第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省廣州市南沙區(qū)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A. B. C. D.2.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.明天不會下雨

B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上一面的數(shù)字是2

C.車輛隨機(jī)到達(dá)一個路口，遇到紅燈

D.圓中最長的弦是直徑4.如圖，是的直徑，是的弦，，則為（

）

A. B. C. D.5.如圖，把繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情況是（

）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根 D.有一個根為17.已知點，，都在反比例函數(shù)圖象上，則（

）A. B. C. D.8.自行車的示意圖如圖所示，其中，，，兩車輪的半徑均為，現(xiàn)要在自行車兩輪的陰影部分（分別以C，D為圓心的兩個扇形）裝上擋水的鐵皮，那么在前后輪的單面（陰影部分）安裝鐵皮，需要的面積約（

）

A. B. C. D.9.已知一次函數(shù)，k從2，中隨機(jī)取一個值，b從1，，中隨機(jī)取一個值，則該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限的概率為（

）A. B. C. D.10.拋物線的圖象如圖所示，對稱軸為直線．下列說法：①；②（t為實數(shù)）；③；④若和為圖象上兩點，且，則．其中正確的個數(shù)是（

）

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.二次函數(shù)y=x2-4x+3的頂點坐標(biāo)是

.12.已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，則

．13.中國傳統(tǒng)折扇展開形狀近似扇形，如圖一扇子完全打開后，扇骨，扇形的面積是，則這把扇子外邊緣的長是

．（結(jié)果保留）

14.列車從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．若列車要在2.5h內(nèi)到達(dá)，則速度至少需要提高到

km/h．

15.如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為

．

16.如圖，的半徑為2，四邊形內(nèi)接于，圓心O到的距離等于．下列說法中：①的長為2；②；③若劣弧被點D分為兩部分，，則；④若點E是線段上一動點，連接，過點C作于點F，則的最小值是．所有正確結(jié)論的序號是

．

三、解答題：本題共9小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題3分)解方程：．18.(本小題3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．畫出將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得到的．

19.(本小題6分)電影《哪吒之魔童鬧?！方刂?025年3月10日，票房突破148.87億元人民幣，成為全球動畫電影票房冠軍．如圖，有4張分別印有《哪吒之魔童鬧海》角色圖案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．將這4張卡片（形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片不放回，記錄后攪勻，再隨機(jī)取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：

(1)第一次取出的卡片圖案為“A哪吒”的概率為

；(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的2張卡片為“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．20.(本小題6分)為更好優(yōu)化交通與城市治理，某街道推進(jìn)停車場建設(shè)，計劃新建一個矩形停車場，布局如圖所示．已知停車場外圍的長為20米，寬為16米，陰影部分設(shè)計為停車位，地面需要噴漆，其余部分是等寬的車道，若噴漆面積為221平方米．

(1)設(shè)車道的寬度是x米，則停車位的橫向長度長是

米（用含x的代數(shù)式表示）；(2)求車道的寬．21.(本小題6分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)若拋物線過點，求該拋物線的解析式；(2)若拋物線的頂點到x軸的距離為2個單位長度，求a的值．22.(本小題6分)如圖1，是的直徑，是的一條弦，于H，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，連接，延長至點F，使得，求證：為的切線．23.(本小題8分)如圖，已知點是函數(shù)圖象上一點，連接延長至點，使，過點作軸交函數(shù)圖象于點，連接，點的橫坐標(biāo)為4．

(1)請寫出：點坐標(biāo)為

，點坐標(biāo)為

，點的坐標(biāo)為

；(2)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出當(dāng)時，的取值范圍；(3)連接，求面積．24.(本小題6分)中國瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品類之一，亦是中華傳統(tǒng)文化的重要標(biāo)志．某數(shù)學(xué)興趣小組以“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動為契機(jī)，開展跨學(xué)科項目式學(xué)習(xí)，特制定以下探究方案．【設(shè)計方案求傾斜狀態(tài)下杯里水面的寬度及最大深度】問題情境圖1是一個豎直放置在水平桌面上的瓷杯，圖2是其截面圖，瓷杯高度，杯口寬，，杯體近似看成拋物線狀（杯體厚度不計），當(dāng)杯中盛滿水時的最大深度．任務(wù)一如圖2，以杯底的中點F為原點O，以所在直線為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．求杯體的拋物線解析式．任務(wù)二如圖3，把瓷杯繞點B緩緩傾斜，倒出杯中的部分水，當(dāng)水面CH與杯口的夾角為45°時停止傾斜（水面CH與y軸相交于點S，與杯體相交于點H）．①求此時杯里水面的寬度CH；②求此時杯里水的最大深度．25.(本小題8分)如圖，正方形的邊長為，是正方形內(nèi)一動點，連接，．

(1)如圖1，連接，若，，①的度數(shù)為______；②如圖2，射線與的平分線相交于，求的長；(2)如圖3，為上一點，，連接，，．若，求面積的最小值．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】（2，-1）

12.【答案】-2

13.【答案】

14.【答案】240

15.【答案】7

16.【答案】①③④．

17.【答案】解：∴或，∴，．

18.【答案】解：如圖所示，即為所求．

19.【答案】【小題1】???????【小題2】解：如圖：共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的2張卡片為“A哪吒”和“C太乙真人”的結(jié)果有2種，∴取出的2張卡片為“A哪吒”和“C太乙真人”的概率為．

20.【答案】【小題1】???????【小題2】解：由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：車道的寬為3米．

21.【答案】【小題1】解：把代入，得，解得，∴；【小題2】∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∵拋物線的頂點到x軸的距離為2個單位長度，∴，解得或．

22.【答案】【小題1】證明：如圖所示，連接，∵是的直徑，是的一條弦，，∴，∴，∵，∴；

【小題2】證明：如圖所示，連接，

∵是的直徑，是的一條弦，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．

23.【答案】【小題1】?????????????????????【小題2】解：對于函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，且時，且，∴；【小題3】解：如圖，取中點，連接D．

∴是的中位線，∴．，∵軸，∴軸.對于，到的垂直距離為，對于，到的垂直距離為，∴，，∴．

24.【答案】解：任務(wù)一：∵，，∴，∵，∴，∴，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得：，解得，∴杯體的拋物線解析式為．任務(wù)二：①∵，，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，，∴，∴，∴杯里水面的寬度為．②將直線：向下平移得到直線：，當(dāng)直線與拋物線只有一個交點時，兩平行線間的距離即為杯里水的最大深度，設(shè)直線與軸交于點，過點作于，聯(lián)立，得：，∵只有一個交點，∴，解得，∴直線的解析式為，∴，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴杯里水的最大深度為．

25.【答案】【小題1】解：①四邊形是正方形，，，，，，，，是等邊三角形，，；②∵∴∵，是的平分線∴垂直平分∴∴如圖，連接，在中，∵是等邊三角形，∴設(shè)，則，在中，∴解得：（負(fù)值舍去）∴方法二，如圖，過點作于點，同理可得，∵是等邊三角形，∴