第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例，感受對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)和對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，并會(huì)判斷一些函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù)；3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和歸納問(wèn)題的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力,滲透類比等基本數(shù)學(xué)思想方法。

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和意義，明確對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．難點(diǎn)：理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念．

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)回顧：1.對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N，(a>0且a≠1)，則數(shù)x叫以a為底N的對(duì)數(shù)記作x＝logaN2.指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=ax(a>0，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.特征：①a>0，且a≠1；②ax的系數(shù)為1③自變量x的系數(shù)為1.設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).探究新知任務(wù)1：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念思考：在4.2.1的問(wèn)題2中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間x的變化而衰減的規(guī)律.反過(guò)來(lái)，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活實(shí)例引出問(wèn)題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.問(wèn)題1已知死亡生物體內(nèi)碳14含量y，能否確定它的死亡時(shí)間x？師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考，作答，全班交流.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧碳14指數(shù)衰減函數(shù)，使學(xué)生明確：可以利用碳14含量去判斷該生物體死亡的時(shí)長(zhǎng).思考已測(cè)得碳14含量y為12，則死亡時(shí)間x師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考，并進(jìn)行求解，得出相應(yīng)的答案.思考已測(cè)得碳14含量y為13，則死亡時(shí)間x師生活動(dòng)學(xué)生再進(jìn)行求解，得出相應(yīng)的答案.思考每一個(gè)碳14含量y∈(0,1]都能推出應(yīng)的死亡時(shí)間x嗎？x師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考、作答，教師根據(jù)學(xué)生的回答情況適時(shí)點(diǎn)評(píng)，并通過(guò)動(dòng)畫(huà)讓學(xué)生直觀感受給定一個(gè)碳14的含量y都的唯一的死亡時(shí)間x與之對(duì)應(yīng)，為下一步判斷x是y的函數(shù)做鋪墊，對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行分解.思考死亡時(shí)間x是碳14含量y的函數(shù)嗎?如果是，請(qǐng)用函數(shù)的語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)?師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考、作答，教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的概念出發(fā)進(jìn)行分析，并根據(jù)學(xué)生的回答情況適時(shí)點(diǎn)評(píng)及完善.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一個(gè)問(wèn)題四個(gè)追問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.在此基礎(chǔ)上聯(lián)系指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，借助指數(shù)函數(shù)解決對(duì)數(shù)的問(wèn)題，為下面從特殊推廣到一般，由指數(shù)函數(shù)引出對(duì)數(shù)函數(shù)做鋪墊.探究根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，由一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)得x=log思考1你能指出它的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系分別是什么？思考2函數(shù)y=loga概念：一般地，函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考、作答，再進(jìn)行交流，教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)概念出進(jìn)行分析，與學(xué)生互動(dòng)交流，完善學(xué)生的認(rèn)識(shí).設(shè)計(jì)意圖:從特殊到一般，抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.任務(wù)2：對(duì)數(shù)函數(shù)的特征探究：類比指數(shù)函數(shù)的特征，你能概括出對(duì)數(shù)函數(shù)的特征嗎？要求：1.先獨(dú)立思考2分鐘；2.小組內(nèi)交流討論；3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào).總結(jié)：對(duì)數(shù)函數(shù)的特征特征：①a>0，且a≠1；②logax的系數(shù)為③真數(shù)為自變量x，且x>0.師生活動(dòng)：學(xué)生思考并分組討論，以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào).設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，類比得到對(duì)數(shù)函數(shù)的特征，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括理解能力。（三）應(yīng)用舉例例1下列函數(shù)中，哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)？(1)y＝logax2(a>0，且(3)y=2log8x解：(1)真數(shù)的位置不是自變量x，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；(2)對(duì)數(shù)式log2(3)對(duì)數(shù)式log8(4)符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，是對(duì)數(shù)函數(shù).例2已知函數(shù)f(x)為對(duì)數(shù)函數(shù)，且點(diǎn)A(8,?3)和點(diǎn)B(n,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，則n=______.解：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0則由題意可得f(8)=?3,即loga8=?3,所以則a=所以對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)由f(n)=log12總結(jié)：判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法①a>0，且a≠1；②logax的系數(shù)為③真數(shù)為自變量x，且x>0.三個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)為對(duì)數(shù)函數(shù).例3求下列函數(shù)的定義域.(1)解:(1)∵x2>0,即x∴函數(shù)y=log3x2(2)∵4?x>0,即x<4,∴y=loga(4?x總結(jié)：與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問(wèn)題若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1.師生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，師生共同完成.設(shè)計(jì)意圖：本題取自教科書(shū)，難度不大，通過(guò)求函數(shù)的定義域進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的轉(zhuǎn)殊性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).例4.假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過(guò)y年后的物價(jià)為x.(1)該地的物價(jià)經(jīng)過(guò)幾年后會(huì)翻一番?(2)填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)命該地物價(jià)的變化規(guī)律.物價(jià)w12345678910年份t0解：(1)由題意可知，經(jīng)過(guò)t年后物價(jià)w為w=(1+5%)t，即w=由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得t=由計(jì)算工具可得，當(dāng)w=2時(shí)，t≈14.所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過(guò)14年后會(huì)翻一番.(2)根據(jù)函數(shù)t=log物價(jià)w12345678910年份t0142328333740434547由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，但大約每增加1所需要的年數(shù)在逐漸縮小.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生，理清思路，師生共同借助計(jì)算工具進(jìn)行解答.設(shè)計(jì)意圖：在充分理解了引入概念的實(shí)例基礎(chǔ)上，利用對(duì)數(shù)函數(shù)概念進(jìn)一步解決類似的實(shí)際問(wèn)題.從而鞏固概念，進(jìn)一步理解概念，并在此基礎(chǔ)上，通過(guò)列表的方式，初步體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為下一節(jié)內(nèi)容作鋪墊.（四）課堂練習(xí)1.下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有(

)A.y=logπx B.y=log2解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，形如y=logax(a>0，且a≠B中y=logC中y=log4D中y=log2(x+1)不是對(duì)數(shù)函數(shù)．

2.已知集合A={x|x=2k,k∈N?}，集合B=N?，下列表達(dá)式能建立從集合A到集合A.y=2x B.y=x2 C.y=log2解：由函數(shù)的定義可得A中的每個(gè)元素在B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．

按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：y=log2x，A中的6在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，故不滿足題意．

而按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：y=2x，y=x2，y=2x，A3.某數(shù)學(xué)小組以函數(shù)f(x)=lg1?x①函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,1)；②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③對(duì)于任意的x∈(?1,1)，都有f④對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x1，x2，總滿足其中所有正確研究結(jié)果的序號(hào)是

．解：在①中，因?yàn)閒(x)=lg1?x1+x，所以1?x1+x>0，得函數(shù)的定義域?yàn)??1,1)，所以①是正確的；

在②中，f(x)=lg1?x1+x=?lg1+x1?x=?f(?x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以②是錯(cuò)誤的；

對(duì)于④函數(shù)f(x)的定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x1，x2，總滿足f(x1)?f(x2)x1?x24.已知f(x)=log2(1+x)+log2(1?x)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)解：(1)由1+x>01?x>0得x>?1x<1即?1<x<1．

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|?1<x<1}．

(2)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：

①函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|?1<x<1}，

②f(?x)=log2[1+(?x)]+log2[1?(?x)]=log2(1?x)+5.已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程1?efx解：(1)令

?x2+6x?8>0

，即