搶分秘籍函數(shù)的零點名目【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】函數(shù)零點的定義【題型二】函數(shù)零點存在性定理【題型三】函數(shù)零點的分布【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點一：忽視函數(shù)的定義域而致誤易錯點二：函數(shù)的圖象畫的不精確?????而致誤：函數(shù)與導數(shù)始終是高考中的熱點與難點,函數(shù)的零點個數(shù)問題、隱零點及零點賦值問題是近年高考的熱點及難點,特殊是隱零點及零點賦值經常成為導數(shù)壓軸的法寶.【理解概念】(1)函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．(3)函數(shù)零點存在定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．【常用結論】1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的全部函數(shù)值保持同號．【題型一】函數(shù)零點的定義1.求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個不同的實數(shù)根，則f(x)有多少個零點．(2)定理法：利用函數(shù)零點存在定理時往往還要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等．(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡潔函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù)．2.依據(jù)函數(shù)零點的狀況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接依據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(shù)(范圍)．(2)分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍．(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結合法求解.3.對于復合函數(shù)y＝f(g(x))的零點個數(shù)問題，求解思路如下：(1)確定內層函數(shù)u＝g(x)和外層函數(shù)y＝f(u)；(2)確定外層函數(shù)y＝f(u)的零點u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)確定直線u＝ui(i＝1,2,3，…，n)與內層函數(shù)u＝g(x)圖象的交點個數(shù)分別為a1，a2，a3，…，an，則函數(shù)y＝f(g(x))的零點個數(shù)為a1＋a2＋a3＋…＋an.【例1-1】（求函數(shù)的零點）（2025·上海青浦·一模）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則關于函數(shù)在R上的零點的說法正確的是（

）.A．有4個零點，其中只有一個零點在區(qū)間上B．有4個零點，其中兩個零點在區(qū)間上，另外兩個零點在區(qū)間上C．有5個零點，兩個正零點中一個在區(qū)間上，一個在區(qū)間上D．有5個零點，都不在上【答案】D【分析】依據(jù)題意，由函數(shù)零點的定義可推斷時，函數(shù)有兩個零點，然后結合函數(shù)奇偶性的性質，即可得到時的零點，從而得到結果.【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，即0是函數(shù)的一個零點；當時，，此時函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，即此時函數(shù)在和內各有一個零點，在上無零點，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故函數(shù)在和也內各有一個零點，綜合上述可知函數(shù)有5個零點，都不在上故選：D【例1-2】（依據(jù)零點求函數(shù)解析式中的參數(shù)）（23-24高三下·上?！ら_學考試）定義在上的函數(shù)，其圖象與水平直線的交點從左往右分別記為．若，則的取值范圍是．【答案】【分析】振幅僅是保證與總有交點，的變化僅是轉變函數(shù)的周期，與線段長度的比無關，令即可，由題意爭辯圖象解出的取值范圍即可.【詳解】由題意，振幅僅是保證與有交點，且它們的交點不行能為正弦型函數(shù)的最值點或零點，否則，故且，又的變化僅轉變函數(shù)的周期(長度)，與線段長度的比無關，要使，第一與其次個交點距離大于半個周期長，而其次與第三個交點距離小于半個周期長，不妨令，，作出(留意代換且)的圖象，如圖：由，且，，所以，由圖象得：，或，結合，所以的取值范圍為：.故答案為：.【例1-3】（利用導數(shù)爭辯函數(shù)零點）（2025·上海徐匯·三模）若函數(shù)滿足，稱為的不動點.(1)求函數(shù)的不動點；(2)設.求證：恰有一個不動點；(3)證明：函數(shù)有唯一不動點的充分非必要條件是函數(shù)有唯一不動點.【答案】(1)不動點為(2)見解析(3)見解析【分析】（1）令，解出即可；（2）分和爭辯，當時，轉化為求，通過構造新函數(shù)，爭辯其單調性即可證明；（3）設，計算得，則其必要性不成立，再通過證明其不動點的存在性，最終利用反證法證明其唯一性.【詳解】（1）由題意,得,解得,即不動點為.（2）當時,,故0為函數(shù)的一個不動點，當時,求的解,即求的解.構造函數(shù)，求導得，當時,，則,當時,,所以在上嚴格遞減,在上嚴格遞增,故,即對任意恒成立,即對任意恒成立.綜上所述,函數(shù)恰有一個不動點.（3）設,則函數(shù)有唯一不動點,由可得,則函數(shù)的不動點不唯一，必要性不成立，另一方面，先證不動點是存在的，不妨設是的唯一不動點,即，令,則,那么,,而,故,這說明是的不動點，由只有一個不動點知,，從而,這說明是的不動點，存在性得證.再證唯一性，若還有另一個不動點,即,則,這說明還有另一個不動點,與題設沖突.綜上所述,函數(shù)有唯一不動點的充分非必要條件是函數(shù)有唯一不動點.【點睛】關鍵點睛：本題其次問的關鍵是在爭辯時，通過轉化得求的解，構造函數(shù)，通過導數(shù)得到其單調性和值域，從而證明原結論，第三問的關鍵是首先證明其必要性不成立，然后再證明不動點的存在性和唯一性.【變式1-1】（2025·上海嘉定·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．有零點 D．【答案】D【分析】利用賦值法，結合奇函數(shù)的定義、零點的定義逐一推斷即可.【詳解】A：在中，令，得，由于，所以，所以本選項不正確；B：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，由上可知，明顯不符合，因此本選項不正確；C：在中，令，得，或，明顯函數(shù)沒有零點，故本選項不正確，D：在中，令，得，所以本選項正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用賦值法.【變式1-2】（2025·上海長寧·二模）設各項均為實數(shù)的等差數(shù)列和的前n項和分別為和，對于方程①，②，③．下列推斷正確的是（

）A．若①有實根，②有實根，則③有實根B．若①有實根，②無實根，則③有實根C．若①無實根，②有實根，則③無實根D．若①無實根，②無實根，則③無實根【答案】B【分析】若①有實根，得到，設方程與方程的判別式分別為和，得到，結合舉反例可以推斷選項AB；通過舉反例可以推斷選項CD.【詳解】若①有實根，由題意得：，其中，，代入上式得，設方程與方程的判別式分別為和，則等號成立的條件是．又，假如②有實根，則，則或者，所以③有實根或者沒有實根，如滿足，，但是，所以③沒有實根，所以選項A錯誤；假如②沒實根，則，則，所以③有實根，所以選項B正確；若①無實根，則，②有實根，則,設，所以，，此時，則③有實根，所以選項C錯誤；若①無實根，則，②無實根，則,設，所以，，此時，則③有實根，所以選項D錯誤.故選：B【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是排解法的機敏運用，要證明一個命題是假命題，證明比較困難，只需舉一個反例即可.【變式1-3】（2025·上海楊浦·一模）已知定義在R上的函數(shù)對任意，都有成立且滿足（其中a為常數(shù)），關于x的方程：的解的狀況．下面推斷正確的是（

）A．存在常數(shù)a，使得該方程無實數(shù)解 B．對任意常數(shù)a，方程均有且僅有1解C．存在常數(shù)a，使得該方程有很多解 D．對任意常數(shù)a，方程解的個數(shù)大于2【答案】B【分析】將方程的解的狀況轉化為零點的狀況，然后依據(jù)得到，依據(jù)，得到，然后利用定義法得到在R上單調遞增，即可得到對任意常數(shù)，方程只有一個解.【詳解】令，則方程的解的狀況可以轉化為零點的狀況，由于，所以，由于，所以，則，令，，由于，所以，，即，所以在R上單調遞增，又，所以對任意常數(shù)，只有一個零點，即方程只有一個解.故選：B.【變式1-4】（22-23高三上·上海閔行·期中）定義域為的函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，且對任意只有，，則方程實數(shù)根的個數(shù)為（

）A．2025 B．2025 C．2026 D．2027【答案】D【分析】由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，當，時，，對任意都有，可得函數(shù)在0，上以4為周期，令，則，即可得出結論,結合周期性即可求解.【詳解】由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，當，時，,對任意都有，得，所以函數(shù)在，上以4為周期，,做出函數(shù)一個周期，的圖象：當時，，由得：令，則，由于，而在第一個周期有3個交點，后面每個周期有2個交點，所以共有個交點，當時，，由得：,令，得，由上述可知，有個交點，故有個交點，又時，，所以方程實數(shù)根的個數(shù)為．故選：D．【變式1-5】（2025·上海嘉定·三模）已知函數(shù)，若滿足（、、互不相等），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，依據(jù)，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

不妨設，由于，由函數(shù)的性質得，，即，所以，故選：D【變式1-6】（2025·上海青浦·一模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則該函數(shù)的全部零點是．【答案】；【分析】依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)進行求解即可.【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，則，得，則，其中，所以該函數(shù)的全部零點是.故答案為：【變式1-7】（22-23高三下·上海長寧·開學考試）若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線-零點數(shù)列”，已知函數(shù)有兩個零點1、2，數(shù)列為“切線-零點數(shù)列”，設數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前項和為，則．【答案】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的零點可求得的值，求出，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，進而可求得.【詳解】由于有兩個零點1、2，由韋達定理可得，解得，所以，，由題意可得，所以，又由于，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故答案為：【點睛】本題的關鍵點在于由得到，再證明數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.【變式1-8】（2025·上海徐匯·一模）已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對任意的，都有.(1)求實數(shù)的值；(2)設，當時，，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）依據(jù)最小正周期及三角函數(shù)的性質、不等式恒成立有，即可求參數(shù)值；（2）應用三角恒等變換有，令求解，結合即可求結果.【詳解】（1），由的最小正周期為，知，，∴.（2）由（1）可得：，，或，即或，，又，則不妨令，故.【題型二】函數(shù)零點存在性定理確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(2)數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀看圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來推斷．【例2-1】（24-25高三上·上海·期中）已知，，，，函數(shù)和的圖像如圖所示，其中是這兩個函數(shù)共同的零點，是其中一個函數(shù)的零點，則.【答案】【分析】依據(jù)零點的概念，結合三角函數(shù)的周期性解題.【詳解】由是函數(shù)的零點，可得，即，，?。ㄕ胼S的第一個零點）可得；又是函數(shù)的零點，由，得，，?。ㄕ胼S的第四個零點）得，所以，.故答案為：.【例2-2】（24-25高三上·上海松江·期末）定義在D上的函數(shù)，若對任意不同的兩點，，都存在，使得函數(shù)在處的切線與直線平行，則稱函數(shù)在D上處處相依，其中稱為直線的相依切線，為函數(shù)）在的相依區(qū)間.已知.(1)當時，函數(shù)在上處處相依，證明：導函數(shù)在上有零點；(2)若函數(shù)在上處處相依，且對任意實數(shù)m、n，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）由題意結合函數(shù)零點存在定理即可證明；（2）先求導函數(shù)，再由題意將問題轉化為存在，使得恒成立，進而得恒成立，求出在上的即可得解.（3）先由相依區(qū)間定義求得，從而將所需證明的問題轉化為證明，，再構造函數(shù)結合導數(shù)證明即可.【詳解】（1）證明：當時，函數(shù)，所以，所以，即，又函數(shù)在上處處相依，所以導函數(shù)在上有零點；（2）由于，所以，由于函數(shù)在上處處相依，所以存在，，使得，故由題意存在，使得恒成馬上恒成立，所以恒成立，又，所以.所以實數(shù)的取值范圍為.（3）當時，，則，由于為函數(shù)在的相依區(qū)間，所以，則，由于，單調遞減；，單調遞增；所以，則，要證，即證，即證，即證，，令，則，令，則，由于，，，所以，故函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，故函數(shù)在上單調遞減，所以，所以在上恒成立，即證得，，從而得證.【點睛】關鍵點睛：本題第三問的解題關鍵是依據(jù)相依區(qū)間的定義得到，進而結合條件利用分析法將問題轉化為，，再構造函數(shù)證明即可.【例2-3】（22-23高三下·上海楊浦·開學考試）設，滿足．(1)求a的值，并爭辯函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)在區(qū)間嚴格減，求b的取值范圍；(3)在（2）的條件下，當b取最小值時，證明：函數(shù)有且僅有一個零點q，且存在唯一的遞增的無窮正整數(shù)列，使得成立．【答案】(1)；當時，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)(2)(3)證明見解析【分析】(1)直接利用函數(shù)表達式表示函數(shù)值即可求的值，再依據(jù)奇偶性定義求解；(2)利用導數(shù)與單調性的關系求解；(3)利用函數(shù)的單調性和零點的存在性定理推斷零點所在區(qū)間，再依據(jù)無窮等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】（1）∵函數(shù)（常數(shù)）滿足．∴，解得：；當時，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（2）由（1）得：則，若在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，當時，，為的最小值，所以；（3）由(2)可知，，所以，當時，恒成立，無零點，當時，單調遞增，且，所以函數(shù)在有唯一零點，所以即，所以，又由于，所以存在唯一的遞增的無窮正整數(shù)列，使得成立，且.【變式2-1】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，則“”是“函數(shù)有零點”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要【答案】A【分析】依據(jù)特值法與零點存在定理可快速得出結論.【詳解】函數(shù)，定義域為，當時，，當時，，依據(jù)零點存在定理，知此時函數(shù)必有零點，所以充分性成立；當，時，，易知，所以函數(shù)有零點，此時，所以必要性不成立.故“”是“函數(shù)有零點”的充分不必要條件.故選：.【變式2-2】（23-24高三上·上海長寧·期中）有兩個關于函數(shù)（為自然對數(shù)的底）的命題：①該函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)；②該函數(shù)在區(qū)間上不存在零點，其中（

）A．①真?②真 B．①假?②假 C．①真?②假 D．①假?②真【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)的導函數(shù)恒大于零結合函數(shù)的定義域，可知函數(shù)有兩個單調遞增區(qū)間，但依據(jù)函數(shù)值的變化，函數(shù)在定義域上不具有單調性，可知①假；依據(jù)函數(shù)的單調性，結合當時，，，則可知②假的.【詳解】由于函數(shù)，其定義域為，則恒成立，故函數(shù)在上是單調遞增,在單調遞增，當，，，故函數(shù)在定義域內不具有單調性；當時，，故該函數(shù)在區(qū)間上不存在零點，當時，，故時，，又，故存在，使得，所以①假，②假，故選：【變式2-3】（22-23高三上·上海寶山·階段練習）已知函數(shù)，，，實數(shù)是函數(shù)的一個零點，下列選項中，不行能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題知在定義域上是單調減函數(shù)，進而分都為負值和爭辯可推斷出結果.【詳解】解：由在上單調遞減，y＝log2x在上單調遞增，所以，在定義域上是單調減函數(shù)，當時，，又由于，，所以，當都為負值，則都大于，當，則都小于，大于.綜合可得，不行能成立．故選：C【變式2-4】（23-24高三上·上?！るA段練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點，則全部可能的正整數(shù)的值組成的集合為.【答案】【分析】化簡函數(shù)得，令，換元得，依據(jù)二次函數(shù)零點可得：原題意等價于在區(qū)間上恰有2025個零點，結合正弦函數(shù)的圖象性質分析求解.【詳解】，令，，可得，，記的兩零點為、，則，不妨設，且，則，，，可知（舍去），，原題意等價于在區(qū)間上恰有2025個零點，可知在和（為正整數(shù)）內不同根的個數(shù)均為，所以.故答案為：.【變式2-5】（22-23高三上·上海浦東新·階段練習）已知，函數(shù)的零點從小到大依次為，若），請寫出全部的所組成的集合.【答案】【分析】將的零點可以轉化為函數(shù)和圖象交點的橫坐標，然后利用零點存在性定理分析零點所在區(qū)間即可.【詳解】的零點可以轉化為函數(shù)和圖象交點的橫坐標，圖象如上所示，由圖可知共三個零點，，，所以在上存在一個零點；，則在上存在一個零點；，，則在上存在一個零點；所以.故答案為：.【變式2-6】（23-24高三上·上海寶山·階段練習）記，分別為函數(shù)，的導函數(shù).若存在實數(shù)，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”.(1)證明：函數(shù)與不存在“S點”；(2)若存在實數(shù)b，使得函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知函數(shù)，.對任意常數(shù)，推斷是否存在常數(shù)，使函數(shù)與在區(qū)間內存在“S點”，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，理由見解析【分析】（1）依據(jù)“S點”的定義對兩函數(shù)求導并聯(lián)立導函數(shù)解方程可知無解，即可證明結論；（2）聯(lián)立導函數(shù)和原函數(shù)方程組解出實數(shù)的表達式即可求得實數(shù)a的取值范圍；（3）依據(jù)題意構造方程組解得，利用零點存在定理證明在有零點，即可得出結論.【詳解】（1），，由定義得，聯(lián)立解得方程無解，則與不存在“S點”；（2）易知，，，由得，若存在“S點”即可知方程有解，所以；得，，即，可得；所以可得；（3），，由，假設滿足得，得，由，得，得，令（，），設（，），則，，得，又的圖象在上不間斷，則在上有零點，則在上有零點，則存在，使與在區(qū)間內存在“S點”.【變式2-7】（2025·上海長寧·二模）已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對任意，都有，則稱函數(shù)具有性質．(1)若函數(shù)具有性質，求的值(2)設，若，求證：存在常數(shù)，使得具有性質(3)若函數(shù)具有性質，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，求證：函數(shù)在上存在零點．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）對任意，都有，代入和即可得出答案；（2）設，利用零點存在性定理即可證得結論；（3）先轉化為，然后令得，，分狀況利用零點存在性定理證得結論.【詳解】（1）函數(shù)具有性質，所以對任意，都有，令，得，令，得，所以．（2）證明：函數(shù)具有性質的充要條件為存在，使得，即，

設，由于，，所以在區(qū)間上函數(shù)存在零點，

取，則，得函數(shù)具有性質．（3）設，由于，所以，令得，，

①若，則函數(shù)存在零點若，當時，，所以此時函數(shù)在區(qū)間上存在零點

②由于所以

若，當時，，所以此時函數(shù)在區(qū)間上存在零點．綜上，函數(shù)在上存在零點．【變式2-8】（2025·上海楊浦·一模）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．(1)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(2)若對于任意，函數(shù)，在內均存在唯一零點，求a的取值范圍；(3)設是函數(shù)大于0的零點，其構成數(shù)列．問：是否存在實數(shù)a使得中的部分項：，，，（其中時，）構成一個無窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；【分析】（1）由題知，再依據(jù)導數(shù)求解即可得答案；（2）由題知，函數(shù)在上單調遞增，進而轉化為，再解不等式得對一切成立，進而得；（3）依據(jù)得，再證明時是恒為1的常數(shù)列，符合題意，和時不滿足題意即可.【詳解】（1）解：由題知，所以，令得，所以函數(shù)的單調增區(qū)間為．（2）解：當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在內均存在唯一零點只需即可，即由于為正整數(shù)，，所以對一切成立由于當時，，當且僅當時等號成立，所以．（3）解：由于得，下面證明時滿足題意.①，則．則．由（2），是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是恒為1的常數(shù)列，符合題意．②．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格增數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格增數(shù)列．所以，．當時，．但這與沖突故不符合題意．③時，，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．，由于是上的嚴格增函數(shù)，所以．所以，是嚴格減數(shù)列，那么無窮等比數(shù)列也為嚴格減數(shù)列．所以，．當時，．但這與沖突故不符合題意．綜上，使數(shù)列部分項可以構成等比數(shù)列的充要條件是：．【點睛】關鍵點點睛：本題第3問解題的關鍵在于依據(jù)得，進而分，，分別說明時成立，其他范圍不成馬上可.【題型三】函數(shù)零點的分布對于二次函數(shù)零點分布的爭辯一般從以下幾個方面入手(1)開口方向；(2)對稱軸，主要爭辯對稱軸與區(qū)間的位置關系；(3)判別式，打算函數(shù)與x軸的交點個數(shù)；(4)區(qū)間端點值．【例3-1】（22-23高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)在上恰有5個零點，則實數(shù)a的最大值為．【答案】/【分析】依據(jù)正弦的二倍角公式可得或，進而可得的零點狀況，結合區(qū)間即可確定a的最大值.【詳解】由得，令，解得或，當,,當，或，所以當，的零點按從小到大排列有：，故在上恰有5個零點，則這5個零點為，故，故a的最大值為，故答案為：【例3-2】（2025·上?！つM猜測）已知設，，若關于的不等式恰有一個整數(shù)解，則的取值范圍是.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，令，即，設為方程的兩個根，且，分、兩種狀況進行爭辯，從而可得以及實數(shù)a的取值范圍，則的范圍可求.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，

有，，當時，令，即，設為方程的兩個根，且，由于，則有，當時，，則必有，則必包含在不等式的解中，由圖可知的解為，此時不等式的解中有2個整數(shù)，不符合題意，當時，，由圖象可知，當時，對應的值唯一，由于的解恰有一個整數(shù)，所以這個整數(shù)為，則，當時，有最小值為，即有最大值為，當時，，此時，即；故答案為：.【例3-3】（2025·上海浦東新·模擬猜測）已知，，.(1)若，，寫出曲線的一條水平切線的方程；(2)若，使得，，，形成等差數(shù)列，證明：；(3)若存在，使得函數(shù)有唯一零點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）把，代入，利用導數(shù)值為0求出切點坐標即可作答.（2）利用反證法結合均值不等式依次證明作答.（3）當時，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，確定函數(shù)有唯一零點，再證明當時，函數(shù)有兩個零點作答.【詳解】（1）當，時，，求導得，由，即，得，此時，所以所求水平切線的方程為.（2）依題意，只需證明：，而，，，成等差數(shù)列，則，即，此時，若，則，從而有，又，且由知等號不成立，因此，與沖突，于是，同理，所以.（3）依題意，，當時，，函數(shù)在上嚴格遞增，從而當時，有唯一零點，當時，，其中，而函數(shù)在上嚴格遞增，則當時，，而當時，，于是函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞減，在區(qū)間上嚴格遞增，又，因此當且時，；當且時，，而，從而由零點存在定理知，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，即函數(shù)不行能有唯一零點，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導數(shù)分類爭辯，爭辯函數(shù)的單調性、最值等，結合零點存在性定理，借助數(shù)形結合思想分析解決問題.【變式3-1】（2025·上海楊浦·一模）已知，若方程與均恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】由題知恰有兩個不同的實數(shù)根，記為（不妨設），進而得，，再依據(jù)均恰有兩個不同的實根得，進而解不等式即可得答案.【詳解】解：由于恰有兩個不同的實數(shù)根，記為（不妨設），所以，令，即所以，，，由于均恰有兩個不同的實根，所以和中共有兩個不相等的實數(shù)根，當時，即，整理得①，當時，即，整理得②由所以，①②沒有公共實數(shù)根，由于所以方程①無實數(shù)根，②有兩個實數(shù)根，所以，不等式，故當，不等式明顯成立，當時，，解得所以，的解集為；不等式，故當時，，不等式恒成立，當時，，解得，所以，的解集為，所以，的解集為故答案為：【變式3-2】（2025·上海閔行·二模）若關于的方程在實數(shù)范圍內有解