第11講立體幾何新定義問題一、單選題1．（2025·高三·黑龍江·階段練習(xí)）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的.它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成（如圖所示），點滿足，則直線與平面所成角的正弦值（

）A．為定值 B．存在最大值，且最大值為1C．為定值1 D．存在最小值，且最小值為【答案】A【解析】，即在線段（不包括點）.如圖，將該半正多面體補成正方體，則平面平面，因此直線與平面所成角等于直線與平面所成角.在正四周體中，設(shè)正四周體的棱長為2，作平面，垂足為，連接，則即為直線與平面所成角.易求，所以，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.2．（2025·高二·北京通州·期中）如圖，空間直角坐標系中，點，，定義.正方體的棱長為3，E為棱的中點，平面內(nèi)兩個動點P，M，分別滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依據(jù)正方體的特征易知平面，平面，平面，所以，又，則，如圖建立平面直角坐標系，設(shè)，則，整理得，即M軌跡為平面上的圓，以為圓心，2為半徑；由于，則P軌跡為以為中心，一條對角線長4且在縱軸上的正方形，如上圖所示，，易得，過圓心作的垂線，可知垂線方程為易得上的垂足，明顯在線段上，而上的垂足，明顯H距N遠，則圓心到的距離為，圓心到H的距離.故選：A3．（2025·青?！つM猜測）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.4．（2025·高三·河北·期末）由空間一點動身不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，，，在上取一點，過在平面內(nèi)作，交于，過在平面內(nèi)作，交于，連接，則是二面角的平面角，即.設(shè)，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即為，所以.故選：A.5．（2025·高二·遼寧·期中）刻畫空間彎曲性是幾何爭辯的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）.例如：正四周體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，則其各個頂點的曲率均為.若正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為，則四棱錐在頂點處的曲率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，，設(shè)，連接，則平面，取的中點，連接，，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，所以為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)，則，在中，，所以，又，所以，所以正四棱錐的每個側(cè)面均為正三角形，所以頂點的每個面角均為，故正四棱錐在頂點處的曲率為.故選：D.6．（2025·黑龍江大慶·模擬猜測）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面風(fēng)光上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和．例如：正四周體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四周體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F滿足，則八面體的總曲率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)每個面記為邊形，則全部的面角和為，依據(jù)定義可得該類多面體的總曲率．故選：C．7．（2025·高三·河南·階段練習(xí)）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，假如截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面開放圖是半徑為2的一個半圓，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓錐底面周長為，所以圓錐的底面半徑，圓錐的高，所以圓錐的體積為，由祖暅原理，該幾何體的體積也為.故選：C8．（2025·安徽合肥·三模）幾何中常用表示的測度，當為曲線、平面圖形和空間幾何體時，分別對應(yīng)其長度、面積和體積．在中，，，，為內(nèi)部一動點（含邊界），在空間中，到點的距離為的點的軌跡為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】空間中，到點的距離為的點的軌跡所構(gòu)成的空間幾何體在垂直于平面的角度看，如下圖所示：其中：，和區(qū)域內(nèi)的幾何體為底面半徑為的半圓柱；，，區(qū)域內(nèi)的幾何體為被兩平面所截得的部分球體，球心分別為；區(qū)域內(nèi)的幾何體是高為的直三棱柱.四邊形和為矩形，，，同理可得：，，，，，區(qū)域內(nèi)的幾何體合成一個完整的，半徑為的球，則，，區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；又，和區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；區(qū)域內(nèi)的直三棱柱體積，.故選：D.9．（2025·高二·浙江寧波·期中）我國南北朝時期的有名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，通過計算可得高相等時截面面積相等，依據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，則當截面與頂點距離為時，小圓錐底面半徑為，則，，故截面面積為：，把代入，即，解得：，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：圓柱圓錐.故選：D.10．（2025·浙江·模擬猜測）空間中13個不同的點構(gòu)成的集合，滿足當時，都是正四周體.對于任意平面，的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】為使得對于任意平面，取得最大值，故要使得使之在同一平面中三棱錐頂點最多，如下所示：如圖所示：三棱錐，均為正四周體,明顯，最多有11個點在同一平面中.同時，若同一平面中存在12個三棱錐的頂點，則只有1個點在平面外，無法構(gòu)造幾何體.故的最大值為：.故選：.11．（2025·高三·上海·階段練習(xí)）設(shè)、、…、為平面內(nèi)的個點，在平面內(nèi)的全部點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（

）A．②④ B．①② C．①④ D．①③④【答案】C【解析】①若三個點共線,在線段上,依據(jù)兩點之間線段最短,則是的中位點,正確；②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為,而直角頂點到三個頂點的距離之和為7,∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；③若四個點共線,則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點,故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；④如圖,在梯形中,對角線的交點是任意一點,則依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得,∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．故①④正確.故選：C12．（2025·高三·北京海淀·期末）若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結(jié)論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得.其中，全部正確結(jié)論的序號是A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】D【解析】取的中點，過點在平面內(nèi)作，再過點在平面內(nèi)作，垂足為點.在正方體中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可證，，則，.以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，.對于命題①，，，則，則，所以，，命題①正確；對于命題②，，則平面的一個法向量為，，令，解得，所以，存在點使得平面，命題②正確；對于命題③，，令，整理得，該方程無解，所以，不存在點使得，命題③錯誤.故選：D.13．（2025·高三·北京西城·期末）如圖，設(shè)為正四周體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點到四個頂點的距離組成的集合記為，假如集合中有且只有個元素，那么符合條件的點有．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】分以下兩種狀況爭辯：（1）點到其中兩個點的距離相等，到另外兩點的距離分別相等，且這兩個距離不等，此時點位于正四周體各棱的中點，符合條件的有個點；（2）點到其中三個點的距離相等，到另外一點的距離與它到其它三點的距離不相等，此時點在正四周體各側(cè)面的中心點，符合條件的有個點，故選C.考點：新定義14．（2025·高三·湖南永州·開學(xué)考試）定義一個集合，其元素是空間內(nèi)的點，任取，，，存在不全為0的實數(shù)，，，使得（其中為坐標原點）．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底.對于A，由題意，若，由于向量，，不共面，所以，故A正確；對于B，由題意，若，由于向量，，共面，所以不能推出，故B錯誤；對于C，由題意，若，由于向量，，共面，所以不能推出，故C錯誤；對于D，由題意，若，由于向量，，共面，所以不能推出，故D錯誤；故選：A.15．（2025·上海·模擬猜測）定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，對A，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故A錯誤；對B，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故B錯誤；對C，由空間直角坐標系易知三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，則由能推出，對D，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故D錯誤.故選：C．二、多選題16．（2025·高三·云南楚雄·期末）空間中，平面上的動點滿足方程，則稱為平面的方程，同時也稱平面的方程為，并稱為平面的一個法向量.已知方程分別為的平面的交線為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過點的平面的方程為B．若方程為的平面經(jīng)過點，則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)為3C．若平面的方程為，則坐標原點到平面的距離為D．與方程為的平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】經(jīng)檢驗，均滿足方程，且不共線，則可以確定唯一平面，則平面的方程為，A正確；若方程為的平面經(jīng)過點，則，整理得，由于無實數(shù)解，所以，B不正確；明顯，點滿足方程，則是平面內(nèi)一點，平面的一個法向量為，則，點到平面的距離，C正確.易知方程的一組公共解為，且的另一組公共解為，則直線經(jīng)過和的一個方向向量為，平面的一個法向量為.設(shè)與平面所成角的大小為，則，D正確.故選：ACD.17．（2025·高二·全國·課后作業(yè)）已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記作，則下列命題是真命題的為（

）A．已知，，則B．已知，，其中，則當且僅當時，向量的夾角取得最小值C．已知，，則D．已知，，，則三棱錐的表面積【答案】BC【解析】對于A，，由于，且，所以，故A錯誤；對于B，如圖所示，設(shè)，，則點A在平面上，點在軸上，由圖易知當時，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故B正確；對于C，依據(jù)“仿射”坐標的定義可得，，故C正確；對于D，由已知可得三棱錐為正四周體，棱長為1，其表面積，故D錯誤．故選：BC．18．（2025·江西·三模）球面三角學(xué)是爭辯球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點，劣弧BC的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若平面是面積為的等邊三角形，則B．若，則C．若，則球面的體積D．若平面為直角三角形，且，則【答案】BC【解析】對于A，因等邊三角形的面積為，則，又，故則，故A錯誤；對于B，由可得，故，即B正確；對于C，由可得，故.由正弦定理，的外接圓半徑為，點到平面ABC的距離，則三棱錐的體積,而球面的體積，故C正確；對于D，由余弦定理可知由可得，，即，化簡得，．取，則，則，故D錯誤．故選：BC19．（2025·高三·安徽合肥·階段練習(xí)）設(shè)為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中，為多面體的全部與點相鄰的頂點，且平面，平面，平面和平面為多面體的全部以為公共點的面.已知在直四棱柱中，四邊形為菱形，，則下列說法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為C．若四周體在點處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則直線與平面所成的角的正弦值為【答案】CD【解析】對于A.當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故A錯誤；對于B.若，則菱形為正方形，由于平面，，平面，所以，，所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，故錯誤；對于C.在四周體中，，，所以，所以四周體在點處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，由于平面平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，故正確；對于D.直四棱柱在頂點處的離散曲率為，則，即是等邊三角形，設(shè)，則即為與平面所成的角，，故正確；故選:CD.20．（2025·高二·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)是空間中兩兩夾角均為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對叫作向量在坐標系中的坐標，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若向量，向量，則B．若向量，向量，則C．若向量，向量，則當且僅當時，D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為【答案】BD【解析】對于A，若向量，向量，則，故A錯誤；對于B，若向量，向量，此時在空間直角坐標系中，故B正確；對于C，若向量，向量，當時，，則，此時，明顯不成立，故C錯誤；對于D，若向量，向量，向量，則三棱錐是棱長為1的正四周體，如圖所示，取中點，連接，在等邊中，易知，,則即為二面角的平面角，在中，由余弦定理得，，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：BD21．（2025·全國·三模）閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè)為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的全部與點相鄰的頂點，且平面，平面，，平面和平面為多面體的全部以為公共點的面”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說法正確的是（

）A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為C．若四周體在點處的離散曲率為，則平面D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則與平面的夾角為【答案】BC【解析】A：當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故A錯誤；B：若，則菱形為正方形，由于平面，平面，所以，，所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，故B正確；C：在四周體中，，，所以，所以四周體在點處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，由于平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面，故C正確，D：直四棱柱在頂點處的離散曲率為,則,即是等邊三角形,設(shè),則即為與平面的所成角,,故D錯誤;故選：BC.22．（2025·山東聊城·二模）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓外形，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸與短半軸長之積的倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（

）A．底面橢圓的離心率為B．側(cè)面積為C．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為D．底面積為【答案】ABD【解析】不妨過斜圓柱的最高點和最低點作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的是圓柱，如圖，矩形是圓柱的軸截面，平行四邊形是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，由圓柱的性質(zhì)知，則，設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，則，，，所以離心率為，A正確；，垂足為，則，易知，，又，所以斜圓柱側(cè)面積為，B正確；，，，，橢圓面積為，D正確；由于斜圓錐的兩個底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，球表面積為，C錯．故選：ABD．23．（2025·高三·云南昆明·期末）依據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線（其中AB是底面圓的直徑，各截面都過點M.第一個圖中截面平行于底面；其次個圖中截面與底面有且只有A這一個公共點；第三圖中截面平行于圓錐的軸OP,且與底面的交線是線段OB的垂直平分線；第四個圖中截面與底面的交線過底面圓心且與AB垂直）.若圓錐的高，底面圓的半徑為為母線的中點，則（

）A．圓的周長為B．橢圓的長軸長為C．雙曲線的離心率為D．拋物線的焦點到準線的距離為【答案】ABC【解析】對于A，由于點是母線的中點，當經(jīng)過的截面平行于底面時得截面圖形是圓，由于底面圓的半徑為,截面的半徑，所以圓的周長為，A正確；對于B，當經(jīng)過的截面恰好經(jīng)過底面的端點且與底面只有這一個公共點時截面是橢圓，橢圓的長軸是,由于在圓錐中，高，底面圓的半徑為4，所以，所以，所以橢圓的長軸長，故B正確；對于C，由于點是母線的中點，當經(jīng)過的截面與底面垂直時截面是一支雙曲線，截線正好是的中垂線時,在與底面、平面垂直且過點的平面內(nèi)，以為右頂點建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的標準方程為，有，易知點在雙曲線上，所以，所以離心率，故C正確；對于D，經(jīng)過的截面與底面的的截線是與垂直的底面圓的直徑時截面是拋物線，以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為（，易知點在拋物線上，所以，故D錯誤.故選：ABC.24．（2025·高三·湖南長沙·開學(xué)考試）給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算：.規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③.如圖2，在長方體中中，，，則（

）

A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于，同時與，垂直，，且，，構(gòu)成右手系，故成立，故正確.對于，，，則，故錯誤.對于，，與共線，且方向相同，，與共線，且方向相同，，與共線，且方向相同，所以，與共線，且方向相同，所以，故正確.對于，，，所以，故正確.故選：.三、填空題25．（2025·高三·廣東廣州·期末）已知是棱長為的正四周體，設(shè)的四個頂點到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.假如為的1階等距平面且1階等距集為，則符合條件的有個，的全部可能取值構(gòu)成的集合是.【答案】7【解析】①情形一：分別取的中點，由中位線性質(zhì)可知，此時平面為的一個1階等距平面，為正四周體高的一半，等于.由于正四周體有4個面，這樣的1階等距平面平行于其中一個面，有4種狀況；②情形二：分別取的中點將此正四周體放置到棱長為1的正方體中，則為正方體棱長的一半，等于.由于正四周體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，這樣的1階等距平面平行于其中一組異面直線，有3種狀況.綜上，當?shù)闹禐闀r，有4個；當?shù)闹禐闀r，有3個.所以符合條件的有7個，的全部可能取值構(gòu)成的集合是；故答案為：7；26．（2025·遼寧·二模）我們規(guī)定：在四周體中，取其異面的兩條棱的中點連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四周體稱為“垂棱四周體”，如左圖.

如右圖，在空間直角坐標系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點，經(jīng)過的直線與交于兩點，為平面下方一點，若為垂棱四周體，則其外接球表面積是的函數(shù).（1）的定義域是；（2）的最小值是.【答案】【解析】如圖，連接，由題知，平行且等于，平行且等于，所以，，故為平行四邊形，所以對角線，則是的中點，同理也是的中點，故“垂棱四周體”的三條內(nèi)棱交于一點，由三條內(nèi)棱兩兩垂直，易知為菱形，則，明顯，故，同理，所以“垂棱四周體”可補為如下圖示的長方體，綜上，題設(shè)右圖可將補成長方體，設(shè)長寬高分別為，則外接球半徑為該長方體的體對角線長的一半，為，所以，明顯，，，則，設(shè)，因直線過橢圓焦點，所以，聯(lián)立，得，則，所以，則，又，，，所以，則，即，由為某長方體的三個頂點，結(jié)合題設(shè)新定義，易知中為銳角，所以只需角為銳角，即，則，可得，由，所以最大時，最小，令，則，由在上單調(diào)遞增，故，所以.故答案為：，.27．（2025·高三·貴州貴陽·期末）對于兩個空間向量與，我們可以定義它們之間的歐式距離為，歐式距離可以簡潔理解為兩點之間的直線距離；依據(jù)需要，還可以定義它們之間的曼哈頓距離為，曼哈頓距離最初指的是區(qū)塊建設(shè)的城市（如曼哈頓）中，兩個路口間的最短行車距離，因此也被稱為城市街區(qū)距離．如圖，在棱長為的正方體中，；若點在上底面內(nèi)（含邊界）運動，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，則，，所以．由于在上底面內(nèi)（含邊界）運動，且，則，即在上底面內(nèi)，點在以為圓心，為半徑的圓周上，可設(shè)，則，，，所以，，由于，則，所以．故答案為：；.28．（2025·高三·安徽馬鞍山·期中）已知空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為．用以上學(xué)問解決下面問題：已知平面的方程為，直線l是兩個平面與的交線，則直線l與平面所成角的余弦值為．【答案】【解析】由題意可得平面的法向量可為，平面的法向量可為，平面的法向量可為，設(shè)直線的方向向量為，則有，取，則有、，則直線的方向向量可為，則，故直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.29．（2025·高三·上海浦東新·階段練習(xí)）在空間直角坐標系中，定義點和點兩點之間的“直角距離”．若和兩點之間的距離是，則和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是．【答案】【解析】由于，所以設(shè)，其中，因此，由于，所以，因此，設(shè)，于是有，由于，所以，因此當且時，即當且時，有最大值，當且或時，有最小值，此時，或，所以的最小值，綜上，和兩點之間的“直角距離”的取值范圍是.故答案為：30．（2025·高二·山東德州·期中）設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為：，其中為多面體M的全部與點P相鄰的頂點，且平面，平面，，平面和平面遍歷多面體M的全部以點P為公共點的面，在長方體中，，，點S為底面的中心，記三棱錐在點A處的離散曲率為，四棱錐在點S處的離散曲率為n，則．【答案】【解析】在長方體中,,故三棱錐在點A處的離散曲率；設(shè)交于O,連接,，，四邊形為正方形，則,,故,同理,四棱錐為正四棱錐，而,則四棱錐每個側(cè)面都為正三角形，所以,故四棱錐在點S處的離散曲率，故，故答案為：31．（2025·山東日照·一模）若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內(nèi)的正投影，記為.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與，不重合），.給出下列三個結(jié)論：①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得；其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①②【解析】取的中點，過點在平面內(nèi)作于，再過點在平面內(nèi)作于,在正方體中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可證，，則，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖：設(shè)，則，，，，，對于命題①，，，則，所以，所以，命題①正確；對于命題②，，則平面的一個法向量為，，令，解得，所以存在點使得平面，命題②正確；對于命題③，，令，整理得，該方程無解，所以不存在點使得，命題③錯誤.故答案為：①②.32．（2025·高二·陜西西安·階段練習(xí)）連接三角形三邊中點所得的三角形稱為該三角形的“中點三角形”，定義一個多面體的序列；是體積為1的正四周體，是以的每一個面上的中點三角形為一個面再向外作正四周體所構(gòu)成的新多面體.則的體積為.【答案】【解析】如圖，畫出了，由于有4個面，則有24個面，歸納可知有個面，這個數(shù)即是到時增加的小正四周體的個數(shù)，由于新增加的每一個小正四周體的體積是前一個小正四周體體積的，歸納得到時增加的每個小正四周體的體積為，所以比的體積增加了，所以的體積為.故答案為：.33．（2025·高三·浙江杭州·階段練習(xí)）將個棱長為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點與下層正方體上底面棱的中點重合.設(shè)最下方正方體的下底面的中心為，過