概率與統(tǒng)計名目【解密高考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】條件概率與全概率公式【題型二】離散型隨機(jī)變量及其分布【題型三】二項分布【題型四】超幾何分布【題型五】正態(tài)分布【題型六】一元線性、非線性回歸模型【題型七】列聯(lián)表與獨立性檢驗【題型八】概率、統(tǒng)計與其他學(xué)問的交匯問題【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點：均值、方差的大小比較、最值范圍問題：1、全國Ⅰ對古典概型每年都會考查，主要考查實際背景的可能大事，通常與互斥大事、對立大事一起考查．在高考中單獨命題時，通常以選擇題、填空題形式消滅，屬于中低檔題；與統(tǒng)計等學(xué)問結(jié)合在一起考查時，以解答題形式消滅，屬中檔題.2、以理解幾何概型的概念、概率公式為主，會求一些簡潔的幾何概型的概率，常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集、定積分等學(xué)問交匯考查．在高考中多以選擇、填空題的形式考查，難度為中檔.3、以理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量分布列的求法．在高考中以解答題的形式進(jìn)行考查，難度多為中檔或較難.：小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點，當(dāng)然古典概型和相互獨立大事的推斷以及正態(tài)分布也是需要嫻熟把握的。今年還需對冷門的學(xué)問點，比如用樣本方差估量總體方差、最小二乘法、殘差等學(xué)問點的把握和理解?！绢}型一】條件概率與全概率公式【例1】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相鄰的狀況有：全部排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的狀況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C【例2】（多選）有三個相同的箱子，分別編號，其中號箱內(nèi)裝有個紅球、個白球，號箱內(nèi)裝有個紅球、個白球，號箱內(nèi)裝有個紅球，這些球除顏色外完全相同．某人等可能從三個箱子中任取一箱并從中摸出一個球，大事表示“取到號箱”，大事表示“摸到紅球”，大事表示“摸到白球”，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對于A，，由條件概率公式，即可求解；對于B，利用大事，大事相互對立和條件概率公式，即可求解；對于C，依據(jù)條件，利用全概論公式，即可求解；對于D，利用選項C中結(jié)果，再利用貝葉斯公式，即可求解.【詳解】對于選項A，由于，所以選項A正確；對于選項B，由于大事，大事相互對立，所以，所以選項B不正確；對于選項C，由全概率公式知，所以選項C不正確；對于選項D，由選項C知則，所以選項D正確，故選：AD．【例3】有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為、、，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的、、．任取一個零件，假如取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記大事取到的零件為甲車床加工的，大事取到的零件為乙車床加工的，大事取到的零件為丙車床加工的，大事取到的零件是次品，利用貝葉斯公式可求得的值.【詳解】記大事取到的零件為甲車床加工的，大事取到的零件為乙車床加工的，大事取到的零件為丙車床加工的，大事取到的零件是次品，則，，，，，，由貝葉斯公式可得.因此，假如取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為.故選：C.【變式1】電商平臺人工智能推舉系統(tǒng)是依據(jù)用戶的喜好為用戶推送商品的．某體育用品供應(yīng)商在甲電商平臺推廣新品和，在乙電商平臺推廣新品．已知甲平臺向一用戶推送的概率為0.7，推送的概率為0.5，同時推送和的概率為0.3；乙平臺向該用戶推送的概率為0.6，且甲平臺的推送結(jié)果與乙平臺的推送結(jié)果相互不受影響．(1)在甲平臺沒有向該用戶推送的條件下，求它向該用戶推送的概率；(2)求這兩個平臺至少向該用戶推送A、B、C中的一種的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)甲平臺向該用戶推送為大事，推送為大事，則甲平臺沒有向該用戶推送為大事，應(yīng)用條件概率公式，計算可得結(jié)果；（2）應(yīng)用對立大事的性質(zhì)，可以計算這兩個平臺向該用戶不推送A、B、C中任一種的概率，用1減去可得結(jié)果.【詳解】（1）解：設(shè)甲平臺向該用戶推送為大事，推送為大事，則甲平臺沒有向該用戶推送為大事，由題設(shè)可知：，，，，又，所以，（2）設(shè)平臺向該用戶推送為大事，則這兩個平臺向該用戶至少推送A、B、C中的一種的概率為：，由于甲平臺的推送結(jié)果與乙平臺的推送結(jié)果相互不受影響，所以，由于，所以，即，所以.【變式2】小李經(jīng)常參與健身運動，他周一去健身的概率為，周二去健身的概率為，且小李周一不去健身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李周一、周二都去健身的概率為．【答案】/【分析】設(shè)“小李周一去健身”為大事A，設(shè)“小李周二去健身”為大事B，依據(jù)題意利用全概率公式可得，進(jìn)而結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“小李周一去健身”為大事A，設(shè)“小李周二去健身”為大事B，則“小李周一、周二都去健身”為大事，由題意可知：，，且，由全概率公式可知：，即，代入，可解得，所以.故答案為：.【變式3】甲乙兩人進(jìn)行投籃競賽，要求各投籃2次.已知甲乙兩人每次投中的概率分別為，，且每人每次投中與否互不影響.(1)求“甲第一次未投中，乙兩次都投中”的概率；(2)求“乙獲勝”的概率.【答案】(1)(2)【分析】(1)結(jié)合隨機(jī)大事的概率求解即可(2)結(jié)合隨機(jī)大事“乙獲勝”分為甲投中次，乙投中1次或者兩次，和甲投中1次，乙投中兩次兩種狀況結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)大事“甲第一次未投中，乙兩次都投中”為大事則（2）誰大事“乙獲勝”為大事則【題型二】離散型隨機(jī)變量及其分布【例1】（多選）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，（），則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由，求出a，依據(jù)隨機(jī)變量均值的定義，結(jié)合選項依次推斷即可.【詳解】A：由，得，故A正確；B：，故B正確；C：由選項A知，，則所以，故C正確；D：由選項A知，，則，故D錯誤.故選：ABC【例2】已知隨機(jī)變量的分布列如表-101P若，則（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】依據(jù)概率之和為1，以及方差的計算公式求解即可.【詳解】由題意得，即①，，，又由于，所以②，聯(lián)立①，②，解得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故，解得或.故選：B.【例3】已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標(biāo)號外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；乙袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球.(1)從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機(jī)變量為1號球的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)依據(jù)如下規(guī)章摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲袋，摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；其次次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個球.求其次次摸到的是3號球的概率.【答案】(1)分布列見詳解；(2)【分析】（1）分析可知隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（2）設(shè)相應(yīng)大事，依據(jù)題意可得相應(yīng)概率，利用全概率公式圓求解.【詳解】（1）由題意可知：隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，則有：，可得隨機(jī)變量的分布列為012所以隨機(jī)變量的期望.（2）記第一次從甲袋中隨機(jī)摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為大事，其次次摸到的是3號球為大事B，則，所以.【變式1】設(shè)是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為如下，則．【答案】/【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，且隨機(jī)變量取遍全部可能值時相應(yīng)的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程組即可．【詳解】由于隨機(jī)變量取遍全部可能值時相應(yīng)的概率之和等于，所以，解得或，又由于隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，所以，，解得，綜上，故答案為：##．【變式2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．(1)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；(2)設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）甲恰好比乙多擊中目標(biāo)次，包括甲恰好擊中目標(biāo)次且乙恰擊中目標(biāo)次，甲恰好擊中目標(biāo)次且乙恰擊中目標(biāo)次，依據(jù)公式得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意確定變量的全部可能取值，依據(jù)變量對應(yīng)的概率和獨立重復(fù)試驗的概率公式，寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列，做出期望值．【詳解】（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為大事A，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為大事，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為大事，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題可知X的全部可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以．【題型三】二項分布【例1】某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當(dāng)輸入的問題表達(dá)清楚時，智能客服的回答被接受的概率為，當(dāng)輸入的問題表達(dá)不清楚時，智能客服的回答被接受的概率為.已知輸入的問題表達(dá)不清楚的概率為.(1)求智能客服的回答被接受的概率；(2)在某次測試中輸入了3個問題（3個問題相互獨立），設(shè)表示智能客服的回答被接受的次數(shù).求的分布列、期望及方差.【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為，方差為.【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用全概率公式求解.（2）求出的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望的方差.【詳解】（1）設(shè)“智能客服的回答被接受”，“輸入的問題表達(dá)不清楚”，依題意，，，因此，所以智能客服的回答被接受的概率為.（2）依題意，的全部可能取值為0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望；.【例2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．(1)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；(2)設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）3次射擊中甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，分別為甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次與甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次，分別求出其概率，再相加即可；（2）甲的設(shè)計過程可看作獨立重復(fù)試驗，所以，依據(jù)二項分布即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為大事，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為大事，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為大事，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題可知X的全部可能取值為0，1，2，3，且，，所以的分布列為0123所以．【變式1】某工廠的生產(chǎn)線上的產(chǎn)品按質(zhì)量分為：一等品，二等品，三等品.質(zhì)檢員每次從生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，若抽檢消滅三等品或2件都是二等品，則需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該工廠某一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量狀況互不影響.(1)求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；(2)若質(zhì)檢員一天抽檢3次，以表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）應(yīng)用全概率公式計算求解即可；（2）先依據(jù)對立大事求概率，再結(jié)合二項分布分別求出概率及分布列進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)表示大事“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為一等品”，，表示大事“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為二等品”，，表示大事“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整”，則.由已知，所求的概率為.（2）依題意有：隨機(jī)變量的可能取值為，由（1）知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為，依題意知，則，故的分布列為：01230.7290.2430.0270.001所以：.【變式2】我們把魚在水中聚集的比較密的地方叫做魚窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚，假如找到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為；假如找不到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為.若這個人能夠找到魚窩的概率為.(1)求此人能捕到魚的概率；(2)此人連續(xù)下網(wǎng)次，每次下網(wǎng)捕魚之間相互獨立，若能捕到魚的次數(shù)為，則為何值時，次捕到魚的概率的值最大?【答案】(1)(2)或【分析】（1）依據(jù)全概率公式直接求解即可；（2）依據(jù)二項分布概率公式可表示出，接受不等式法可求得的范圍，結(jié)合最大可確定的取值.【詳解】（1）記大事為“此人能補(bǔ)到魚”，大事為“此人能找到魚窩”，則，，，.（2）由（1）知：，，假設(shè)當(dāng)時，次補(bǔ)到魚的概率最大，則，解得：，若的值最大，則，解得：，又且，或，即當(dāng)或時，次補(bǔ)到魚的概率的值最大.【題型四】超幾何分布【例1】袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從中隨機(jī)取出3個球.(1)求取出的3個球中有2個白球的概率；(2)設(shè)X表示取到的紅球個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）應(yīng)用超幾何分布的概率公式求概率即可.（2）先分別應(yīng)用超幾何分布的概率公式求出對應(yīng)概率，再寫出分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）所求概率為（2）X可能的取值為0，1，2.，.故X的分布列為012故.【變式1】（多選）從6名女生和8名男生中任選5人去陽光敬老院參與志愿服務(wù)，用表示所選5人中女生的人數(shù)，用表示所選5人中男生的人數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）備注：一般地，若一個隨機(jī)變量的分布列為，其中，則稱.A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依據(jù)超幾何分布的概念和性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，從6名女生和8名男生中任選5人，則所選5人中女生的人數(shù)和男生的人數(shù)Y聽從超幾何分布，即，所以選項A錯誤，選項B正確；又由超幾何分布的均值公式，可得:,,所以,,所以選項C，D正確.故選：BCD【變式2】一個不透亮?????的袋子中有10件外觀一樣的產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品．現(xiàn)進(jìn)行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機(jī)摸出2件產(chǎn)品，記取得次品的件數(shù)為，期望方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機(jī)摸出2件產(chǎn)品，記取到次品的件數(shù)為，期望和方差分別為，則下列推斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用超幾何分布和二項分布學(xué)問分別計算從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出2件產(chǎn)品、從中隨機(jī)地有放回摸出2件產(chǎn)品的期望、方差，再做比較可得答案．【詳解】試驗一：從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出2件產(chǎn)品，記次品的件數(shù)為，則的可能取值是0，1，2，則，，故隨機(jī)變量的概率分布列為：012則數(shù)學(xué)期望為：，方差為：；試驗二：從中隨機(jī)地有放回摸出2件產(chǎn)品，則每次摸到次品的概率為，則，故，方差為：，所以，故，．故選：A．【題型五】正態(tài)分布【例1】（多選）若隨機(jī)變量聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】依據(jù)給定條件，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)逐項計算推斷.【詳解】對于AB，由，得，A正確，B錯誤；對于CD，，則，C正確，D錯誤.故選：AC【例2】（多選）小明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；騎自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4，假設(shè)坐公交車用時和騎自行車用時都聽從正態(tài)分布，則（

）A．B．C．若某天只有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車D．若某天只有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車【答案】BD【分析】依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和大事的原則，逐項推斷即可.【詳解】由題意：，.對A：由于，，所以，故A錯誤；對B：由于，，所以，故B正確；對C：由于，，所以，所以只有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交，故C錯誤；對D：由于，，所以，所以只有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車，故D正確.故選：BD【例3】某校高三同學(xué)的?？紨?shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布，依據(jù)，，，的比例將考試成果劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個等級.若小張的數(shù)學(xué)成果為分，則他的等級是（

）附：，，.A．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．基本合格【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題得，，所以，，，，由于，，所以，依據(jù)比例成果大于分為優(yōu)秀，由于，依據(jù)比例成果在到之間的為良好，，依據(jù)比例成果在到之間的為合格，，依據(jù)比例成果小于分為基本合格，由于小張的數(shù)學(xué)成果為分，則他的等級是良好.故選：B.【變式1】已知某機(jī)械在生產(chǎn)正常的狀況下，生產(chǎn)出的產(chǎn)品的指標(biāo)參數(shù)符合正態(tài)分布.現(xiàn)從該機(jī)械生產(chǎn)出的全部產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，則這2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別在）和的概率為（

）（運算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）參考數(shù)據(jù)：若聽從正態(tài)分布，則，.A．0.57 B．0.75 C．0.80 D．0.84【答案】C【分析】由正太分布概率計算及概率乘法公式即可求解.【詳解】，，故所求概率，故選：C.【變式2】已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為．【答案】【分析】由正態(tài)分布的對稱性求得參數(shù)的值，再用基本不等式求出的最小值，即可得到答案.【詳解】由隨機(jī)變量，則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為．又由于，所以，解得．當(dāng)時，由基本不等式得，.將兩個不等式相加，就有，從而.而當(dāng)時，有.所以的最小值為．故答案為：.【變式3】（多選）隨機(jī)變是聽從正態(tài)分布，令函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A． B．是增函數(shù)C．是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AD【分析】由正態(tài)分布可求得，推斷A；易得在上是減函數(shù)，可推斷B；計算，可推斷C；證明可推斷D.【詳解】對于A，由于，所以，故A正確；對于B，，當(dāng)增大時，削減，所以在上是減函數(shù)，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，若的圖象關(guān)于點中心對稱，則，由于聽從正態(tài)分布，所以關(guān)于對稱，所以，則，故D正確.故選：AD.【題型六】一元線性、非線性回歸模型【例1】某公司收集了某商品銷售收入（單位：萬元）與相應(yīng)的廣告支出（單位：萬元）共10組數(shù)據(jù)，繪制出散點圖，如圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合．若將圖中10個點中去掉點后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法錯誤的是．

①打算系數(shù)變小

②殘差平方和變?、巯嚓P(guān)系數(shù)的值變小

④自變量與因變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮竣佗邰堋痉治觥炕貧w效果越好，則打算系數(shù)越大，相關(guān)系數(shù)的確定值越大，殘差平方和越小.【詳解】從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點后，回歸效果更好，故打算系數(shù)會變大，更接近于1；殘差平方和變??；相關(guān)系數(shù)的確定值，即會更接近于1，由圖可得與正相關(guān)，故會更接近于1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，自變量與因變量相關(guān)性變強(qiáng)，故①，③，④錯誤，②正確．故答案為：①③④．【例2】眾所周知，乒乓球被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目，包括進(jìn)攻、對抗和防守.某學(xué)校為了豐富同學(xué)的課后活動內(nèi)容，增加同學(xué)體質(zhì)，打算組織乒乓球活動社.以下是接下來7個星期(用x=1表示第1個星期，用x=2表示其次個星期，以此類推)參與活動的累計人數(shù)y(人)的統(tǒng)計數(shù)據(jù).x1234567y614203774108203(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)可以推斷y與x大致滿足回歸模型，試建立y與x的回歸方程（精確到0.01）；(2)為了更好地開展體育類型活動，學(xué)校連續(xù)調(diào)查全校同學(xué)的身高狀況.接受按比例分層抽樣抽取了男生30人，其身高的平均數(shù)和方差分別為171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均數(shù)和方差分別為161.5和27.0，試求全體同學(xué)身高的平均數(shù)和方差.參考數(shù)據(jù)：，其中；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估量公式分別為，.【答案】(1)(2)平均數(shù)為167.5，方差為42.6【分析】（1）利用對數(shù)變換將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，再依據(jù)給定的參考公式求出線性回歸方程的系數(shù)，進(jìn)而得到與的回歸方程；（2）依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，利用平均數(shù)和方差的計算公式來求解全體同學(xué)身高的平均數(shù)和方差.【詳解】（1）已知，兩邊取常用對數(shù)可得，設(shè)，，，則回歸方程變?yōu)?先計算，，，.依據(jù)參考公式，，將，，，代入可得：..則，由于，，所以，則；，則.所以與的回歸方程為.即（2）全體同學(xué)身高的平均數(shù).依據(jù)方差公式（其中為各層人數(shù)，為各層方差，為各層平均數(shù)，為總平均數(shù)）.將，，，，，，代入可得：則全體同學(xué)身高的平均數(shù)為167.5，方差為42.6.【變式1】（多選）已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)的散點落在一條直線四周，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（

）參考公式：，A．當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)；B．當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；C．，時，成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)滿足；D．，時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程滿足；【答案】ACD【分析】依據(jù)相關(guān)系數(shù)的正負(fù)、確定值大小與變量相關(guān)性之間關(guān)系可知AB正誤；依據(jù)，，代入相關(guān)系數(shù)和最小二乘法公式中，可知CD正誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)成線性正相關(guān)，A正確；對于B，當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)，時，對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，不變且，，C正確；對于D，當(dāng)，時，不變且，，D正確.故選：ACD.【變式2】某健身俱樂部爭辯會員每周熬煉時長與體重削減量的關(guān)系，隨機(jī)抽取10名會員的數(shù)據(jù)如下：會員序號12345678910總和熬煉時長（小時）342564534440體重削減量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并計算得：(1)依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)求閱歷回歸方程（結(jié)果精確到0.01）；(3)該俱樂部推廣了一項激勵措施后，發(fā)覺會員平均每周熬煉時長增加2個小時，實際觀測到的平均體重削減量增加了0.8千克.請結(jié)合回歸分析結(jié)果，推斷該回歸模型是否具有參考價值，并給出合理的解釋.(參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估量公式分別為，.參考值：)【答案】(1)答案見解析(2)；(3)答案見解析【分析】(1)利用相關(guān)系數(shù)公式直接代入數(shù)據(jù)求解即可；(2)利用公式，先求一次項系數(shù)，再利用經(jīng)過樣本中心點，可求出，從而可得回歸直線方程；(3)利用一次項系數(shù)可解釋會員平均每周熬煉時長增加2個小時，猜測平均體重削減量增加0.84千克，與實際效果相當(dāng)，說明具有參考價價.【詳解】（1）由表可知：

所以=,由于與的相關(guān)系數(shù)接近1,所以與的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由題可知：=

，所以（3）由(2)可知：依據(jù)線性回歸方程猜測，會員平均每周熬煉時長增加2個小時，猜測平均體重削減量增加0.84千克，與實際增加值0.8千克較為接近，因此實際結(jié)果與猜測結(jié)果基本全都，說明該回歸模型具有參考價值；造成肯定差異的緣由可能是由于樣本數(shù)據(jù)過少，或者造成體重削減的緣由還受其他因素影響，比如睡眠，飲食、熬煉強(qiáng)度以及效果等.【題型七】列聯(lián)表與獨立性檢驗【例1】某爭辯性學(xué)習(xí)小組針對“使用大綠書的用戶是否存在性別差異”，向個人進(jìn)行調(diào)查.用表示全部調(diào)查對象構(gòu)成的集合.以為樣本空間建立古典概型，并定義一對分類變量和如下：對于中的每一名同學(xué)，，現(xiàn)得到下表：是大綠書的用戶不是大綠書的用戶男性女性若依據(jù)的獨立性檢驗認(rèn)為（其中），則的最小值為.（參考公式：，其中）【答案】3【分析】依據(jù)題意，由的公式代入計算，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由于用大綠書APP的用戶存在性別差異，所以，即，所以的最小值為3.故答案為：【例2】為了爭辯某市高三班級同學(xué)的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三班級同學(xué)，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計低于不低于女20男50合計200(1)依據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“高三班級同學(xué)的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？(3)將樣本頻率視為概率，在全市不低于的同學(xué)中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)，(2)有，過程見解析(3)【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖即可求解頻率得解；（2）計算卡方的值，即可與臨界值比較作答；（3）依據(jù)二項分布的期望公式即可求解.【詳解】（1）由圖，低于的同學(xué)有人，則不低于170cm的同學(xué)有人.從而，；（2）零假設(shè)為：性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，計算可得依據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，因此該市高三班級同學(xué)的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián)；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數(shù)為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的同學(xué)中隨機(jī)抽取6人，其中不低于175cm的人數(shù)記為，則.【變式1】下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等.B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等.C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng).D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系.的部分臨界值如表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635【答案】A【分析】依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義可推斷A項；通過取反例可排解B項；利用相關(guān)系數(shù)的概念易排解C項；利用獨立性檢驗的規(guī)定，可推斷D結(jié)論不成立.【詳解】對于A，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差時，明顯有故A正確；對于B，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)未必相等，如都為1和都為2的兩組數(shù)據(jù)，它們的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，但它們的平均數(shù)分別為1和，故B錯誤；對于C，兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，兩個變量的相關(guān)性越弱，故C錯誤；對于D，，依據(jù)獨立性檢驗原理，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量有關(guān)系，故D錯誤.故選：A【題型八】概率、統(tǒng)計與其他學(xué)問的交匯問題【例1】數(shù)軸上的一個質(zhì)點從原點動身，每次隨機(jī)向右或向左移動1個單位長度，其中向右移動的概率為，向左移動的概率為，記質(zhì)點移動次后所在的位置對應(yīng)的實數(shù)為．(1)當(dāng)，時，質(zhì)點在哪一個位置的可能性最大，并說明理由；(2)求證：的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意利用二項分布得到，再爭辯的取值即可；（2）利用二項分布計算向右和向左移動的概率，再由期望公式計算期望，然后依據(jù)計算結(jié)果爭辯可得.【詳解】（1）當(dāng)，時，不妨設(shè)質(zhì)點向右移動次，向左移動次的概率為，此時，而，所以．當(dāng)時，，則隨著值的增大而增大；當(dāng)時，，則隨著值的增大而減?。?dāng)時，取得最大值，故質(zhì)點所在的位置對應(yīng)的實數(shù)應(yīng)為4．（2）若質(zhì)點移動次中一共向右移動次，則．所以，．若質(zhì)點移動次中一共向左移動次，則．所以，．所以，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，即．【例2】（1）數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，為常數(shù)，假如滿足，，…，，證明：.（2）證明：假如兩個大事與獨立，那么大事與也獨立.（3）設(shè)數(shù)據(jù)的均值為，方差為，請利用已經(jīng)學(xué)過的方差公式：來證明方差其次公式：；【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【分析】（1）由，運算求證明；（2）依據(jù)和互斥大事的概率加法公式，得到，再結(jié)合證明；（3）由和證明.【詳解】（1），.又，，…，，，，，.（2）由于，依據(jù)互斥大事的概率加法公式，可得，由于兩個大事與獨立，所以，所以，所以大事與也獨立.（3）依題意，，所以，.【變式1】有一項危急任務(wù)需要工作人員去完成，每次只進(jìn)入一人，且每人只進(jìn)入一次，在規(guī)定平安時間內(nèi)未完成任務(wù)則撤出，換下一個人進(jìn)入，但最多派三人執(zhí)行任務(wù)．現(xiàn)在一共有、、三個人可參與這項任務(wù)，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，，，且，，互不相等，他們?nèi)齻€人能否完成任務(wù)的大事相互獨立．(1)，，，假如依據(jù)、、的挨次先后進(jìn)入；①求任務(wù)能被完成的概率；②求所需派出入員數(shù)目的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)假定，試分析以怎樣的先后挨次派出、、三個人可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，請說明理由．【答案】(1)①；②分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)先派A，再派B，最終派C時，派出人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.【分析】（1）①依據(jù)獨立性大事乘法公式即可得到答案；②可取1，2，3，再分別計算出其對應(yīng)概率，再利用數(shù)學(xué)期望公式即可得到答案；（2）首先分析出前兩人應(yīng)從A和B中選，C最終派出，再分類爭辯作差比較兩種方案即可.【詳解】（1）①設(shè)依據(jù)A、B、C的挨次先后進(jìn)入，任務(wù)被完成為大事，則.②可取1，2，3，，，，所以其分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.（2）若依據(jù)某一指定挨次派人，A、B、C三人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，，其中，，是，，的一個排列，結(jié)合（1）②知，由，得要使X最小，前兩人應(yīng)從A和B中選，C最終派出，若先派A，再派B，最終派C，則；若先派B，再派A，最終派C，則，而，所以先派A，再派B，最終派C時，派出人員數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題其次問的關(guān)鍵是計算出期望表達(dá)式，再分析C最終派出，最終分類爭辯并比較大小即可.【變式2】某學(xué)校有、兩家餐廳，某同學(xué)每天都會在這兩家餐廳中選擇一家餐廳用晚餐.已知該同學(xué)第一天隨機(jī)選擇一家餐廳用晚餐，若在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天連續(xù)選擇餐廳的概率為；而在前一天選擇去餐廳的條件下，后一天連續(xù)選擇去餐廳的概率為，如此往復(fù).(1)求該同學(xué)第一天和其次天都選擇去餐廳用晚餐的概率；(2)求該同學(xué)其次天選擇去餐廳用晚餐的概率；(3)記該同學(xué)第天選擇去餐廳用晚餐的概率為，求的通項公式.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）記大事第天去餐廳，則，，，利用概率的乘法公式可得出的值；（2）利用對立大事的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值；（3）利用全概率公式可得出，再利用構(gòu)造法可求得的通項公式.【詳解】（1）記大事該同學(xué)第天去餐廳，則，，，由概率乘法公式可得.（2）由對立大事的概率公式可得，由全概率公式可得.（3）記大事該同學(xué)第天去餐廳，則，由題意可知，，，由全概率公式可得，即，則，所以，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，，故.易錯點：均值、方差的大小比較、最值（范圍）問題例1．當(dāng)前，以大語言模型為代表的人工智能技術(shù)正蓬勃進(jìn)展，而數(shù)學(xué)理論和方法在這些模型的研發(fā)中，發(fā)揮著重要作用．例如，當(dāng)新聞中分別消滅“7點鐘，一場大火在郊區(qū)燃起”和“7點鐘，太陽從東方升起”這兩個大事的描述時，它們供應(yīng)的“信息量”是不一樣的，前者比后者要大，會吸引人們更多關(guān)注．假設(shè)通常狀況下，它們發(fā)生的概率分別是和，用這個量來刻畫“信息量”的大小，計算可得前者約為9，后者接近于0．現(xiàn)在假設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為，，．則稱為的信息熵，用來刻畫隨機(jī)變量蘊含的信息量的大?。?1)若的分布列為，，，求的最大值；(2)證明：；(3)若，且為定值，設(shè)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析【分析】（1）寫出，再求導(dǎo)即可求出其最值；（2）轉(zhuǎn)化為證明，再作差放縮即可證明；（3）依據(jù)得到，兩邊同時求導(dǎo)