專題立體幾何中的外接球、內(nèi)切球、棱切球問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)解讀內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)解讀題型突破限時(shí)訓(xùn)練熱點(diǎn)內(nèi)容解讀深度剖析解讀熱點(diǎn)：分析解讀熱點(diǎn)考查內(nèi)容，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)命題方向。熱點(diǎn)題型突破逐一剖析解題歸納：對(duì)熱點(diǎn)的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。熱點(diǎn)限時(shí)訓(xùn)練模擬實(shí)戰(zhàn)鞏固提升：限時(shí)完成題目訓(xùn)練，提升解題能力。近三年：外接球問(wèn)題：高頻考點(diǎn)，每年必考或隔年出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度中等偏上，往往作為小題的壓軸或次壓軸題。內(nèi)切球問(wèn)題：考查頻率較低，多出現(xiàn)在特殊幾何體（如正四面體、正三棱錐）中，難度中等。棱切球問(wèn)題：較少單獨(dú)考查，偶爾在模擬題或競(jìng)賽背景題中出現(xiàn)，常與多面體的棱長(zhǎng)相切條件結(jié)合。預(yù)測(cè)2026年：模型化考查：直接給出特殊幾何體（如側(cè)棱垂直底面的三棱錐、對(duì)棱相等的三棱錐），要求計(jì)算外接球半徑或表面積。動(dòng)態(tài)幾何體中的外接球：如圓錐、圓臺(tái)的外接球，或幾何體旋轉(zhuǎn)后的外接球問(wèn)題。與導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合：求外接球半徑的取值范圍或最小表面積，體現(xiàn)綜合難度。題型01正方體長(zhǎng)方體的外接球解｜題｜策｜略正方體、長(zhǎng)方體的外接球的球心在其中心處，球的半徑為體對(duì)角線的一半若正方體邊長(zhǎng)為a，則它的外接球半徑為3若長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則它的外接球半徑為a1．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為3的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是其外接球的直徑求解.【詳解】由題意正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是其外接球的直徑，可得球的半徑，所以該球的表面積，故A正確.故選：A.2．（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知球的半徑為3，正方體所有頂點(diǎn)均在球面上，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑求出正方體的棱長(zhǎng)，結(jié)合當(dāng)與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓面積最小，進(jìn)而可得答案．【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則正方體對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，球心O是正方體對(duì)角線中點(diǎn)，由正方體對(duì)角線公式，解得．因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，當(dāng)與截面垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓面積最?。?yàn)椋?，勾股定理，解得，設(shè)截面圓半徑為，則，所以截面面積，故選：C．3．（2025·河北秦皇島·三模）已知正方體的各頂點(diǎn)都在球的表面上，若球的表面積為，則平面截球所得的截面面積為．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出正方體的棱長(zhǎng)，再求出外接圓面積即可.【詳解】由球的表面積為，得球的半徑為，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，正方體的棱長(zhǎng)為2，則正邊長(zhǎng)為，其外接圓半徑，則外接圓面積為，所以平面截球所得的截面面積為.故答案為：

題型02三棱錐補(bǔ)全為正方體或長(zhǎng)方體的外接球解｜題｜策｜略若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可考慮補(bǔ)全為長(zhǎng)方體或正方體，稱之為墻角模型（如上圖1、2、3）。這時(shí)三棱錐的外接球同補(bǔ)全的長(zhǎng)方體或正方體的外接球，求球的半徑公式如上。圖2為九章算術(shù)中的鱉臑，即四個(gè)面都為直角三角形的四面體。若三棱錐的三對(duì)對(duì)棱兩兩相等，也可以補(bǔ)全為長(zhǎng)方體或正方體（如圖4），外接球的半徑也同長(zhǎng)方體或正方體的外接球半徑。1．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，的外接圓的面積分別為，，，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，且球的表面積為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由直角三角形的外接圓，長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)勾股定理，可得答案.【詳解】設(shè)，，，則，，的外接圓半徑分別為，，，所以，球的半徑，，所以.故選：A.2．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，底面ABC，，，，點(diǎn)D滿足，三棱錐的外接球?yàn)榍騉，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體并建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)、外接球半徑為R，求出各點(diǎn)及球心坐標(biāo)，分析截面圓的面積差從而求出h、R，代入球的表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵谌忮F中，底面ABC，，所以將其補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)方體（長(zhǎng)為4，寬為3，高為h），三棱錐與該長(zhǎng)方體共外接球，球心O為長(zhǎng)方體體對(duì)角線中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑為R，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，過(guò)D作求O的截面，最大截面為：過(guò)球心O，半徑為R，面積為，最小截面為：與OD垂直，半徑為，面積為.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，所以，解得，則，外接球表面積為：.故選：D3．（2025·上海浦東新·三模）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，且，，，．若點(diǎn)到底面的距離為1，則球的表面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)線面垂直的判定定理來(lái)確定線面垂直關(guān)系，再利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與外接球直徑的關(guān)系求出球的直徑，進(jìn)而求出球的半徑和表面積.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以底面，因?yàn)辄c(diǎn)到底面的距離為1．所以．因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，故，，即該球的直徑為所以球的半徑為．故選：B4．（2025·河北秦皇島·三模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．四面體是一個(gè)鱉臑，已知是直角三角形，，，，，則平面截該鱉臑的外接球所得截面面積為．【答案】【分析】根據(jù)鱉臑的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)得線線垂直，設(shè)的中點(diǎn)為，從而可得點(diǎn)為四面體外接球的球心，結(jié)合球的幾何性質(zhì)確定球心到平面的距離得截面圓的半徑，即可得所求.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)轺M臑的四個(gè)面都是直角三角形，且，故．因?yàn)?，，，故．又，，故．又，平面，所以平面，又平面，所以．又，，平面，平面，又平面，所以，和都是以平面為斜邊的直角三角形．由于為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為四面體外接球的球心，外接球的半徑，且點(diǎn)到平面的距離為，的外接圓半徑，平面截四面體的外接球的截面的面積為．故答案為：．5．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）四面體的每一組對(duì)棱的長(zhǎng)度相等，分別為，，，則該四面體的體積為，該四面體的外接球的表面積為.【答案】【分析】由題意可作圖，將符合題意的四面體放在正四棱柱中，利用分割法，根據(jù)四棱柱與三棱錐的體積公式，可得空一的答案；根據(jù)正四棱柱的外接球，結(jié)合球的表面公式，可得空二的答案.【詳解】不妨設(shè)四面體為，，，，可將四面體放置在長(zhǎng)方體中，如圖所示:

設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則，解得，，，則四面體的體積，該四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)其半徑為R，則，所以球的表面積為.故答案為：；.題型03圓錐的外接球解｜題｜策｜略若圓錐的高為h，底部半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則圓錐的外接球半徑R=1．（2025·重慶·三模）已知某圓錐的外接球的體積為，若球心到該圓錐底面的距離為，則該圓錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出外接球的半徑，由此可求出圓錐底面半徑長(zhǎng)，并求出圓錐高的最大值，結(jié)合錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，解得，所以，圓錐的底面半徑為，所以，當(dāng)圓錐的高為時(shí)，圓錐的體積最大，且其最大值為.故選：B.2．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，以其底面圓心為球心，底面半徑為半徑的球和圓錐表面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圓錐的球的截面圖，確定球與圓錐的交線，結(jié)合交線的形狀大小確定結(jié)論.【詳解】作圓錐的軸截面，該截面與半球的截面為半圓，設(shè)半圓與分別交于點(diǎn)，如圖，由已知，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，的中點(diǎn)為球心，半圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上，所以，，，所以，故點(diǎn)為的中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，所以，所以由對(duì)稱性可得，圓錐與球的交線為兩個(gè)圓，一個(gè)為圓錐的底面圓，周長(zhǎng)為，另一個(gè)為所有母線的中點(diǎn)構(gòu)成的圓，周長(zhǎng)為，所以交線長(zhǎng)為．故選：D.3．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)圓錐的底面圓和頂點(diǎn)都恰好在同一個(gè)球面上，且該球的半徑為1，當(dāng)圓錐的體積取最大值時(shí)，圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面圓性質(zhì)及圓錐的體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】如圖，根據(jù)題意，圓錐高為，底面圓半徑，外接球球心為，半徑，則球心到圓錐底面圓心距離，由，得，圓錐的體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，則當(dāng)時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)底面圓半徑.故選：B4．（2025·寧夏銀川·三模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，該圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為.【答案】/【分析】由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，可求得圓錐的母線、高以及底面圓的半徑，結(jié)合幾何關(guān)系得，進(jìn)而可求得球體的半徑，再根據(jù)球體的表面積公式即可求解.【詳解】由題意，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，如圖1所示，則，圓的周長(zhǎng)，則，所以，又，，，所以，即，解得，即球體的半徑為，所以其表面積為.故答案為：.5．（2025·新疆·三模）用一個(gè)平面截球O得到的曲面稱為球冠，截面為球冠的底面，如圖球冠的高大于球的半徑，為底面圓心，是以為底，點(diǎn)S在球冠上的圓錐，若底面的半徑是球的半徑的倍，點(diǎn)A為底面圓周上一點(diǎn)，則與底面所成的角的大小為，圓錐的體積與球O的體積之比為．

【答案】//0.28125【分析】假設(shè)球的半徑為R，依題意，通過(guò)勾股定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可知的長(zhǎng)，進(jìn)而可求與底面所成的角的正切值，進(jìn)而可求角；分別算出圓錐的體積與球O的體積即可計(jì)算其比值.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則，，，，所以.故答案為：；題型04可補(bǔ)為圓錐的外接球解｜題｜策｜略若P在平面ABC上的射影是ΔABC的外接圓圓心，則可以把三棱錐P?若PA=PB=PC，則可以得出P在ΔABC的射影為其外接圓圓心，同理補(bǔ)為圓錐。正棱錐都可以補(bǔ)成圓錐，可以按圓錐的外接球模型來(lái)求。1．（2025·四川達(dá)州·二模）三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)均在球表面上，，外接圓的半徑為，點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，且與平面所成的角為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，所以O(shè)必在上，在中求得，在中得，由勾股定理計(jì)算得球半徑，從而得球面積．【詳解】取中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，又因?yàn)?，所以外接圓圓心為，所以O(shè)必在直線上，因?yàn)?，外接圓的半徑為，所以是外接圓的圓心，，因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，則，從而，設(shè)球O的半徑為R，在中，，則，解得，所以球O的表面積為.故選：B．2．（多選）（2025·廣東揭陽(yáng)·三模）三棱錐中，平面平面，，，其各頂點(diǎn)均在球O的表面上，則（

）A． B．點(diǎn)A到平面的距離為C．二面角的余弦值為 D．球O的表面積為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，結(jié)合可得，由平面平面可得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求出，，進(jìn)而結(jié)合勾股定理判斷A即可；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作，垂直為，連接，記點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法求解判斷即可；對(duì)于C，分析可得二面角的平面角為，進(jìn)而求解判斷即可；對(duì)于D，分析可得球心O在直線上，進(jìn)而結(jié)合勾股定理列方程求得球O的半徑，進(jìn)而求出球O的表面積判斷即可.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，由可知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故，在，解得，則，所以，則，故A正確；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)作，垂直為，連接，記點(diǎn)到平面的距離為，由，則，故，而，，由余弦定理得，故，故，，故，故B正確；對(duì)于C，由，，，平面，可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，故平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，故，即二面角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，為中點(diǎn)可知，故的外心為，由平面可知直線上的點(diǎn)到點(diǎn)A，B，P的距離相等，故球心O在直線上.由平面幾何知識(shí)知點(diǎn)O在線段上.記，則，故，解得，故球的表面積，故D正確.故選：ABD.3．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)都在體積為的球面上，正三棱錐體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為.【答案】4【分析】根據(jù)錐體與外接球的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的體積公式以及基本不等式的三維形式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，正三棱錐的外接球的半徑，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則正三角形的外接圓的半徑為，所以，即，所以，又正三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)正三棱錐體積最大時(shí)，該正三棱錐的高為4.故答案為:4.4．（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知球是三棱錐的外接球，，，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為.【答案】【分析】利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，從而得到，則的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，得到過(guò)且垂直于平面的直線一定過(guò)球心，連接并延長(zhǎng)與球相交的點(diǎn)就是使得三棱錐體積的最大值的點(diǎn)，利用三棱錐的體積公式得到的長(zhǎng)度，設(shè)球的半徑為，由得到，由建立的等式，求出，利用球的表面積公式求解即可.【詳解】，，，，，，的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，過(guò)且垂直于平面的直線一定過(guò)球心，連接并延長(zhǎng)與球相交的點(diǎn)就是使得三棱錐體積取得最大值的點(diǎn)，，，，三棱錐體積的最大值為，，，，設(shè)球的半徑為，，，，，，球的表面積為.故答案為：.

5．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為3的球面上，且是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐體積的最大值為.【答案】【分析】先求出外接圓的半徑，再結(jié)合球的半徑求出球心到平面的距離，進(jìn)而得到點(diǎn)到平面的最大距離，最后根據(jù)三棱錐體積公式求出體積的最大值.【詳解】設(shè)外接圓的圓心為，半徑為.由正弦定理，在正中，，，則.因?yàn)椋裕矗獾?已知球的半徑，球心到平面的距離，外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理，可得.當(dāng)點(diǎn)，球心，共線且與在平面同側(cè)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，最大距離.根據(jù)正三角形面積公式，可得.根據(jù)三棱錐體積公式，可得.故答案為：.題型05直棱柱、圓柱的外接球解｜題｜策｜略圓柱的高為h，底面半徑為r，則圓柱的外接球半徑R=若是直棱柱，則可以先找直棱柱上下底的外接圓，求外接圓半徑r，然后補(bǔ)成圓柱，按圓柱的外接球半徑公式來(lái)算即可。1．（2025·湖南婁底·二模）已知正六棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，一個(gè)能放進(jìn)該正六棱柱內(nèi)部的最大的球半徑為r．若，則當(dāng)最小時(shí)，該正六棱柱的體積為（

）A．36 B．42 C．48 D．24【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出正六棱柱底面正六邊形的邊心距，并設(shè)正六棱柱的高為，可得取中最小的，按，結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)分類討論求出最小時(shí)的，再利用柱體體積公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)M，則點(diǎn)M與任意一條邊均構(gòu)成等邊三角形，因此點(diǎn)M到各邊的距離均為等邊三角形的高，即，不妨設(shè)該正六棱柱的高為h，則且，r取兩者之中的較小者，由點(diǎn)M到A，B，C，D，E，F(xiàn)的距離均為2，得點(diǎn)M是正六邊形ABCDEF的外接圓圓心，因此正六棱柱的外接球半徑，若，則，；若，則，，于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，正六邊形的面積為，所以該正六棱柱的體積為.故選：A2．（2020·山東青島·三模）在三棱柱中，，側(cè)棱底面ABC，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為，

設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式求解棱柱的外接球面積最小值與側(cè)面積問(wèn)題，屬于中檔題3．（2025·江蘇·一模）已知一圓柱內(nèi)接于半徑為1的球，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合立體圖形，由勾股定理得到，利用均值不等式求最值，等號(hào)成立時(shí)圓柱體積最大，求出此時(shí)的高即可.【詳解】設(shè)球半徑為，圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，如圖，則有，即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)圓柱體積取得最大值，所以圓柱的體積最大時(shí)，即.故選：C.4．（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）在我國(guó)著名的數(shù)學(xué)論著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為“塹堵”.已知在塹堵中，，，，為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得底面為正三角形，且邊長(zhǎng)為，即可求出外接圓的半徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，從而求出，再由表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，則，又為的中點(diǎn)，所以，所以底面為正三角形，且邊長(zhǎng)為，則外接圓的半徑，又平面，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即，解得，故外接球表面積為.故選：D.5．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，以為棱作半平面分別和棱相交于點(diǎn)，二面角的平面角為.在三棱柱和四棱柱中分別放入半徑為的球，在的變化過(guò)程中，的最大值為.【答案】【分析】作出兩個(gè)球在側(cè)面上的投影，設(shè)，可利用表示出,，設(shè)，將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，由此可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，這兩個(gè)球在長(zhǎng)方體左側(cè)面上的投影分別為球的兩個(gè)大圓，且都與直線相切，設(shè)，由，得，同理，得，由已知可得.令，則，記，則，由得.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：.題型06補(bǔ)成柱體的外接球解｜題｜策｜略一條側(cè)棱垂直于底面?以底面的外接圓為底，側(cè)棱為高作圓柱，然后找該圓柱的外接球。如上圖中圖1，圖2若圖形為非規(guī)則圖形，但上下底平行，上下底的外接圓半徑相等且兩個(gè)圓心的連線垂直于上下底，這時(shí)也可以構(gòu)造一個(gè)圓柱（如圖3），這時(shí)圓柱的外接球即為所求的外接球。1．（2025·河南·二模）在三棱錐P-ABC中，底面ABC為正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球心O到平面PBC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，確定球心O的位置，再利用幾何法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】設(shè)底面中心為D，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，則A，D，E三點(diǎn)共線，連接PE，過(guò)點(diǎn)D作底面的垂線，取棱PA的中點(diǎn)Q，在平面PAE中，過(guò)Q作PA的垂線，則與的交點(diǎn)即為球心O，在正中，，，得，又，則，，，由余弦定理得，則，過(guò)O作PE的垂線，垂足為G，由，，，PA，平面，得平面，又平面PBC，于是平面平面，又平面平面，平面，因此平面PBC，在中，，所以球心O到平面PBC的距離為.故選：B2．（2025·貴州銅仁·三模）在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐兩兩垂直的特性將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，三棱錐外接球的半徑為所補(bǔ)長(zhǎng)方體的直徑，計(jì)算求出半徑，代入體積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，，，所以，即．把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑．根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線公式，則，球的體積.故選：C．3．（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）取兩個(gè)相互平行且全等的正方形，將其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個(gè)多邊形的頂點(diǎn)，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“四角反棱柱”．圖中“四角反棱柱”的棱長(zhǎng)均為4，則該“四角反棱柱”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何體性質(zhì)結(jié)合球的特征計(jì)算求解得出，最后應(yīng)用球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，由題意可知旋轉(zhuǎn)角度為，設(shè)上下正四邊形的中心分別為，，連接，則的中點(diǎn)O即為外接球的球心，其中點(diǎn)B為所在棱的中點(diǎn)，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為4，可知，，．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，則，，四邊形為矩形，即，，則，即該“四角反棱柱”外接球的半徑，故該“四角反棱柱”外接球的表面積為，故選：A．4．（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，已知平面，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理可得外接圓半徑，結(jié)合三棱錐的性質(zhì)得外接球的半徑，可解.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，在中，由余弦定理，，即，整理得，所以，故由正弦定理得，所以，三棱錐的外接球的半徑三棱錐的外接球的表面積的最小值為.故選：A．5．（多選）（2025·福建莆田·二模）在三棱錐中，平面分別為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．為直角三角形 B．平面C．三棱錐的體積最大值為 D．三棱錐外接球的半徑為定值【答案】ACD【分析】利用線面垂直證明平面，然后可判斷A；連接相交于點(diǎn)，連接，證明為的重心即可判斷B；利用基本不等式求面積的最大值即可判斷C；利用補(bǔ)形法求解可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為直角三角形，正確；對(duì)B，連接相交于點(diǎn)，連接，若平面，平面平面，平面，則，因?yàn)闉榈闹芯€，所以為的重心，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，與矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；對(duì)D，將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，易知即為外接球的直徑，易得，外接球半徑，正確.故選：ACD題型07圓臺(tái)、棱臺(tái)的外接球解｜題｜策｜略圓臺(tái)的上底半徑r1,下底半徑r2，高為h棱臺(tái)的外接球（如圖3），先找上下底面的外接圓半徑，然后按照?qǐng)A臺(tái)的外接球半徑公式。1．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，該四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖象作出正四棱臺(tái)的高，根據(jù)邊長(zhǎng)及點(diǎn)為正四棱臺(tái)外接球的球心利用勾股定理可求正四棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】如圖，正四棱臺(tái)，分別為上下底面的中心.由題意知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，，則.又因?yàn)樵撍睦馀_(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，可知，得，即正四棱臺(tái)的高為.又上底面的面積，下底面的面積，則該四棱臺(tái)的體積為.故選：B.2．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）工匠們要用一球體雕刻出一正三棱臺(tái)，正三棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在該球體的球面上，且要求雕刻出的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，則所用球體的半徑為（

）A．7 B． C． D．【答案】D【分析】先利用直角三角形的邊角關(guān)系求得正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑分別為．設(shè)球心到正三棱臺(tái)上、下底面的距離分別為，球的半徑為，則．設(shè)正三棱臺(tái)的高為，得，然后根據(jù)，列出方程求解得到球的半徑．【詳解】如圖，設(shè)正三棱臺(tái)上、下底面所在圓面的半徑分別為，則，．設(shè)球心到正三棱臺(tái)上、下底面的距離分別為，球的半徑為，則．設(shè)正三棱臺(tái)的高為，由棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，得或，即或，解得．故選：D．3．（2025·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)，，，側(cè)棱與底面所成的角為，則此正四棱臺(tái)外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，設(shè)O距離下底面距離為x，由題意可得，解方程即可知正四棱臺(tái)下底面中心即為球心，求出外接球的半徑，再由球的表面積公式即可得出答案.【詳解】由題意可知，正四棱臺(tái)的高為，其外接球的球心O在正四棱臺(tái)的高上，如圖所示.不妨設(shè)O距離下底面距離為x，則，解得，即正四棱臺(tái)下底面中心即為球心，則外接球的直徑為，表面積為，故選:C.4．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正四棱臺(tái)的高，且，則此正四棱臺(tái)的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)找到其外接球的球心，然后設(shè)球心為，點(diǎn)距離下底面的高度為.根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】由題意可知，正四棱臺(tái)外接球的球心在其上、下底面正方形的對(duì)角線的中點(diǎn)的連線上，如圖所示，設(shè)球心為，點(diǎn)距離下底面的高度為.因?yàn)?，，，又上、下底面均為正方形，所以?設(shè)棱臺(tái)的外接球的半徑為，根據(jù)勾股定理可得，解得，則，所以正四棱臺(tái)的外接球表面積為.故選：D.5．（2025·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，且體積不大于，若該棱臺(tái)的外接球球心位于棱臺(tái)內(nèi)部（不含表面），則外接球表面積的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出正三棱臺(tái)高的范圍，再利用球的截面性質(zhì)建立方程，求出球半徑的范圍即可.【詳解】如圖，令正三棱臺(tái)上下底面正三角形中心分別為，則，，設(shè)正三棱臺(tái)的高為，則，解得，設(shè)球的半徑為，顯然球心在線段上（不含端點(diǎn)）因此，，解得，且，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，，解得，因此，，所以外接球表面積的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.題型08兩面垂直的三棱錐的外接球解｜題｜策｜略在三棱錐P?ABC中，如有平面PAB⊥平面ABC，求三棱錐的外接球O的半徑R。設(shè)△PAB和△若平面PAB在外接球的軸截面上，平面ABC不在外接球的軸截面，如圖1，此時(shí)平面PAB的外接圓圓心O1即是外接球的球心O。在題目條件上的體現(xiàn)為∠ACB=90°。（此時(shí)我們不討論P(yáng)點(diǎn)在O與若平面PAB在外接球的軸截面上，平面ABC也在外接球的軸截面，如圖2，AB的中點(diǎn)即是外接球的球心O。在題目條件上的體現(xiàn)為若平面PAB，平面ABC都不在外接球的軸截面，如圖3。找出兩個(gè)外接圓圓心O1,O2，它們與球心O，AB的中點(diǎn)1．（2025·江西·二模）在三棱錐中，平面平面，，，，若點(diǎn)、、、均在球的表面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明出，可知為球的直徑，求出球的半徑，利用球體的體積公式可求得球的體積.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，取線段的中點(diǎn)，連接、，則，故為球的直徑，故球的半徑，所以球的體積為.故選：C.2．（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，由直角三角形性質(zhì)可得，則點(diǎn)就是球心，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而可結(jié)合三棱錐體積公式計(jì)算即可得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，因此點(diǎn)就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，設(shè)球半徑為，則，，則，，所以三棱錐的體積，所以，所以球的表面積為.

故選：A.3．（多選）（2025·湖南·三模）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.點(diǎn)，分別是對(duì)角線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，的長(zhǎng)度相等，記，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．的最小值是C．三棱錐與三棱錐的體積相等D．若點(diǎn)，，，，，在同一個(gè)球的球面上，則該球的體積是【答案】BCD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可求得的長(zhǎng)及最小值判斷AB；進(jìn)而可證平面，可判斷C，補(bǔ)形為正方體，求得正方體的外接球的半徑計(jì)算可判斷D.【詳解】由題意兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形與正方形所在的平面互相垂直.可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

過(guò)作于，連接，則，所以，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故B正確；因?yàn)?，又易得平面，所以為平面的一個(gè)法向量，又，所以，又平面，平面，又點(diǎn)，所以到平面的距離相等，所以，即三棱錐與三棱錐的體積相等，故C正確；將原圖形補(bǔ)成一個(gè)正方體如圖所示：則正方體的外接球符題意，外接球的直徑為，所以，所以該球的體積是，故D正確.故選：BCD.4．（多選）（2025·新疆烏魯木齊·二模）如圖，菱形邊長(zhǎng)為，，為邊的中點(diǎn)將沿折起，使到，且平面平面，連接，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．四面體的外接球表面積為C．與所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【分析】利用空間關(guān)系證明線面垂直和線線垂直，利用直角三角形的性質(zhì)找到四面體的外接球球心，從而可求球的表面積，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)判斷選項(xiàng)．【詳解】將沿折起，使到，且平面平面，由于菱形，，所以是等邊三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于，，，，，與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，由菱形，，可知，因?yàn)槠矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，取的中點(diǎn)為，可得，又因?yàn)槠矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以，即，所以有，則點(diǎn)是四面體的外接球球心，故外接球的半徑，由勾股定理可得：，，即四面體的外接球表面積為：，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)與所成角的為，則，所以與所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選：．5．（2025·山東棗莊·二模）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面底面，.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為，三棱錐體積的最大值為.【答案】【分析】設(shè)的外接圓的圓心分別為，外接球的球心為O，取AB的中點(diǎn)為E，可證得四邊形為矩形.通過(guò)勾股定理，列方程求解即可得外接球半徑；過(guò)作于點(diǎn)H，可證為三棱錐的高.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為中最值問(wèn)題，借助三角形外接圓可求得最大值為，從而求得三棱錐體積的最大值.【詳解】如圖①，設(shè)的外接圓的圓心分別為，半徑為，三棱錐的外接球的球心為O，半徑為，取AB的中點(diǎn)為E，連接，.在中，由正弦定理，得，即，同理可得.因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以底面，所以.由外接球的性質(zhì)可得底面?zhèn)让?，所以四邊形為矩?在中，，因?yàn)?，所以，所以球的表面積為.設(shè)三棱錐的高為h，過(guò)作于點(diǎn)H，由面面垂直的性質(zhì)可得，底面，即為三棱錐的高.及其外接圓如圖②所示，由圖可知，當(dāng)位于劣弧的中點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：，.題型09二面角模型的外接球解｜題｜策｜略二面角模型同上題型兩面垂直的模型思想是一致的。在三棱錐P?ABC中，如有二面角P?AB?C=θ，求三棱錐的外接球O的半徑R。設(shè)△PAB和不同于兩面垂直的三棱錐，這里的四邊形OO1DO2不是一個(gè)矩形，這時(shí)候球OD的長(zhǎng)度沒(méi)有那么容易計(jì)算，但是目標(biāo)依然是計(jì)算出注意，若三棱錐中∠APB=∠ACB=90°1．（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知二面角的大小為，且，，，點(diǎn)、、、在同一球面上，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在外接圓上取一點(diǎn)，使得，則，可知三棱錐和的外接球是同一個(gè)球，取線段的中點(diǎn)，連接、，由二面角的定義額可知二面角的平面角為，設(shè)的外心為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作平面，設(shè)，則為球心，求出的長(zhǎng)，結(jié)合球體表面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則為外接圓的一條直徑，在外接圓上取一點(diǎn)，使得，則，且三棱錐和的外接球是同一個(gè)球，取線段的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)?，，則，，由二面角的定義可知，二面角的平面角為，因?yàn)?，則，且，所以，的外接圓半徑為，設(shè)的外心為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作平面，設(shè)，因?yàn)椋?，，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，、平面，所以平面，同理可證平面，故為三棱錐外接球的球心，如下圖所示：由題意得，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為，故選：A.2．（多選）（2025·廣東廣州·二模）已知是球的球面上兩點(diǎn)，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，球的半徑為4，，二面角的大小為，則（

）A．是鈍角三角形B．直線與平面所成角為定值C．三棱錐的體積的最大值為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意可得固定平面，求出各線段長(zhǎng)度，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形可求得，即A正確，利用線面角定義作出其平面角可得B正確，由三棱錐錐體體積公式計(jì)算可得可判斷C錯(cuò)誤，求得三棱錐的外接球的球心位置和半徑即可求得D正確.【詳解】如下圖所示：易知，由可得；固定平面，由二面角的大小為可知為一個(gè)與平面夾角為的平面與的交點(diǎn)（在的右側(cè)），如圖中過(guò)平面的虛線形成的劣弧所示：取的中點(diǎn)為，作平面，則有，又易知，如下圖所示：在劣弧上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A，易知，因此可得是鈍角三角形，即A正確；對(duì)于B，設(shè)直線與平面所成的角為，則，為定值，即B正確；對(duì)于C，作，易知三棱錐的體積的最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，如下圖：由于是的外心，則平面，因此三點(diǎn)共線，設(shè)，在中由勾股定理可得，解得；因此三棱錐的外接球的表面積為，即D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)題目條件固定平面，再根據(jù)二面角大小求得線段長(zhǎng)度得出點(diǎn)軌跡，再結(jié)合線面角、外接球等進(jìn)行計(jì)算即可.3．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知二面角的大小為，且，，若四點(diǎn)，，，都在同一個(gè)球面上，當(dāng)該球體積取最小值時(shí)，等于.【答案】【分析】設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過(guò)△PAB和△ABC的外心E，H，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，OB為三棱錐外接球半徑，進(jìn)而求半徑表達(dá)式并利用配方法求出球半徑的最小值，從而可得的值.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為，所以球體積取得最小值時(shí)，則球的半徑最小.設(shè)，則，由題意知三棱錐外接球的球心是過(guò)和的外心E，H，易知分別為的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，且分別垂直這兩個(gè)三角形所在平面的垂線的交點(diǎn)O，為三棱錐外接球半徑，取的中點(diǎn)為G，如圖：由條件知，在中，由余弦定理可得，∴的外接圓直徑，當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值.故.故答案為：4．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為．現(xiàn)沿對(duì)角線將翻折到的位置，使二面角成直二面角．分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)都在球的表面上，則過(guò)直線的平面截球所得截面圓面積的最小值是．

【答案】【分析】法一：記的中點(diǎn)為，可得為外接球球心，當(dāng)點(diǎn)O到EF的距離即為球心O到截面圓的距離時(shí)，截面面積最小，結(jié)合勾股定理即可求解；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，同法一即可求解．【詳解】方法一：由四邊形為正方形，得球心即為BD的中點(diǎn)，所以球的半徑，又連結(jié)、、、，則，，再過(guò)E作，垂足為G，過(guò)F作，垂足為H，則，

且由已知條件可得，則在等腰中，頂點(diǎn)O到底邊EF的距離，當(dāng)頂點(diǎn)O到底邊EF的距離即為球心O到截面圓的距離時(shí)，截面圓面積最大，此時(shí)截面圓的半徑，故最大面積為．方法二：易知球心即為BD的中點(diǎn)，所以球的半徑，又連結(jié)、，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)，，

則，，所以點(diǎn)O到直線EF的距離為：，以下同方法一；故答案為：．題型10正四面體的外接球與內(nèi)切球解｜題｜策｜略在棱長(zhǎng)為a的正四面體中，下面幾個(gè)數(shù)據(jù)是常考的內(nèi)容1、正四面體的高為h2、正四面體外接球半徑為R=3、正四面體內(nèi)切球半徑為r=4、正四面體體積V1．（2025·山東·一模）已知半徑為的球的球心到正四面體的四個(gè)面的距離都相等，若正四面體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則正四面體的棱長(zhǎng)的取值范圍為（

）A．4,43 B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，得到其高為，結(jié)合題意可判斷出正四面體的棱長(zhǎng)取最值時(shí)球和正四面體的位置關(guān)系，再利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面圓心距離之間的關(guān)系求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)在底面的投影為，連接并延長(zhǎng)交于，易知E為中點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為，則由正四面體的特征知，，正四面體的高為.當(dāng)正四面體內(nèi)接于球時(shí)，即時(shí)，最小，此時(shí)，得.當(dāng)球與正四面體的每條棱都相切時(shí)，即，最大，因?yàn)榍虻那蛐牡秸拿骟w的四個(gè)面的距離都相等，所以當(dāng)球與正四面體的每條棱都相切時(shí)，借助正四面體和球的結(jié)構(gòu)特征可知切點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)，且球心到正四面體的頂點(diǎn)的距離為，利用勾股定理可得，得.故正四面體的棱長(zhǎng)的取值范圍為.故選：A.2．（2025·天津和平·一模）已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四面體的最小正方體的體積為，正四面體的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，由等體積法求出，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，即可求出，設(shè)正四面體的外接球的半徑，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的表面積為，由題設(shè)底面的外接圓半徑，則所以正四面體的高為，其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，解得：，所以，解得：，將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，正四面體的最小正方體的邊長(zhǎng)為，如下圖，即，所以，體積為，設(shè)正四面體的外接球半徑為，則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以，所以外接球的體積為，.故選：A.3．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)將一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魔方放入一個(gè)正四面體的盒子中，若該魔方可以在正四面體內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正四面體棱長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意當(dāng)正四面體棱長(zhǎng)最小時(shí)，魔方正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，根據(jù)等體積法列式求解即可.【詳解】由于該正方體棱長(zhǎng)為2，故其外接球的半徑為，這個(gè)正四面體棱長(zhǎng)的最小時(shí)，正四面體內(nèi)切球的半徑為.設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，其高為，根據(jù)等體積法知：，解得.故選：D.4．（2025·浙江嘉興·三模）若某正四面體的內(nèi)切球的表面積為，則該正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，再求出其外接球的半徑即可.【詳解】正四面體的內(nèi)切球與其外接球球心重合，如圖，正四面體內(nèi)切球與外接球球心在其高上，則是正四面體內(nèi)切球半徑，是正四面體外接球半徑，由正四面體的內(nèi)切球的表面積為，得，令，，，，在中，，解得，，所以該正四面體的外接球的體積.故選：C5．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知一件藝術(shù)品由外層一個(gè)大正四面體，內(nèi)層一個(gè)小正方體構(gòu)成，外層正四面體的棱長(zhǎng)為2，在該大正四面體內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體，并且小正方體在大正四面體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用當(dāng)這個(gè)小正方體可以在大正四面體內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)且小正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，小正方體的外接球的半徑等于該大正四面體的內(nèi)切球的半徑.先求出正四面體的內(nèi)切球的半徑，再利用正方體的外接球的半徑即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，正四面體底面的中心記為點(diǎn)，連接，.由正四面體的性質(zhì)可得：面.因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為2，所以底面三角形的高為，則，所以正四面體的高.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為.由等體積法可得：，即，解得：，所以正四面體的內(nèi)切球的半徑，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以正方體的外接球的半徑，因此.故選：C題型11棱錐、圓錐的內(nèi)切球解｜題｜策｜略無(wú)論是什么的內(nèi)切球問(wèn)題，都是先找過(guò)內(nèi)切球球心的截面，在截面中找切點(diǎn)，從而找到半徑關(guān)系。1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其內(nèi)切球和外接球球心重合，則該圓錐外接球的表面積為（

）A．48π B．36π C．24π D．12π【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)切球和外接球球心重合，得到角之間的關(guān)系，繼而可求外接球半徑.【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球和外接球球心重合，如圖可以得到所以外接球半徑，∵，∴因此圓錐外接球的表面積為48π.故選：A.2．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為，，則的長(zhǎng)為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)可知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為，進(jìn)而求出外接球的半徑，應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即可求解.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，為正四棱錐，設(shè)底面中心為,則四棱錐外接球球心及內(nèi)切球球心都在上，設(shè)外接球球心為，半徑為.連接，則有.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，在中，，由得，，整理得，.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，中，，，所以，所以四棱錐表面積為，由，即，∴，則的長(zhǎng)為.故選：B.3．（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)等于底面的圓半徑的2倍，那么該圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐和它的內(nèi)切球的性質(zhì)，做出軸截面，求出內(nèi)切球半徑和底面半徑之比，求出圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比.【詳解】如圖所示，作圓錐軸截面及其內(nèi)切圓，與三角形切于兩點(diǎn)，設(shè)圓錐底面半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，由勾股定理易知，所以在中，，由三角形內(nèi)切圓可得，可得，即，化簡(jiǎn)得，圓錐表面積為，內(nèi)切球表面積，則圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比，故選：B.4．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正八面體中，所有棱長(zhǎng)均為，為正八面體內(nèi)切球球面上的任意一點(diǎn)，則（

）A．正八面體內(nèi)切球的表面積為 B．正八面體的體積為C．的取值范圍是 D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)正四棱錐的特征，結(jié)合切點(diǎn)的位置，構(gòu)造幾何關(guān)系，即可求解A選項(xiàng)；根據(jù)錐體的體積公式，即可求解C選項(xiàng)；根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量求數(shù)量積，并結(jié)合直線與球的位置關(guān)系，求最值，可判斷C選項(xiàng)；設(shè)球心為，由球的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)與球相切時(shí)，最大，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意得，可以只分析正四棱錐，易得正四棱錐的高為，側(cè)面正三角形的高為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則由面積法可得，解得，所以表面積為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，正八面體的體積為兩個(gè)正四棱錐的體積之和，，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取中點(diǎn)，，而點(diǎn)到的距離為，因此的最小值為，最大值為，，代入數(shù)據(jù)可得的范圍是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)球心為，由球的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)與球相切時(shí)，最大，此時(shí)為銳角，如下圖所示：易知，，，則，所以，D對(duì).故選：ACD.5．（2025·安徽·二模）已知正三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球的球面上，則正三棱錐內(nèi)切球半徑的最大值為.【答案】【分析】利用正三棱錐外接球半徑，結(jié)合“正三棱錐體積正三棱錐表面積正三棱錐內(nèi)切球半徑”，可求內(nèi)切球半徑的表達(dá)式，再結(jié)合三角換元的方法可求內(nèi)切球半徑的最大值.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)，到平面的距離為，所以，，所以，，，所以，不妨設(shè)，，所以，所以，設(shè)，，所以，所以內(nèi)切球半徑的最大值為.故答案為：題型12棱臺(tái)、圓臺(tái)的內(nèi)切球解｜題｜策｜略先找過(guò)內(nèi)切球球心的截面，在截面中找切點(diǎn)，從而找到半徑關(guān)系。1．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)中，上底面與下底面的面積之比為，且其內(nèi)切球的半徑為2，則與面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)及其內(nèi)接球的性質(zhì)，結(jié)合題給上、下底面面積之比以及內(nèi)接球半徑，計(jì)算得出相應(yīng)邊長(zhǎng)的值，利用面面平行得出即為直線與平面所成的角，從而求解.【詳解】

如圖，根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知，上底面與下底面均為正方形，則，即，設(shè)，，則，取為上下底面中心，取為中點(diǎn)，連接，則，根據(jù)內(nèi)切球的性質(zhì)，球心為中點(diǎn)，記為球與平面的切點(diǎn)，則.所以，，，因?yàn)?，，，根?jù)勾股定理得出，所以，同理，.所以分別為的角平分線，即.因?yàn)?，，，所?連接，則，為在底面投影，則位于上，，四邊形為矩形，因?yàn)?，，則，所以，，因?yàn)槊媾c面平行，所以與面所成的角即為與面所成的角，所以.故選：A.2．（2025·陜西·二模）已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，該四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球心是下底面的中心，則該四棱臺(tái)的高為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由即可求解.【詳解】如圖，為上下底面的中心，由題意可知，所以，所以，故選：B3．（多選）（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)帶有蓋子的密閉圓臺(tái)形鐵桶中裝有兩個(gè)實(shí)心球（桶壁的厚度忽略不計(jì)），其中一個(gè)球恰為鐵桶的內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上，下底面及每條母線都相切的球），E為該球與母線BC的切點(diǎn).AB，CD分別為鐵桶上，下底面的直徑，且，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則（

）A．鐵桶的母線長(zhǎng)為3B．鐵桶的側(cè)面積為C．過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線與直線CD所成角的正切值為D．桶中另一個(gè)球的半徑的最大值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，研究軸截面，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，利用等面積法求出腰長(zhǎng)，即為母線長(zhǎng)；對(duì)于B選項(xiàng),利用側(cè)面積公式直接計(jì)算鐵桶側(cè)面積即可；對(duì)于C選項(xiàng)，連接DE交AB于G，連接FG交圓O于M，則FM即為過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線，在求解即可；對(duì)于D選項(xiàng)，在軸截面ABCD中，通過(guò)相似三角形求得另一個(gè)球半徑最大值.【詳解】由題，鐵桶的軸截面是上底為4,下底為2的等腰梯形且有內(nèi)切圓，如上圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則梯形兩腰長(zhǎng)為，梯形面積公式可以用兩種方式表示為，故鐵桶的母線長(zhǎng)為3，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，側(cè)面積公式為，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C.連接DE交AB于G，連接FG交圓O于M，則FM即為過(guò)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與桶蓋的交線.，則即為所求角.,所以E為BC的三等分點(diǎn)且靠近C，由，求得.在中，.對(duì)于選項(xiàng)D.當(dāng)球與球、桶蓋、桶壁均相切時(shí)，球的半徑最大，設(shè)為，如下圖，在軸截面ABCD中，由，則，可求得另一個(gè)球半徑的最大值為.故選：ACD.4．（多選）（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，與平面夾角的正弦值為，為上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（該四棱臺(tái)內(nèi)切球不一定與所有的面都相切，以半徑最大時(shí)且相切面數(shù)最多的球體為內(nèi)切球）（

）A．該幾何體的體積為B．存在點(diǎn)，使得C．該四棱臺(tái)外接球與內(nèi)切球的體積之比為D．存在點(diǎn)，使得平面平面【答案】AB【分析】對(duì)于A，根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)可求高，從而可求體積；對(duì)于BD，利用向量法可求判斷的存在性，對(duì)于C，就球與不同的面相切的情形討論球的半徑的范圍或取值，從而可判斷其正誤.【詳解】對(duì)于A，連接、，分別過(guò)點(diǎn)、作平面的投影，垂足分別為、，則.而，，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得，且為正四棱臺(tái)的高，而，，故，故A正確.對(duì)于BD，以底面中心為原點(diǎn)，以平行于的直線為軸，以平行于的直線為軸，以過(guò)且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，故，若存在點(diǎn)，使得，則，故，故B正確.又，而設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，，故不垂直，故平面、平面不垂直，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，連接，則外接球的半徑即為外接圓的半徑，因?yàn)榕c平面夾角的正弦值為且該夾角為銳角，故其余弦值為，由余弦定理得，由正弦定理得.若內(nèi)切球與平面、平面、平面相切，則該內(nèi)切球的直徑不超過(guò)正四棱臺(tái)的高，同理若內(nèi)切球與平面、平面、平面相切，則該內(nèi)切球的直徑也不超過(guò)正四棱臺(tái)的高，同理若內(nèi)切球與平面、平面、平面相切，則該內(nèi)切球的直徑也不超過(guò)正四棱臺(tái)的高，若球與平面、平面相切，取球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)，而，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，由正四棱臺(tái)可得，，，，而平面，故平面，而平面，故平面平面，過(guò)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，故平?又，而，故，故，故當(dāng)球與平面、平面相切，球不與側(cè)面相切，故此時(shí)與上下底面相切的球即為內(nèi)切球，故體積之比，故C錯(cuò)誤.故選：AB.5．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知底面半徑均為的圓錐和圓臺(tái)，它們的內(nèi)切球半徑也均為（內(nèi)切球分別與圓錐和圓臺(tái)的底面以及側(cè)面均相切），若，則圓錐和圓臺(tái)的體積比為．【答案】/【分析】利用圓臺(tái)的性質(zhì)求得上底面的關(guān)徑與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而求得圓臺(tái)的體積，求得圓錐的高與內(nèi)切球的半徑的關(guān)系，求得圓錐的體積，可求體積比.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高為，上底面半徑為，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，則兩腰長(zhǎng)之和是兩底長(zhǎng)之和，由圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑也均為，則，則，則，解得，則圓臺(tái)的體積為，圓錐的軸截面為等腰三角形，等腰三角形的內(nèi)切圓即為圓錐的內(nèi)切球的大圓，設(shè)等腰三角形底邊上的高為，則腰長(zhǎng)為，則，解得，則圓錐的體積為，所以.故答案為：.題型13多球相切問(wèn)題解｜題｜策｜略處理多球相切問(wèn)題從球心截面入手，內(nèi)切球問(wèn)題都需要從截面入手分析。1．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐P-ABCD中，各棱長(zhǎng)均相等，球是該四棱錐的內(nèi)切球，球與球相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切；球與球相切，且與該四棱錐的四個(gè)側(cè)面也相切，球的半徑大于球的半徑，則球與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)已知正四棱錐頂點(diǎn)及底面正方形一組對(duì)邊中點(diǎn)作截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形及內(nèi)部一系列圓相切問(wèn)題求解作答.【詳解】在正四棱錐中，令各棱長(zhǎng)為2，O為正方形ABCD的中心，M，Q分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P，M，Q的平面截正四棱錐得等腰，截球O1，球O2，球O3，得對(duì)應(yīng)球的截面大圓，如圖：顯然，，令N為圓與PM相切的切點(diǎn)，則，設(shè)球的半徑為，即，因?yàn)?，則，顯然，，設(shè)球與球相切于點(diǎn)T，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，即，設(shè)球與球相切于點(diǎn)S，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，即，，所以，故選：B2．（2025·重慶·三模）棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的體積最大為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出正四面體的體積及表面積，利用求出內(nèi)切球的半徑，再通過(guò)求出空隙處球的最大半徑，從而即可求最大體積.【詳解】如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為O，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，由正四面體結(jié)構(gòu)特征可知G為的中心，面，設(shè)E為中點(diǎn)，球O和球分別與面相切于F和.易得，，，由可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即空隙處的最大球的半徑為.所以空隙處的最大球的體積為為.故選：D3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為8的正方體空盒內(nèi)，有4個(gè)半徑為的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點(diǎn)的3個(gè)面相切，另有一個(gè)半徑為的大球放在4個(gè)小球之上，與4個(gè)小球相切，并與正方體盒蓋相切，無(wú)論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，5個(gè)球相切不松動(dòng)，設(shè)小球半徑的最大值為，大球半徑的最小值為，則（

）A．2 B．1 C． D．5【答案】B【分析】由題意，當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球中相鄰小球均相切時(shí)，小球半徑最大，大球半徑最小，易得小球半徑最大為2，由對(duì)稱性知，大球球心與4個(gè)小球球心構(gòu)成一個(gè)正四棱錐，在中，利用勾股定理求出，即可求得的值.【詳解】當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球中相鄰小球均相切時(shí)，小球半徑最大，大球半徑最?。烧襟w的棱長(zhǎng)為8，可得的最大值為2，下面分析時(shí)的取值．由對(duì)稱性知，大球球心與4個(gè)小球球心構(gòu)成一個(gè)正四棱錐，如下圖所示：則，．又由正方體盒知，正四棱錐的高OH（其中H為正四棱錐底面正方形中心）長(zhǎng)為：，，故在中，，即，解得，即大球半徑的最小值為，即，，所以．故選：B．4．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部，有8個(gè)以正方體頂點(diǎn)為球心且半徑相等的部分球體，有1個(gè)以正方體體心為球心的球體與均相切，則該9部分的體積和的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何體的特征，再應(yīng)用二次函數(shù)值域結(jié)合球的體積公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)球體的半徑為半徑為，所以，即得，又，所以開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以，該9部分的體積和為.故選：C.5．（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為的正三棱錐，其內(nèi)切球球心為，球與球以及三棱錐的三個(gè)側(cè)面均相切，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)球的半徑為，三棱錐的表面積為，根據(jù)體積分割法，求得，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，在上取點(diǎn)，使得，過(guò)作平面的平行平面，求得，設(shè)球的半徑為，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng).【詳解】設(shè)球的半徑為，三棱錐的表面積為，則，解得，又由，且，可得，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，因?yàn)樵谏希谏先↑c(diǎn)，使得，過(guò)作平面的平行平面，交，，于點(diǎn)G，T，H，如圖所示，則也是正三棱錐，球即為該三棱錐的內(nèi)切球，又因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，則，所以，所以.故選：B.題型14棱切球解｜題｜策｜略同內(nèi)切球問(wèn)題，找到切點(diǎn)、球心的截面。根據(jù)勾股定理求半徑1．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的各條棱都與同一個(gè)球面相切，若，則三角形的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【分析】由過(guò)球外一點(diǎn)與球面相切的切線長(zhǎng)相等，求出的長(zhǎng)，可得三角形的周長(zhǎng).【詳解】由已知，設(shè)球與棱的切點(diǎn)分別為，則，設(shè)，因?yàn)?，則，又，所以，解得，則，，所以三角形的周長(zhǎng)為.故選：D.2．（2025·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為的正方體的中心為，若球的球面與該正方體的棱有公共點(diǎn)，則球的表面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意分析得到最小的球?yàn)檎襟w的棱切球，最大的球?yàn)檎襟w的外接球.然后分別求出半徑，后求出表面積的范圍.【詳解】由題意知，當(dāng)球是正方體的棱切球時(shí)，球與棱有公共點(diǎn)，如圖：此時(shí)球的半徑，當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，球與棱有公共點(diǎn)，如圖：此時(shí)球的半徑，所以球的半徑，故球的表面積.故選：C.3．（多選）（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的外接球表面積為，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，則（

）A．正方體的棱切球（球與正方體的棱均相切）表面積為B．平面C．在該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)構(gòu)造一個(gè)三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為D．平面截正方體所得的截面的面積為【答案】BCD【分析】先由外接球的表面積計(jì)算正方體的棱長(zhǎng)，由面對(duì)角線為棱切球的直徑即可求得棱切球的半徑，進(jìn)而得表面積，連接交于，連接，即證，由線面平行判斷定理即可判斷，求當(dāng)?shù)酌鏋檎襟w一個(gè)面的一半，高為棱長(zhǎng)時(shí)，三棱錐的體積，再求當(dāng)?shù)酌鏋檎襟w面對(duì)角線時(shí)，高為時(shí)，三棱錐的體積，比較體積最大即可判斷C，先求平面截正方體所得的截面即可求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由正方體的外接球的表面積為，所以，解得，又，對(duì)于A：設(shè)正方體的棱切球的半徑為，所以，所以棱切球的表面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：連接交于，連接，在正方體中，為的中點(diǎn)，又M為線段BC的中點(diǎn)，所以，又不在平面內(nèi)，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C：這樣的三棱錐有兩類：有3個(gè)頂點(diǎn)在正方體的一個(gè)面內(nèi)，體積為，三棱錐任意3個(gè)頂點(diǎn)不在正方體的同一面內(nèi)，體積為，因此三棱錐的體積最大為，C正確；對(duì)于D：取的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)為，連接，由且所以四邊形平行四邊形，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以平面為平面截正方體所得的截面，又正方體的棱長(zhǎng)為2，所以,所以四邊形為菱形，又，所以四邊形的面積為，故D正確，故選：BCD.4．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上底面的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)有一個(gè)半球，球心為正方形的中心，且正四棱臺(tái)的上底面、四條側(cè)棱和下底面的四條邊均與球相切，則該半球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正四棱臺(tái)及半球的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合切線的性質(zhì)列式求出半球的半徑，進(jìn)而求出其表面積.【詳解】如圖，記正四棱臺(tái)的上底面的中心為，過(guò)作平面于，則點(diǎn)在上，記半球與分別相切于點(diǎn)，由正四棱臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征知，為的中點(diǎn)，由，得，記半球半徑為，則，于是，在中，，解得，所以半球的表面積為.故答案為：（建議用時(shí)：30分鐘）1．（2025·湖南·三模）如圖1，已知球O的半徑．在球O的內(nèi)接三棱錐中．平面，，，．P，Q分別為線段AC，BC的中點(diǎn)，G為線段BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），如圖2．則平面與平面夾角的余弦值的最大值為．

【答案】【分析】以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CB，CA分別為x，y軸，過(guò)點(diǎn)C且與BD平行的直線為z軸，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進(jìn)一步得平面與平面夾角的余弦值的最大值的表達(dá)式，結(jié)合換元法、基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，又，所以平面，又平面，所以，易知在和中，斜邊AD的中點(diǎn)到點(diǎn)A，B，C，D的距離相等，即AD為球O的直徑，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，所以中，，．以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CB，CA分別為x，y軸，過(guò)點(diǎn)C且與BD平行的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，設(shè)，，由題可知，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得．設(shè)平面與平面的夾角為．因?yàn)椋?，則，