊上一點，當四邊形是“等鄰邊四邊形”時，請直接寫出的長度．柳州市2025-2026學年度九年級（上）期末質量監(jiān)測試題數學（考試時間：120分鐘，全卷滿分：120分）一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，每小題選對得3分，選錯、不選或多選均得零分，請把選擇題的答案填入下面的表格中）1.科技飛速發(fā)展的時代，新能源汽車宛如一顆璀璨的新星，劃破傳統(tǒng)燃油車的“蒼穹”，引領著出行方式邁向全新紀元．下圖是四款新能源汽車的標志，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不中心對稱圖形，故A不符合題意；B．不是中心對稱圖形，故B不符合題意；C．是中心對稱圖形，故C符合題意；D．不是中心對稱圖形，故D不符合題意．故選：C．2.任意畫一個三角形，其內角和是，這一事件是（）A.必然事件 B.不可能事件 C.隨機事件 D.確定事件【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了不可能事件以及三角形內角和定理，正確掌握各種事件的定義是解題關鍵．把在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件，直接利用三角形內角和定理，結合不可能事件的定義分析得出答案．【詳解】解：任意畫一個三角形，其內角和是，則內角和為這一事件是不可能事件，．故選：B．3.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍色，從中任意取出一件正好是藍色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了概率的計算，熟練掌握概率的計算公式是解題的關鍵．根據概率的計算公式即可求解．【詳解】解：小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍色，從中任意取出一件正好是藍色的概率為．故選：C．4.如圖，在中，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了圓周角定理.同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，據此進行解答即可.【詳解】解：∵，∴故選：C5.把拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，所得函數的表達式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查二次函數圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關鍵．根據二次函數圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解題即可．【詳解】解：把拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度后，所得函數的表達式為：，故選：D．6.下列各點在反比例函數的圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上的點，解題關鍵是明確反比例函數圖象上的點的橫縱坐標乘積等于比例系數k，據此逐項判斷即可．【詳解】解：∵，，，，∴在反比例函數的圖象上，故選項B符合題意，故選：B．7.一元二次方程根的情況為（）A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根C.沒有實數根 D.有兩個正的實數根【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的情況，根據根的判別式判斷一元二次方程的根的情況即可．【詳解】解：一元二次方程根的判別式，所以一元二次方程有兩個不相等的實數根，故選：A．8.苯（分子式為）的環(huán)狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現如圖1的一個苯分子中的6個碳原子形成了正六邊形的結構，其示意圖如圖2，點為正六邊形的中心．若，則的長是（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，理解正多邊形的邊，圓心角的數量的特點是解題的關鍵．根據正多邊形的性質可得，，是等邊三角形，由此即可求解．【詳解】解：正六邊形，點為中心，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，故選：A

．9.我國的乒乓球“夢之隊”在巴黎奧運賽場上大放異彩，奧運會乒乓球比賽的第一階段是團體賽，賽制為單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一場）．共安排28場比賽，設邀請個球隊參加比賽，可列方程得（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，利用每組安排比賽的場數=每組邀請球隊數每組邀請球隊數，即可列出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據題意得：，故選：D．10.根據圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形內心的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查基本作圖、三角形內心：三角形三條內角平分線的交點，根據內心的定義判斷即可．【詳解】A、一條是內角平分線，一條是邊的垂直平分線，故不能找到內心，選項不符合題意；B、兩條均為內角平分線，根據三角形內心是角平分線的交點，可以利用直尺成功找到三角形內心，選項符合題意；C、兩條線均為邊的垂直平分線，故不能找到內心，選項不符合題意；D、一條是邊的高線，一條是邊的垂直平分線，故不能找到內心，選項不符合題意；故選：B．11.如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點，；則下列結論錯誤的是（）A.B.若點，在拋物線上，則C.D.對任意實數m，均成立【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．依據題意，根據拋物線與軸相交于點，，求出其對稱軸，再由拋物線的開口方向，結合二次函數的性質即可判斷得解．【詳解】解：拋物線與軸相交于點，，對稱軸是直線．．．又圖象可得，，，．，故A正確，不符合題意；拋物線開口向上，拋物線上的點離對稱軸越近函數值越?。郑?，故B錯誤，符合題意；∵函數圖象與x軸有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數根，∴，故C正確，不符合題意；對稱軸是直線，且拋物線開口向上，當時，取最小值為．對于任意的，當時，函數值．，故D正確，不符合題意；故選：B．12.如圖，菱形的頂點在軸正半軸上，，反比例函數的圖象過點和菱形的對稱中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是菱形的性質，勾股定理的應用，反比例函數的性質，先證明，，設，可得，，求解，過作于，再進一步求解即可．【詳解】解：∵菱形的頂點在軸正半軸上，，∴，，∴，設，∴，∴，解得：，過作于，∴，∴，∴，∴；故選：D二、填空題（本題共4小題，每小題3分，滿分12分）13.若點與點關于原點對稱，則a的值為_____．【答案】2【解析】【分析】根據關于原點對稱點的特點，求出a的值即可．【詳解】解：∵點與點關于原點對稱，∴．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了關于原點對稱點的特點，解題的關鍵是熟練掌握關于原點對稱點的特點，14.如果關于x的一元二次方程的一根為，則另一根為________．【答案】3【解析】【分析】本題考查了根與系數的關系，設方程的另一根為，根據根與系數的關系得到，然后解一次方程即可．【詳解】解：設方程的另一個根為，則，解得：，故答案為：3．15.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果：投籃的次數投中的次數投中的頻率這名球員投籃一次，投中的概率約是______（精確到）．【答案】【解析】【分析】此題考查了利用頻率估計概率的知識，根據頻率估計概率的方法結合表格數據可得答案．【詳解】解：由頻率分布表可知，隨著投籃次數越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數附近，∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中概率為．故答案為：．16.如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點在第一象限內，，，將繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第2026次旋轉后，點的坐標為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了等邊對等角，含角的直角三角形的性質，坐標系中點的旋轉的坐標規(guī)律，發(fā)現每旋轉4次點B回到初始位置是解題關鍵．利用已知條件，先求出點B的坐標，由每次旋轉，旋轉4次是，點B恰好旋轉1圈，從而將旋轉2026次，等效成旋轉2次，從而確定結果．【詳解】解：如圖，過點B作軸于點C，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，，∴，由每次旋轉，旋轉4次是，點B恰好旋轉1圈，，，∴第2026次旋轉后，點B從初始位置旋轉了，由坐標系中的點繞原點旋轉的坐標規(guī)律可知，此時，故答案為：

．三、解答題（本題共7小題，滿分72分．解答題寫出必要的文字說明、演算步理或推理過程）17.解一元二次方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進行計算是解此題的關鍵．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出結果；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出結果．【小問1詳解】解：，，或，，；【小問2詳解】解：，，，或，，．18.在如圖所示的正方形網格中，的頂點均在格點上，請在所給的平面直角坐標系中按要求作圖并完成填空：作出關于原點成中心對稱的，寫出點的坐標________；作出繞點逆時針旋轉的，寫出點的坐標________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據關于原點對稱的點的坐標特征分別寫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1；

（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出點A1、B1、C1的對應點A2、B2、C2，于是可得到△A2B2C2，再寫出點C2的坐標．【詳解】解：(1)如圖,為所作，點的坐標為(4,?4)；(2)如圖,為所作，點的坐標為(1,4)．故答案為(4，4)，(1，4)．【點睛】本題主要考查作圖-旋轉變換，熟悉掌握是關鍵．19.通常情況下酚酞遇酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色．化學實驗室中有四瓶標簽被污染無法識別的無色溶液，分別是A：鹽酸（呈酸性），B：硝酸鉀溶液（呈中性），C：氫氧化鈉溶液（呈堿性），D：氫氧化鉀溶液（呈堿性）．慕梓睿在這四瓶溶液中取樣，用酚酞檢測其堿性．（1）若慕梓睿將酚酞隨機滴入一種樣本溶液中，結果樣本溶液變紅色的概率是；（2）若慕梓睿將酚酞隨機滴入兩種樣本溶液中，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求兩種樣本溶液恰好都變紅色的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查概率的應用，掌握畫樹狀圖或列表求概率的方法是解題的關鍵．（1）根據概率公式直接求解；（2）通過畫樹狀圖或列表羅列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數，最后利用概率公式求解．【小問1詳解】解：慕梓睿將酚酞隨機滴入一種樣本溶液中，結果樣本溶液變紅色的概率是，故答案為：；【小問2詳解】解：列表如下：

ABCDA

B

C

D

∴共有12種可能結果，其中兩種樣本溶液恰好都變紅色的有2種，∴兩種樣本溶液恰好都變紅色的概率為．20.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）⊙O半徑是4.5【解析】【分析】（1）如圖1，連接OC，先根據四邊形ABCD內接于⊙O，得，再根據等量代換和直角三角形的性質可得，由切線的判定可得結論；（2）如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，先根據三個角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設⊙O的半徑為x，根據勾股定理列方程可得結論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，∵，∴，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴又∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵OC是⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線；（2）解：如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，∵，∴四邊形OGEC是矩形，∴，設⊙O的半徑為x，Rt△CDE中，，∴，∴，，由勾股定理得，∴，解得：，∴⊙O半徑是4.5．【點睛】本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質，熟練掌握相關性質是解決問題的關鍵．21.某城門的截面由一段拋物線和一個正方形（為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米，如圖1所示，現以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系．（1）求上半部分拋物線的函數表達式；（2）有一輛寬3米，高米的消防車需要通過該城門，請問該消防車能否正常進入？（3）為營造節(jié)日氣氛，需要臨時搭建一個“裝飾門”，該“裝飾門”關于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中，，為三根承重鋼支架，、在拋物線上，，在地面上，已知鋼支架每米70元，問搭建這樣一個矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？【答案】（1）拋物線的表達式為（2）消防車能正常進入（3）僅鋼支架一項，最多需要花費910元?【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．正確地求得函數解析式是解題的關鍵．（1）根據所建坐標系知頂點和與y軸交點E的坐標，可設解析式為頂點式，進行求解，由城門寬度為4米知x的取值范圍是；（2）根據對稱性當車寬3米時，x＝，求此時對應的縱坐標的值，與車高米進行比較得出結論；（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運用性質求最大值，可設點B的坐標，表示三段的長度從而得出表達式．【小問1詳解】解：由題意知，拋物線的頂點，設拋物線的表達式為，拋物線過點，，，拋物線的表達式為，即；【小問2詳解】解：由題意知，當消防車走最中間時，進入可能性最大，即當時，，消防車能正常進入；【小問3詳解】解：設B點的橫坐標為m，的長度為l，由題意知，即，，，當時，l最大，且，費用為（元），答：僅鋼支架一項，最多需要花費910元．22.綜合與實踐

如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和______，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或______m，______m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空；【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？并仿照小穎的方法，在圖2中利用函數圖象說明理由．【問題延伸】（3）當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發(fā)現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，求出直線與反比例函數的圖象有唯一交點時的交點坐標及的值．【拓展應用】外觀從以上積分中發(fā)現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍______．【答案】（1）；4；2；（2）不能，見解析；（3），8；（4）【解析】【分析】本題考查了實際應用題的函數直觀解釋，比較新穎，實質是函數圖象的平移，一次函數和反比例圖象的交點問題．（1）觀察圖象，聯立解方程組得，求解即可得到另一個交點坐標為，進而可求解；（2）畫出的圖象，觀察圖象得到與函數圖象沒有交點即可求解；（3）由直線與反