人教版數(shù)學(xué)

八年級下第十七章

勾股定理17.1.1勾股定理1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想.（重點）2.會用勾股定理進行簡單的計算.（難點）

學(xué)習(xí)目標(biāo)其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點，世界上許多科學(xué)家向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.情境導(dǎo)入據(jù)說我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).很多學(xué)者認(rèn)為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認(rèn)識這種語言，因為幾乎所有具有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.情境導(dǎo)入我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：ABC問題1

試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？知識點一

勾股定理的認(rèn)識及驗證知識講解ABC一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=問題2

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？知識講解問題3

在格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？知識講解方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在格線上的正方形）：

知識講解方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：

知識講解根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

1325916

9思考

正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？知識講解命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由上面的幾個例子，我們猜想：abc下面的動圖形象的說明了命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學(xué)家們用拼圖法來證明這一猜想.知識講解abbcabca證法1讓我們跟著我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.知識講解abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(ba)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖ba證明：“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.知識講解證法2

畢達(dá)哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.知識講解aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

知識講解aabbcc∴a2+b2=c2.證法3

美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.知識講解在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達(dá)哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c為正數(shù)勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

abc知識講解在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2知識講解例1(數(shù)學(xué)文化)觀察“趙爽弦圖”(如圖),若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a,b,且a>b,根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系,可直接得到等式()

A.a(ab)=a2abB.(a+b)(ab)=a2b2C.(ab)2=a22ab+b2D.(a+b)2=a2+2ab+b2C知識講解例2(象棋盤與勾股定理的運用)在如圖所示的象棋盤中,各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重復(fù)路線,按照“馬走日”的規(guī)則,走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為

.

知識講解

知識講解知識點二

利用勾股定理進行計算

知識講解

例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得CAB知識講解例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.

ADBC34知識講解1.求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5隨堂練習(xí)2..下列說法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C3.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2隨堂練習(xí)4.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.5.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長的平方為_________.17574或24隨堂練習(xí)6.求斜邊長17cm、一條直角邊長15cm的直角三角形的面積.解：設(shè)另一條直角邊長是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172152=289–225=64，∴

x=±8（負(fù)值舍去），∴另一直角邊長為8cm，

隨堂練習(xí)7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=