第10講立體幾何裝液體問(wèn)題一、單選題1．（2025·廣西南寧·模擬猜測(cè)）一個(gè)密閉且透亮?????的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長(zhǎng)為1，假如任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的外形都不行能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，正方體，若要使液面外形不行能為三角形，則當(dāng)平面平行于水平面放置時(shí)，液面必需高于平面，且低于平面.若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，液面外形都不行能為三角形.設(shè)液體的體積為，則，而，，所以液體的體積的取值范圍為.故選：B.2．（2025·湖北宜昌·一模）已知一個(gè)放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現(xiàn)將該棱柱繞旋轉(zhuǎn)至圖2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí)，液面與水平桌面的距離為；③當(dāng)液面與水平桌面的距離為時(shí)，與液面所成角的正弦值為.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】①若液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò),,三點(diǎn),則液體的體積為四棱錐,由于,所以①正確；②當(dāng)平面與液面成直二面角時(shí),即為圖2的位置,設(shè)液面與直三棱柱的交點(diǎn)為,如圖所示,由于直三棱柱的體積為,所以直棱柱的體積為,所以,即,則在中邊上的高為,由于在中邊上的高為,所以液面與水平桌面的距離為,所以②正確；③當(dāng)液面剛好同時(shí)經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)時(shí),如圖所示,此時(shí),則,易得,則中邊上的高為,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,即,即液面與水平桌面的距離為,由棱柱的對(duì)稱性可得點(diǎn)到平面的距離為,設(shè)與液面所成角為,則,所以③正確,所以①②③正確,故選:D3．（2025·新疆烏魯木齊·一模）如圖，一個(gè)圓柱形容器中盛有水，圓柱母線，若母線放置在水平地面上時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，水面高為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)圓柱底面半徑為，則當(dāng)母線水平放置時(shí)，圓柱中含水部分可以看作是以弓形為底，為高的柱體，由于水面過(guò)的中點(diǎn)，則，則弓形的面積為，當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，底面圓的面積為，設(shè)水面高為，則由水的體積不變可得：，即，解的：.故選：.4．（2025·云南麗江·一模）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，側(cè)面上有一個(gè)小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的銳二面角的正切值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于，由題意知，水的體積為，所以，即，解得，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且，又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為，在直角三角形中，.故選：C.5．（2025·高二·湖北·期中）如圖，正方體透亮?????容器的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量在向量上的投影向量為C．將容器的一個(gè)頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過(guò)程中，容器內(nèi)水面的最大面積為D．向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個(gè)【答案】C【解析】對(duì)A：由正方體性質(zhì)知：，，且、面，所以面，又面，則，由，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由題意且，若是交點(diǎn)，連接，所以，故為平行四邊形，則，，所以所成角，即為所成角，由題設(shè)，易知，在中，即夾角為，所以?shī)A角為，故向量在向量上的投影向量為：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令放在桌面上的頂點(diǎn)為，若桌面時(shí)正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等，此時(shí)要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于的平面截正方體的截面積最大，依據(jù)正方體的對(duì)稱性，僅當(dāng)截面過(guò)中點(diǎn)時(shí)截面積最大，此時(shí)，截面是邊長(zhǎng)為的正六邊形，故最大面積為，故C正確；對(duì)D：由題意，第一層小球?yàn)閭€(gè)，其次層小球?yàn)?，且奇?shù)層均為個(gè)，偶數(shù)層均為，而第一層與其次層中任意四個(gè)相鄰球的球心構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正四棱錐，故高為，假設(shè)共有n層小球，則總高度為，且為正整數(shù)，令，則，而，故小球總共有10層，由上，相鄰的兩層小球共有個(gè)，所以正方體一共可以放個(gè)小球，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．（2025·高三·甘肅白銀·階段練習(xí)）如圖，裝有水的正方體無(wú)蓋容器放在水平桌面上，此時(shí)水面為，已知．為了將容器中的水倒出，以為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒出，當(dāng)水剛好能從容器中倒出時(shí)，水面距離桌面的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，平面與水面的夾角為，則平面與水平桌面的夾角為．由題意可得三棱柱的體積為4，所以，解得，所以．水面距離桌面的高度為．故選：B.7．（2025·廣東深圳·一模）如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界狀況為，水面為面，水最多的臨界狀況為多面體，水面為，由于，，所以，即.故選：A.8．（2025·高三·廣東汕頭·期中）圖1是一個(gè)水平放置且高為6的直三棱柱容器，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為.將容器底面的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面外形恰好為，如圖2，則（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【解析】在圖1中的幾何體中，水的體積為，在圖2的幾何體中，水的體積為，由于，可得，解得.故選：B.9．（2025·高一·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，假如截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度約為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，依據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓臺(tái)的體積.下面證明如圖1中陰影截面面積相等：證明：設(shè)半球中陰影截面圓的半徑為，球體半徑為，則，截面圓面積；由于，所以圓柱中截面小圓半徑，而大圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積，所以，又高度相等，所以球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓臺(tái)的體積.如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒(méi)和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺(tái)體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，，，依據(jù)祖暅原理

，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺(tái)體積為，設(shè)將球取出時(shí)容器中水的深度為，底面圓的半徑為，則，.，即，.故選：B10．（2025·高一·湖北武漢·期中）如圖，有一個(gè)水平放置的透亮?????無(wú)蓋的正三棱柱容器，全部棱長(zhǎng)都為，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為，假如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為R，球的截面圓的半徑為r，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，則，解得，由球的截面性質(zhì)得：，解得，所以球的體積為，故選：D11．（2025·高三·湖南永州·階段練習(xí)）北方的冬天戶外冰天雪地，若水管暴露在外，則管內(nèi)的水就會(huì)結(jié)冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來(lái)不便．每年冬天來(lái)臨前，工作人員就會(huì)給暴露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶回旋而上一次包裹到位．某工作人員接受四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設(shè)水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側(cè)面開(kāi)放圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（

）（保溫帶厚度忽視不計(jì)）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題,作于.依據(jù)題意可知寬為帶寬的四分之一即,又水管直徑為4cm.故.故輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是.故選：D12．（2025·高三·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖，這是注入了肯定量水的正方體密閉容器，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，若，則該水平面截正方體所得截面的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】在正方體中，與平面所成的角是相等的，所以水平面平行于平面，又水平面恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則水平面截正方體所得的截面是過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，如圖，所以其面積.故選：B13．（2025·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過(guò)的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水的外形為四棱柱形，底面是梯形，設(shè)的面積為，則，水的體積，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水的外形為直三棱柱，設(shè)水面高為，則有，得，即當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為9．故選：C．14．（2025·高二·江西上饒·期末）如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干；現(xiàn)將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好是中截面（即平面經(jīng)過(guò)邊、的中點(diǎn)）則圖1中容器水面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，如下圖：易知，則，由為的中點(diǎn)，則，可得，設(shè)三棱柱與三棱柱的體積分別為，則，設(shè)水的體積為，則，在圖1中，設(shè)水形成的三棱柱的高為，則，解得.故選：D.15．（2025·高二·河北·期末）如圖所示，連接棱長(zhǎng)為2的正方體各面的中心得到一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)處向該容器內(nèi)注水，直至注滿水為止.圖中水面的高度為，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積為，容器內(nèi)水的體積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是的函數(shù) B．是的函數(shù)C．是的函數(shù) D．是的函數(shù)【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)水面的高度確定時(shí)，水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積也唯一確定，則是的函數(shù)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，水面高度可能消滅兩種可能，則不是的函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，隨的增大而增大，是的函數(shù)，也是的函數(shù)，因此是的函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)水面對(duì)應(yīng)四邊形的面積確定時(shí)，可能消滅兩個(gè)值，不是的函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC16．（2025·高三·上海·階段練習(xí)）如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，設(shè)其高為，容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，設(shè)其高為，當(dāng)容器內(nèi)盛有肯定量的水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)，假如將容器水平倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)（圖2），對(duì)于命題：①；②將容器側(cè)面水平放置，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)．下列推斷正確的是（

）

A．①、②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①、②都是假命題【答案】A【解析】由題意可知圖1水的高度，幾何體正四棱柱的高為，設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為，圖1中水的體積為，圖2中水的體積為，所以，解得，故①正確，對(duì)于②，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，又由于容器容積為，所以水的體積是容器容積的一半，即水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故②正確，故選：A二、多選題17．（2025·山東菏澤·一模）透亮?????塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點(diǎn)置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說(shuō)法正確的是（）A．液面始終與地面平行B．時(shí)，液面始終是平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，有液體的部分可呈正三棱錐D．當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積最大值為【答案】ACD【解析】液面始終是水平面，與場(chǎng)面平行，A正確；時(shí)，體積是正方體的一半，如液面正好過(guò)棱的中點(diǎn)，此時(shí)液面是正六邊形，不是平行四邊形，B錯(cuò)；液面過(guò)的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，有液體的部分是正三棱錐，C正確；當(dāng)液面與正方體的對(duì)角線垂直時(shí)，液面面積的液面面積最大時(shí)就是B中所列舉的正六邊形（此時(shí)液體體積是正方體體積的一半），面積為，D正確．故選：ACD．18．（2025·高三·江西·階段練習(xí)）如圖，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐形容器，已知此刻容器內(nèi)液體的高度為15cm，忽視容器的厚度，則（

）A．此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B．容器內(nèi)液體倒去一半后，容器內(nèi)液體的高度為C．當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加5cm時(shí)，需要增加的液體的體積為D．當(dāng)容器內(nèi)沉入一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體鐵塊時(shí)，容器內(nèi)液體的高度為【答案】BCD【解析】作圓錐的軸截面如圖：設(shè)，由相像三角形可得：所以對(duì)于A：由于液體高度與圓錐高度之比為，所以容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為，A錯(cuò)誤．對(duì)于B：設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確．對(duì)于C：由于，，所以當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加5cm時(shí)，需要增加的液體的體積為，C正確．對(duì)于D:當(dāng)容器內(nèi)沉入一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體鐵塊時(shí)，設(shè)容器內(nèi)液體的高度為，體積，則，，D正確．故選:BCD19．（2025·高三·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖①，密閉圓柱形容器（容器壁厚度忽視不計(jì)）內(nèi)裝有肯定體積的水，容器的底面半徑，為容器下底面的直徑．如圖②，將該容器繞點(diǎn)傾斜后，當(dāng)且傾斜過(guò)程中水面只與容器側(cè)面接觸，不與容器底面接觸時(shí)，水面與容器側(cè)面相交線上的點(diǎn)到容器下底面距離的最大值與最小值分別為，；當(dāng)時(shí)，水的最大深度為，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若水面外形為橢圓，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為2B．若水面外形為橢圓，則該橢圓的離心率為C．若容器的高為4，，則D．若容器的高為4，，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)容器傾斜時(shí)，水面形成一個(gè)橢圓．橢圓的短軸長(zhǎng)等于圓柱底面的直徑，即．因此，該橢圓的短軸長(zhǎng)為4，而不是．故A是錯(cuò)誤的．對(duì)于B，當(dāng)容器傾斜時(shí)，短半軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，水的體積，當(dāng)時(shí)，水的體積保持不變，此時(shí)水的體積可以看作是一個(gè)底面為弓形的柱體，設(shè)容器高為，依據(jù)水的體積不變可得：，(該式是依據(jù)水的體積的兩種表示方法列出的，左邊是豎直放置時(shí)水的體積，右邊是傾斜放置時(shí)水的體積，由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓柱組成)，若容器的高為4，，，代入上式可得：，設(shè)，則，此方程無(wú)解，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若容器的高為4，，，代入上式可得：，設(shè)，則，解方程可得：，所以，故D正確；故選：BD.20．（2025·河北唐山·一模）在透亮?????的密閉正三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知．如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3．固定容器底面一邊AC于地面上，再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面與地面重合的過(guò)程中，設(shè)水面所在平面為α，則（

）

A．水面外形的變化：三角形?梯形?矩形B．當(dāng)時(shí)，水面的面積為C．當(dāng)時(shí)，水面與地面的距離為D．當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面的面積為12【答案】ABC【解析】由題知，正三棱柱的體積，對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，水面外形是三角形，再傾斜時(shí)，水面外形是梯形，直到側(cè)面與地面重合時(shí)，水面外形是矩形，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖1，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，設(shè)，又三棱柱為正三棱柱，取中點(diǎn)，連接，易知，又，面，所以面，所以到平面的距離為，所以，解得，此時(shí)水面圖形為，又，，取中點(diǎn)，則，且，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至?xí)r，設(shè)水面與棱的交點(diǎn)為，易知，設(shè)，由，得到，由于水面始終與地面平行，始終與水面平行，且始終在地面上，所以水面與地面的距離，即到平面的距離，取中點(diǎn)，連接，設(shè)交于，連接，易知，又，面，所以面，又，所以面，過(guò)作于，連接，由于面，所以，又，面，所以，即為水平面到地面的距離，如圖3，過(guò)作于，易知，所以，得到，又，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，如圖4，當(dāng)側(cè)面與地面重合時(shí)，水面為矩形，設(shè)，則由，解得，所以，故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，21．（2025·江蘇揚(yáng)州·模擬猜測(cè)）如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為6的透亮?????的正方體容器（記為正方體）放置在水平面的上方，點(diǎn)恰在平面內(nèi)，點(diǎn)到平面的距離為2，若容器中裝有水，靜止時(shí)水面與表面的交線與的夾角為0，記水面到平面的距離為，則（

）A．平面平面B．點(diǎn)到平面的距離為8C．當(dāng)時(shí)，水面的外形是四邊形D．當(dāng)時(shí)，所裝的水的體積為【答案】ABD【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則,由于靜止時(shí)水面與表面的交線與的夾角為0，所以平面，設(shè)平面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離為，，，而，令，所以平面的法向量為，對(duì)A，，，，，故平面，所以平面的法向量為，又，所以平面平面，故A正確；對(duì)B，，所以到平面的距離為，故B正確；對(duì)C，由于，所以，當(dāng)時(shí)，截面為六邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，設(shè)水面與的交點(diǎn)分別為，設(shè)，則，則，，故，設(shè)水面與交點(diǎn)為，所以，，此時(shí)過(guò)作交于點(diǎn)，連接，設(shè)的面積為,的面積為，則，，所以，所以，故D正確.故選：ABD22．（2025·廣西南寧·模擬猜測(cè)）如圖，透亮?????塑料制成的直三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，，，若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽視不計(jì)，則（

）A．當(dāng)?shù)酌嫠椒胖煤?，固定容器底面一邊于水平地面上，將容器圍著轉(zhuǎn)動(dòng)，則沒(méi)有水的部分肯定是棱柱B．轉(zhuǎn)動(dòng)容器，當(dāng)平面水平放置時(shí)，容器內(nèi)水面形成的截面與各棱的交點(diǎn)都是所在棱的中點(diǎn)C．在翻滾、轉(zhuǎn)動(dòng)容器的過(guò)程中，有水的部分可能是三棱錐D．容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為【答案】AD【解析】A：當(dāng)平面水平放置時(shí)（始終保持水平），則平面平面，所以有水的部分是棱柱，由圖可知，沒(méi)有水的部分也是棱柱，故A正確；B：當(dāng)平面水平放置時(shí)，假設(shè)都為所在棱的中點(diǎn)，設(shè)水面到底面的距離為，，所以水的體積為，又轉(zhuǎn)動(dòng)前水的體積為，所以不為所在棱的中點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：在翻滾?轉(zhuǎn)動(dòng)容器的過(guò)程中，當(dāng)平面水平放置時(shí)，三棱錐的體積取到最大值，如圖，此時(shí)，而水的體積為，所以有水的部分不行能是三棱錐，故C錯(cuò)誤；D：取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)O，連接OA，則D為的外接圓圓心，O為三棱柱外接球的球心，所以為外接球的半徑，且，所以直三棱柱外接球體積.由選項(xiàng)B可知，容器中水的體積為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，則水的體積與直三棱柱外接球體積之比為，即容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為，故D正確.故選：AD.23．（2025·高二·湖北武漢·期末）如圖，透亮?????塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，以下命題正確的是（

）A．有水的部分始終呈棱柱形B．水面所在四邊形的面積為定值C．棱始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，是定值【答案】ACD【解析】對(duì)A，由棱柱的特征：有兩個(gè)平面時(shí)相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，故A正確；對(duì)B，由于水面EFGH所在四邊形的面積，從圖2，圖3可以發(fā)覺(jué)，有條邊長(zhǎng)不變，而另外一條長(zhǎng)隨著傾斜度變化而變化，所以EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由于棱A1D1始終與BC是平行的，BC與平面始終平行，故C正確；對(duì)D，由于水的體積是不變的，高始終是BC也不變，則底面也不變，即BE?BF是定值，故D正確．故選：ACD．24．（2025·高一·湖北武漢·期末）如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P．假如將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P（圖2），則（

）A．若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿B．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半C．將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)PD．任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P【答案】AC【解析】設(shè)圖1中水的高度，幾何體的高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為；則圖2中水的體積為，即，解得，所以正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半是錯(cuò)誤的，即B錯(cuò)誤．對(duì)于A，往容器內(nèi)再注入升水，水面將上升，則，容器恰好能裝滿，A正確；對(duì)于C，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，始終占容器內(nèi)空間的一半，所以水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D正確．對(duì)于D中，如圖所示，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，由于四棱錐的高為，幾何體的高度為，設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，可得，由，可得，可得，所以的體積為，可得水的體積為，此時(shí)，沖突，所以D不正確.故選：AC．三、填空題25．（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，透亮?????塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：（1）有水的部分始終呈棱柱形；（2）沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；（3）水面所在四邊形的面積為定值；（4）棱始終與水面所在平面平行；（5）當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，是定值．其中全部正確命題的序號(hào)是【答案】（1）（2）（4）（5）【解析】依據(jù)棱柱的定義知，有兩個(gè)面是相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，所以（1）和（2）正確；由于水面所在四邊形，從圖2，圖3可以看出，有兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)不變而另外兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)隨傾斜度變化而變化，所以水面四邊形的面積是變化的，（3）錯(cuò)誤；由于棱始終與平行，與水面始終平行，所以（4）正確；由于水的體積是不變的，高始終是也不變，所以底面積也不會(huì)變，即是定值，所以（5）正確；綜上知（1）（2）（4）（5）正確，故答案為：（1）（2）（4）（5）.26．（2025·高三·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，裝有水的正方體無(wú)蓋容器放在水平桌面上，此時(shí)水面為，已知．為了將容器中的水倒出，以為軸向右傾斜容器，使得水能從容器中倒出，當(dāng)水剛好能從容器中倒出時(shí)，水面距離桌面的高度為．

【答案】【解析】如圖，平面與水面的夾角為，則平面與水平桌面的夾角為．由題意可得三棱柱的體積為，所以，解得，所以．水面距離桌面的高度為．故答案為：.27．（2025·高二·四川內(nèi)江·期末）如圖，透亮?????塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，有下面五個(gè)命題：①有水的部分始終呈棱柱形；②沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；③水面EFGH所在四邊形的面積為定值；④棱A1D1始終與水面所在平面平行；⑤當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，BE?BF是定值．其中全部正確命題的序號(hào)是．【答案】①②④⑤【解析】依據(jù)棱柱的定義知，有兩個(gè)面是相互平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線也相互平行，而這些面都是平行四邊形，所以①②正確；由于水面EFGH所在四邊形，從圖2，圖3可以看出，有兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)不變而另外兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)隨傾斜度變化而變化，所以水面四邊形EFGH的面積是變化的，③不對(duì)；由于棱始終與平行，與水面始終平行，所以④正確；由于水的體積是不變的，高始終是BC也不變，所以底面積也不會(huì)變，即BE?BF是定值，所以⑤正確；綜上知①②④⑤正確，故填①②④⑤.28．（2025·山東泰安·一模）如圖，在水平放置的圓柱內(nèi)，放入三個(gè)半徑相等的實(shí)心小球（小球材質(zhì)密度），小球分別與上底面、下底面相切，小球與圓柱壁相切，且在軸截面中，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好沉沒(méi)小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為，圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為．

【答案】；.【解析】依據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接，則為等邊三角形，設(shè)圓柱底面半徑為，高為，小球的半徑為，則，故，故，所以，故，故球的體積為，圓柱的側(cè)面積為，球的表面積為，故圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為.故答案為：，.29．（2025·山西晉中·模擬猜測(cè)）如圖，在透亮?????塑料制成的直三棱柱容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，，若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽視不計(jì)，則容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比的最大值為.【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則為外接圓的圓心，為三棱柱外接球的球心，所以為外接圓半徑，且，所以直三棱柱的外接球的體積為，又水的體積，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比的最大值為，故答案為：.30．（2025·全國(guó)·模擬猜測(cè)）如圖，桌面上的無(wú)蓋正方體容器內(nèi)裝有高度為的水，．現(xiàn)將容器圍著棱所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器中溢出的水剛好裝滿一個(gè)半徑為的半球形玻璃瓶時(shí)，容器內(nèi)水面交棱于，且．若不考慮容器厚度及其他因素影響，則．【答案】【解析】由題意可知當(dāng)旋轉(zhuǎn)且水溢出后，剩余的水在正方體容器中形成一個(gè)三棱柱，故由長(zhǎng)方體、棱柱與球的體積公式可知，解得．故答案為：31．（2025·安徽亳州·模擬猜測(cè)）如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水（沒(méi)有盛滿），若將該容器任意放置均不能使容器內(nèi)水平面呈三角形，寫(xiě)出的一個(gè)可能取值：.

【答案】37（答案不唯一）【解析】如圖，在正方體中，若要使液面外形不行能為三角形，則平面EHD平行于水平面放置時(shí)，液面必需高于平面EHD，且低于平面AFC,若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，液面外形都不行能為三角形，設(shè)正方體內(nèi)水的體積為V，而，而（升），（升）所以V的取值范圍是.故答案為：32．（20