第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)

一、教學(xué)目標1．了解無理數(shù)指數(shù)冪的意義；2．掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)并能應(yīng)用；3．通過有理數(shù)指數(shù)冪逐步過渡到無理數(shù)指數(shù)冪的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)抽象思維；4．引導(dǎo)學(xué)生運用類比、歸納等方法探索新知識，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識

二、教學(xué)重難點重點：無理數(shù)指數(shù)冪的概念及其運算性質(zhì)．難點：無理數(shù)指數(shù)冪的運算．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：網(wǎng)絡(luò)上盛極一時的數(shù)學(xué)恒等式“1.0130≈1.4,1.01365上面我們將ax(x>0)中指數(shù)那么，當指數(shù)x是無理數(shù)時ax如果是，那么它有什么運算性質(zhì)？設(shè)計意圖:通過勵志警句激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為新概念的生成作鋪墊.（二）探究新知任務(wù)1：無理數(shù)指數(shù)冪探究：根據(jù)2的不足近似值x和過剩近似值y（表4.1-1），利用計算工具計算相應(yīng)的5x,5要求：1.先獨立思考2分鐘；2.小組內(nèi)交流討論；3.以小組為單位進行展示匯報.師生活動：（1）學(xué)生們結(jié)合對教材的閱讀，應(yīng)該會有以下共同認識：一是是一個確定的數(shù)；二是可以通過求的不足近似值和過剩近似值來確定它的大小.教師適時用課件呈現(xiàn)以下表格：2的不足近似值522的過剩近似值521.41.51.411.421.4141.4151.41421.41431.414211.414221.4142131.4142141.41421351.41421361.414213561.414213571.4142135621.414213563……追問：51.4和5教師引導(dǎo)學(xué)生明確，51.4和5（4）有條件的情況下，讓學(xué)生用計算器完成上述計算.教師可以使用電子表格軟件系統(tǒng)“一鍵”完成以上計算：2的不足近似值x5x2的過剩近似值y5y1.49.5182696941.511.180339891.419.6726697291.429.8296353281.4149.7351710391.4159.7508518081.41429.7383051741.41439.739872621.414219.7384619071.414229.7386186431.4142139.7385089281.4142149.7385246021.41421359.7385167651.41421369.7385183321.414213569.7385177051.414213579.7385178621.4142135629.7385177361.4142135639.738517752……（5）由上表不難發(fā)現(xiàn)：當2的不足近似值從小于2的方向逼近2時，52的近似值從小于52的方向逼近52；當2的過剩近似值從大于2的方向逼近2時，52的近似值從大于52的方向逼近52．所以，52（6）教師再利用課件展示在數(shù)軸上確定52（7）師生共同明確：52（8）請學(xué)生回答：如何確認23設(shè)計意圖：類比對的具體數(shù)值的確定，理解52是一個確定的數(shù)這么一個事實.在具體教學(xué)中，要讓學(xué)生親自完成51.4、教材在外理數(shù)據(jù)的“不足”和“過?！保捎玫氖菍?shù)值大小變化的簡單而直接的觀察，如果有學(xué)生問到憑什么認定那些被省略的部分也一定會按這個趨勢變化時，教師可以給學(xué)生們說一說后面的課時會學(xué)習(xí)到的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題.這也算是為后面的學(xué)生埋下一個伏筆.總結(jié)：（1）無理數(shù)可以作為指數(shù)；（2）無理數(shù)指數(shù)冪的近似值可以利用逼近的方式得到.無理數(shù)指數(shù)冪的概念：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α為常數(shù))是一個確定的實數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪數(shù)ax(a>0)中指數(shù)任務(wù)2：實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)探究：無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)，即實數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α∈R要求：1.小組內(nèi)交流討論；2.以小組為單位進行展示匯報；3.師生共同歸納總結(jié).師生活動：學(xué)生自行討論明確以下結(jié)論：對任意的實數(shù)r,s，整數(shù)（有理數(shù)）指數(shù)冪的運算法則同樣適用于無理數(shù)（實數(shù)）指數(shù)冪：aar(a(ab)r設(shè)計意圖：從整數(shù)指數(shù)冪到實數(shù)指數(shù)冪，其運算法則是不變的.但是，指數(shù)冪ar的底數(shù)a的取值范圍發(fā)生了變化，要求底數(shù)a>0（三）應(yīng)用舉例例1化簡下列各式:(1)π4?π?ππ?2解：(1)π4?(2)((3)52+總結(jié)：關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運算技巧(1)無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)相同;(2)若式子中含有根式,一般把底數(shù)中的根式化為指數(shù)式,指數(shù)中的根式可以保留直接運算.例2計算下列各式：(1)2解：1(2)a總結(jié)：一般地，進行指數(shù)冪運算時，可按系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的．例3已知a2x=2+1解：令ax=t,∴a=2+1+總結(jié)：1.條件求值是代數(shù)式求值中的常見題型，一般要結(jié)合已知條件先化簡再求值，另外要特別注意條件的應(yīng)用，如條件中的隱含條件、整體代入等，可以簡化解題過程.2.解決此類問題的一般步驟：例4已知a>0，b>0，且ab＝b解法一：∵a>0，b>0，又a∴a=ba∴a解法二:∵ab＝∴a總結(jié)：指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴展到有理數(shù)乃至實數(shù)，給運算帶來了方便，我們可以借助指數(shù)運算法則輕松對指數(shù)變形，以達到我們代入、消元等目的．設(shè)計意圖：完成課本例題的過程中，進一步理解無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，鞏固所學(xué)知識.（四）課堂練習(xí)1.計算：3π×(1A.17 B.18 C.6 D.5解：

3π2.網(wǎng)絡(luò)上流行一些與數(shù)學(xué)相關(guān)的語言，用來勵志人生，比如“1.0130≈1.4,1.01365=37.8,1.01730=1427.6”，形象地向我們展示了通過努力每天進步1%，就會在一個月、一年以及兩年后產(chǎn)生巨大差異.雖然這是一種理想化的算法，但也讓我們直觀地感受到“小小的改變和時間累積的力量”，其實在你的身邊就有很多這樣其勤奮努力的同學(xué)，比如小剛同學(xué)，假設(shè)他每天進步2.01％，那么30天后小剛?cè)〉玫倪M步約為原來的(

)A.2.8 B.1.96 C.1.69 D.1.78

解：因為每天進步2.01%?.即0.0201，

則第一天是前一天的1+1×0.0201?=1.0201倍，

第二天是第一天的1.0201+1.0201×0.0201=1.02012倍，

......

第30天后小明的學(xué)習(xí)成果約為原來的1.020130倍，

因為1.0130≈1.4,1.01365≈37.8,1.017303.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達式1+11+11+?中“…”即代表無數(shù)次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1+1x=x，求得解：令2+32+3…=m(m>0)，

則兩邊平方得，則2+32+3…=m2，

4.如果x，y∈R，且2x=18y=6xy，那么x+y的值為

．

解：∵2x=18y=6xy，

∴當x=0時，y=0，即x+y=0；

同理當y=0時，x=0，即x+y=0；

當x≠0，y≠0時，

∵2x=6xy，