第四章例題及習(xí)題例1.

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過(guò)點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為第一節(jié)例2.求解:

原式=例3.

求解:

原式=例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=思考與練習(xí)1.

證明2.

若提示:提示:3.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個(gè)原函數(shù)是().提示:已知求即B??4.

求下列積分:提示:5.求不定積分解：例1.

求解:

令則故原式

=注:

當(dāng)時(shí)第二節(jié)例2.

求解:令則想到公式例3.

求想到解:(直接湊微分)例4.

求解:類(lèi)似例5.

求解:∴原式

=常用的幾種配元形式:萬(wàn)能湊冪法例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣例10.

求解法1解法2同樣可證或例11.

求解:

原式=例12.

求解:例13.

求解:∴原式=例14.

求解:

原式=分析:

例15.

求解:原式小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?2.

求提示:法1法2法3例16.

求解:

令則∴原式(切記變量還原)例17.

求解:

令則∴原式例18.

求解:令則∴原式令于是原式例19.

求解:

令則原式當(dāng)

x<0時(shí),類(lèi)似可得同樣結(jié)果.（倒代換）小結(jié):1.第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令或令或令或第四節(jié)講2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(P205)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令解:

原式(P205公式(20))例20.

求例21.

求解:(P205公式(23))例22.

求解:

原式=(P205公式(22))例23.

求解:

原式(P205公式(22))例24.

求解:

令得原式例25.

求解:

原式令思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令2.求下列積分:3.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得分子分母同除以4.求不定積分解:令原式例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式第三節(jié)例2.

求解:

令則原式=思考:

如何求例3.

求解:

令則∴原式思考:

如何求例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說(shuō)明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類(lèi)型必須一致.解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)例6.

求解:

令,則原式=例7.

求解:

令則原式令例8.

求解:原式=∴原式=例9.

求解(法一):令∴原式=例9.

求解(法二):令則∴原式=例10.

求解:

令則得遞推公式說(shuō)明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,例11.

證明遞推公式證:注:或說(shuō)明:分部積分題目的類(lèi)型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類(lèi)型不變,

解出積分后加

C)3)對(duì)含自然數(shù)n

的積分,通過(guò)分部積分建立遞推公式.例12.

求解:令則可用表格法求多次分部積分uv求導(dǎo)積分例13.

求解:

令則原式原式

=例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法第四節(jié)(2)用待定系數(shù)法故對(duì)比分子系數(shù)，解得原式=（3）例2.

求解:

已知例3.

求解:

原式思考:如何求提示:變形方法同例3,并利用上一節(jié)例9.說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例4.求解:原式例5.求解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例6.求解:

令則例7.

求解:

令則原式例8.

求解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令例9.

求解:

令則原式內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類(lèi)型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.

特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,四種典型部分分式的積分:

分子變?yōu)樵俜猪?xiàng)積分習(xí)題課一、求不定積分的基本方法二、幾種特殊類(lèi)型的積分不定積分的計(jì)算方法

第四章重點(diǎn)：不定積分的概念及性質(zhì)、不定積分的基本公式以及不定積分的換元積分法和分部積分法。難點(diǎn)：不定積分的計(jì)算。一、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過(guò)簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法

第一類(lèi)換元法

第二類(lèi)換元法(注意常見(jiàn)的換元積分類(lèi)型)(代換:)3.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.一般經(jīng)驗(yàn):按“反,對(duì),冪,指,三”的順序,排前者取為u,排后者取為計(jì)算格式:列表計(jì)算例1.

求解:原式例2.

求解:原式分析:例3.

求解:原式分部積分例4.

設(shè)解:令求積分即而例5.

求解:例6.

求解:取說(shuō)明:此法特別適用于如下類(lèi)型的積分:例7.

設(shè)證:證明遞推公式:例8.設(shè)解:為的原函數(shù),且求由題設(shè)則故即,因此故又二、幾種特殊類(lèi)型的積分1.一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換