開(kāi)放探究型問(wèn)題開(kāi)放探究型問(wèn)題類(lèi)型：開(kāi)放型探究問(wèn)題的基本形式有：條件開(kāi)放型問(wèn)題，結(jié)論開(kāi)放型

問(wèn)題.這些問(wèn)題一般需要經(jīng)過(guò)探索確定結(jié)論或者補(bǔ)全條件，將開(kāi)放型問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為封閉型問(wèn)題，再選擇合適的解題途徑完成最后的解答.近年來(lái)還出

現(xiàn)一些其他方式的開(kāi)放題，如綜合型開(kāi)放題，主要特點(diǎn)是條件和結(jié)論都不

確定，需要考生確定條件和結(jié)論組成一個(gè)新命題，并加以證明.此外還有

策略開(kāi)放題，主要側(cè)重于解題方法或者策略的選擇和設(shè)計(jì).這種新穎的綜

合型開(kāi)放題將成為中考的又一亮點(diǎn).特征：（1）條件的不確定性，它是開(kāi)放題的前提.（2）結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開(kāi)放題的形式.（3）思維的多向性，它是開(kāi)放題的實(shí)質(zhì).（4）過(guò)程的探究性，它是開(kāi)放題的途徑.（5）解答的層次性，它是開(kāi)放題的表象.（6）能力的綜合性，它是開(kāi)放題的深化.（7）情景的模擬性，它是開(kāi)放題的實(shí)踐.（8）素養(yǎng)的生成性，它是開(kāi)放題的價(jià)值.解題策略：觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證等科學(xué)的思維方法.類(lèi)型之一條件開(kāi)放型問(wèn)題1.

【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代

數(shù)恒等式.例如，圖1可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)

題：圖1（1）根據(jù)圖2，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：

?

?.圖2【解析】（1）∵邊長(zhǎng)為（a＋b＋c）的正方形的面積為（a＋b＋c）2，分部分來(lái)看的面積為a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，兩部分面積相等.故答案為（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋

2ab＋2bc＋2ac

【解析】（1）∵邊長(zhǎng)為（a＋b＋c）的正方形的面積為（a＋b＋c）2，分部分來(lái)看的面積為a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，兩部分面積相等.故答案為（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a＋b＋c＝20，ab

＋ac＋bc＝100，則a2＋b2＋c2＝

?.【解析】（2）∵（a＋b＋c）2＝（a＋b＋c）（a＋b＋c）＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ac＋bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac），∵a＋b＋c＝20，ab＋ac＋bc＝100，∴202＝a2＋b2＋c2＋2×100，∴a2＋b2＋c2＝400－200＝200，故答案為200.200【解析】（2）∵（a＋b＋c）2＝（a＋b＋c）（a＋b＋c）＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ac＋bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac），∵a＋b＋c＝20，ab＋ac＋bc＝100，∴202＝a2＋b2＋c2＋2×100，∴a2＋b2＋c2＝400－200＝200，故答案為200.圖2（3）小明同學(xué)用圖3中2張邊長(zhǎng)為a的正方形，3張邊長(zhǎng)為b的正方形，m

張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，直接寫(xiě)出m

的所有可能取值.圖3（3）解：由題意可得，所拼成的長(zhǎng)方形或正方形的面積為2a2＋3b2＋

mab，從因式分解的角度看，可分解為（2a＋b）（a＋3b）或（2a＋3b）（a

＋b），∴（2a＋b）（a＋3b）＝2a2＋3b2＋7ab或（2a＋3b）（a＋b）＝2a2

＋3b2＋5ab∴m＝5或7.（3）解：由題意可得，所拼成的長(zhǎng)方形或正方形的面積為2a2＋3b2＋

mab，從因式分解的角度看，可分解為（2a＋b）（a＋3b）或（2a＋3b）（a＋b），∴（2a＋b）（a＋3b）＝2a2＋3b2＋7ab或（2a＋3b）（a＋b）＝2a2＋3b2＋5ab，∴m＝5或7.【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4

表示的是一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方

體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：

?

?.

→

圖4x3－x＝x

（x＋1）（x－1）

（4）【解析】∵原幾何體的體積為x3－1×1?x＝x3－x，新幾何體的體積

為（x＋1）（x－1）x，∴x3－x＝（x＋1）（x－1）x.故答案為x3－x＝x（x＋1）（x－1）.（4）【解析】∵原幾何體的體積為x3－1×1?x＝x3－x，新幾何體的體積

為（x＋1）（x－1）x，∴x3－x＝（x＋1）（x－1）x.故答案為x3－x＝x（x＋1）（x－1）.2.

［2024?綏化］綜合與實(shí)踐.【問(wèn)題情境】在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片

為操作對(duì)象.△ABC紙片和△DEF紙片滿足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC

＝BC＝DF＝DE＝2?cm.下面是創(chuàng)新小組的探究過(guò)程.【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，取AB的中點(diǎn)O，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)O與

點(diǎn)F重合.當(dāng)旋轉(zhuǎn)△DEF紙片交邊AC于點(diǎn)H、交邊BC于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)AH

＝x（1＜x＜2），BG＝y(tǒng)，請(qǐng)你探究y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出解

答過(guò)程.圖1解：（1）如答圖1.答圖1解：（1）如答圖1.答圖1∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且AC＝BC＝DF＝DE＝2?cm，∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且AC＝BC＝DF＝DE＝2?cm，∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，∴∠AFH＋∠BFG＝∠BFG＋∠FGB＝135°，∴∠AFH＝∠FGB，∴△AFH∽△BGF，圖1

∴AH?BG＝AF?BF.

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，

∵O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，

圖1【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在（1）的條件下連接GH，發(fā)現(xiàn)△CGH的周長(zhǎng)是一個(gè)定值.

請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由.圖2解：（2）△CGH的周長(zhǎng)定值為2，理由如下.∵AC＝BC＝2，AH＝x，BG＝y(tǒng)，∴CH＝2－x，CG＝2－y.

在Rt△HCG中，

將（1）中xy＝2代入，圖2

＝｜x＋y－2｜，

∴1＜y＜2，∴x＋y＞2，∴GH＝x＋y－2，∴△CHG的周長(zhǎng)為CH＋CG＋GH＝2－x＋2－y＋x＋y－2＝2.圖2【拓展延伸】（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A，B），且始終保持

∠AFE＝60°.請(qǐng)你直接寫(xiě)出△DEF紙片的斜邊EF與△ABC紙片的直角

邊所夾銳角的正切值：

.（結(jié)果保留根號(hào)）圖3

解：（3）【解析】①過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，作FH的垂直平分線交

FN于點(diǎn)M，連接MH，如答圖2.答圖2解：（3）【解析】①過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，作FH的垂直平分線交

FN于點(diǎn)M，連接MH，如答圖2.答圖2

∵∠AFE＝60°，∠A＝45°，∴∠AHF＝75°，∴FM＝MH.

∵∠FNH＝90°，∴∠NFH＝15°.∵FM＝MH，∴∠NFH＝∠MHF＝

15°，∴∠NMH＝30°.在Rt△MNH中，設(shè)NH＝k，∴MH＝MF＝

②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，作FG的垂直平分線交BG于點(diǎn)M，連接

FM，如答圖3.答圖3∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，∴∠FGB＝∠AFE－∠B＝15°.∵GM

＝MF，∴∠FGB＝∠GFM＝15°，∴∠FMB＝30°.在Rt△FNM中，設(shè)FN＝k，②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，作FG的垂直平分線交BG于點(diǎn)M，連接

FM，如答圖3.答圖3∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，∴∠FGB＝∠AFE－∠B＝15°.∵GM

＝MF，∴∠FGB＝∠GFM＝15°，∴∠FMB＝30°.在Rt△FNM中，設(shè)FN＝k，

∴GM＝MF＝2k.

在Rt△FNG中，

圖3類(lèi)型之二結(jié)論開(kāi)放型問(wèn)題3.

如圖1，PQ∥MN，點(diǎn)A，B分別在MN，QP上，∠BAM＝2∠BAN，

射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)，射線BP繞B點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn).射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，射線BP

轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.（1）直接寫(xiě)出∠QBA的大小為

?；解：（1）∵PQ∥MN，∴∠QBA＝∠BAN，∵∠BAM＋∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴3∠BAN＝180°，∴∠BAN＝60°，∴∠QBA＝∠BAN＝60°.60°

解：（1）∵PQ∥MN，∴∠QBA＝∠BAN，∵∠BAM＋∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴3∠BAN＝180°，∴∠BAN＝60°，∴∠QBA＝∠BAN＝60°.圖1（2）射線AM，BP轉(zhuǎn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的射線分別為AE，BF，射線BF交直線

MN于點(diǎn)F，若射線BP比射線AM先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t

（0＜t＜180）秒，求t為多少時(shí)，直線BF∥直線AE？圖1解：（2）①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如答圖1，答圖1解：（2）①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如答圖1，答圖1∵PQ∥MN，∴∠PBF＝∠BFA.

∵AE∥BF，∴∠EAM＝∠BFA，∴∠EAM＝∠PBF，∵PQ∥MN，∴∠PBF＝∠BFA.

∵AE∥BF，∴∠EAM＝∠BFA，∴∠EAM＝∠PBF，圖1∴2t＝1?（30＋t），解得t＝30.∴2t＝1?（30＋t），解得t＝30.②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如答圖2，答圖2∵PQ∥MN，∴∠PBF＋∠BFA＝180°，∵AE∥BF，∴∠EAN＝∠BFA，∴∠PBF＋∠EAN＝180°，∴1?（30＋t）＋（2t－180）＝180，②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如答圖2，答圖2∵PQ∥MN，∴∠PBF＋∠BFA＝180°，∵AE∥BF，∴∠EAN＝∠BFA，∴∠PBF＋∠EAN＝180°，∴1?（30＋t）＋（2t－180）＝180，圖1解得t＝110，綜上所述，當(dāng)t＝30秒或110秒時(shí)BF∥直線AE.

（3）如圖2，若射線BP，AM同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)m（0＜m＜90）秒，轉(zhuǎn)動(dòng)的兩條

射線交于點(diǎn)C，作∠ACD＝120°，點(diǎn)D在BP上，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與

∠BCD的數(shù)量關(guān)系.圖2（3）∠BAC＝2∠BCD，理由如下.如答圖3，作CH∥PQ，答圖3∵PQ∥MN，∴CH∥PQ∥MN，∴∠QBC＋∠2＝180°，∠MAC＋∠1＝180°，∴∠QBC＋∠2＋∠MAC＋∠1＝360°，∵∠QBC＝180°－m°，∠MAC＝2m°，∴CH∥PQ∥MN，∴∠QBC＋∠2＝180°，∠MAC＋∠1＝180°，∴∠QBC＋∠2＋∠MAC＋∠1＝360°，∵∠QBC＝180°－m°，∠MAC＝2m°，∴∠BCA＝∠1＋∠2＝360°－（180°－m°）－2m°＝180°－m°，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°－∠BCA＝120°－（180°－m°）＝m°－60°，∵∠CAN＝180°－2m°，∴∠BAC＝60°－（180°－2m°）＝2m°－120°，∴∠BAC∶∠BCD＝2∶1，即∠BAC＝2∠BCD.

∴∠BCA＝∠1＋∠2＝360°－（180°－m°）－2m°＝180°－m°，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°－∠BCA＝120°－（180°－m°）＝m°－60°，∵∠CAN＝180°－2m°，∴∠BAC＝60°－（180°－2m°）＝2m°－120°，∴∠BAC∶∠BCD＝2∶1，即∠BAC＝2∠BCD.

圖24.

［2024?成都］數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重

合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖

形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知△ABC紙片和△ADE紙片中，AB＝AD＝3，BC＝

DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°.【初步感知】

圖1

解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，

∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD.

∴△ADB∽△AEC，

∵AB＝3，AC＝5，

圖1【深入探究】（2）如圖2，在△ADE紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的

中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng).圖2解：（2）連接CE，延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)Q，連接AQ交EF于點(diǎn)P，延長(zhǎng)

EF交BC于點(diǎn)N，如答圖1.答圖1（方法一）同（1）得△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE.

解：（2）連接CE，延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)Q，連接AQ交EF于點(diǎn)P，延長(zhǎng)

EF交BC于點(diǎn)N，如答圖1.答圖1（方法一）同（1）得△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE.

圖2

∵BM是Rt△ABC斜邊AC上的中線，

∴∠MBC＝∠MCB.

∵∠ABD＋∠MBC＝90°，∴∠ACE＋∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM.

又AM＝CM，∴△BAM≌△QCM（AAS），∴BM＝QM，圖2

∴四邊形ABCQ是平行四邊形.∵∠ABC＝90°∴四邊形ABCQ是矩形，∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，

∴EQ＝CQ，∴PQ是△CEN的中位線，

設(shè)PQ＝x，則CN＝2x，AP＝4－x.∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，圖2∴△EQP≌△ADP（AAS），∴EP＝AP＝4－x.∵EP2＝PQ2＋EQ2，∴（4－x）2＝x2＋32，∴△EQP≌△ADP（AAS），∴EP＝AP＝4－x.∵EP2＝PQ2＋EQ2，∴（4－x）2＝x2＋32，圖2

∵PQ∥CN，∴△APF∽△CNF，

∵AC＝5，

圖2

（方法二）∵BM是Rt△ABC斜邊AC上的中線，

∴∠ABM＝∠BAM.

∵AB＝AD，∴∠ABM＝∠ADB，∴∠BAM＝∠ADB.

∵∠ABM＝∠DBA，∴△ABM∽△DBA，

圖2

∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB，∴DM∥AE，∴△FDM∽△FEA，

圖2【拓展延伸】（3）在△ADE紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，直接寫(xiě)出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.備用圖解：（3）C，D，E三點(diǎn)能構(gòu)成直角三