貴州省貴陽(yáng)市清鎮(zhèn)北大培文學(xué)校2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知線段AB的端點(diǎn)B在直線l：y=-x+5上，端點(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）2．如果直線與直線垂直，那么的值為（）A. B.C. D.23．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.5．如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種6．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.8．直線的斜率是（）A. B.C. D.9．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.3210．直線的傾斜角為（）A B.C. D.11．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.3212．已知集合，從集合A中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離是_________.14．某廠將從64名員工中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4名參加2011年職工勞技大賽，將這64名員工編號(hào)為1～64，若已知8號(hào)、24號(hào)、56號(hào)在樣本中，那么樣本中最后一個(gè)員工的號(hào)碼是__________15．已知雙曲線的漸近線上兩點(diǎn)A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），則直線AB的斜率是_________.16．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_(kāi)______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求18．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與x軸交于點(diǎn)P．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求的值20．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式：.22．（10分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)槎它c(diǎn)A在圓C1：上運(yùn)動(dòng)，所以，即，因?yàn)榍€C2與圓C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.2、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以.故選：A3、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過(guò)來(lái)判斷時(shí)，是否能推出.【詳解】當(dāng)時(shí)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當(dāng)時(shí)，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長(zhǎng).【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因?yàn)槭堑妊切?，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長(zhǎng)故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.5、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.6、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí)，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.7、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長(zhǎng)，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則，解得根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A8、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D9、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C11、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C12、C【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩條直線的位置關(guān)系、幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線互相垂直，且交點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)可知：點(diǎn)P滿足約束條件的概率為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定，，利用點(diǎn)到平面的距離為，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，設(shè)與的夾角為，則所以點(diǎn)到平面的距離為故答案為：14、40【解析】結(jié)合系統(tǒng)抽樣的抽樣方法來(lái)確定最后抽取的號(hào)碼.【詳解】因?yàn)榉侄伍g隔為，故最后一個(gè)員工的號(hào)碼為.故答案為：15、##【解析】設(shè)出直線的方程，通過(guò)聯(lián)立直線的方程和漸近線的方程，結(jié)合中點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求得直線的斜率.【詳解】雙曲線，，漸近線方程為，設(shè)直線的方程為，，由，由，所以，所以直線的斜率是.故答案為：16、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)?，易知，又因?yàn)?，，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比來(lái)表示，解方程組得到基本量，可得到通項(xiàng)公式（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)得，根據(jù)特點(diǎn)求和時(shí)采用錯(cuò)位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式；2．錯(cuò)位相減求和18、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個(gè)根，然后分類討論，和三種情況下對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過(guò)二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點(diǎn)為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對(duì)勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤吡畹谩?，∴，得或①?dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當(dāng)，即時(shí)，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調(diào)遞減∴，∴∴【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是利用二次求導(dǎo)法，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)，求解原函數(shù)的單調(diào)性與最小值，并通過(guò)最小值的取值范圍證明不等式.19、（1）直線l的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，曲線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為；小問(wèn)2詳解】直線轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，得到，所以，，所以20、（1）證明見(jiàn)解析（2）答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可；（2）動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí)和，但時(shí)兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點(diǎn)且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問(wèn)2詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時(shí)，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時(shí)平面；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足，但時(shí)，與平面相交.21、（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而可知在恒成立，即可求參數(shù)范圍.（2）題設(shè)不等式等價(jià)于，討論的大小并根據(jù)一元二次不等式的解法求解集即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由，即，即.①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)﹐不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為﹔當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線方程與雙