模塊04數(shù)列與平面對量一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025高三·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形中，點滿足，點為的中點，則（

）

A． B． C． D．3．（24-25高三上·遼寧·期末）記等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（

）A． B． C． D．4．（2025·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（）A．8 B．±8 C．10 D．±105．（24-25高三上·廣東汕頭·期末）已知平面對量滿足：，則（

）A． B． C．2 D．6．（2025高三·全國·專題練習）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．3 B．18 C．54 D．1527．（2025·江蘇南通·模擬猜測）定義：已知數(shù)列的首項，前項和為.設與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（24-25高三上·湖北隨州·期末）下列命題正確的是（

）A．零向量是唯一沒有方向的向量B．零向量的長度等于0C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則10．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知向量，，滿足，，，則（

）A． B．當時，C．當時， D．在上的投影向量的坐標為11．（2025·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2025·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．13．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的通項公式.14．（24-25高三上·上海奉賢·期中）意大利有名畫家、自然科學家、工程師達芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時，曾認真思考女人脖子上黑色項鏈的外形，這就是有名的懸鏈線外形問題.后續(xù)的數(shù)學家對這一問題不斷爭辯，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相像的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2025項和四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2025高三·全國·專題練習）已知平面上肯定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：的任一條直徑，求的最值．16．（24-25高三上·天津和平·期末）已知數(shù)列是首項為的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比不為的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，{}的通項公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前n項和為，求證：對任意的，都有.17．（24-25高三上·福建龍巖·期中）閱讀下一段文字：，，兩式相減得，我們把這個等式稱作“極化恒等式”，它實現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數(shù)量積運算化為“模”的運算．試依據(jù)上面的內(nèi)容解決以下問題：如圖，在中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．(1)若AD=BC=3，求的值；(2)若，，求的值．18．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當時，數(shù)列滿足，求證：；(3)若對任意正整數(shù)都有成立，求正實數(shù)的取值范圍．19．（23-24高三下·山西大同·階段練習）元向量（）也叫維向量，是平面對量的推廣，設為正整數(shù)，數(shù)集中的個元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個重量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公