壓軸題型12平面對(duì)量?？?jí)狠S小題命題猜測(cè)平面對(duì)量的數(shù)量積、模、夾角是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，往往以選擇題或填空題的形式消滅．經(jīng)常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何、不等式等學(xué)問相結(jié)合，以工具的形式消滅．近幾年高考主要考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的最值、夾角等問題，與三角函數(shù)、解析幾何親密相連．高頻考法（1）平面對(duì)量基本定理及其應(yīng)用（2）等和線問題、極化恒等式（3）平面對(duì)量范圍與最值問題01平面對(duì)量基本定理及其應(yīng)用平面對(duì)量的應(yīng)用考向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面對(duì)量的夾角、模的問題，總的思路有：（1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．（2）基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．【典例1-1】（2025·高一·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【解析】由于是的中點(diǎn)，且，所以.由于三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.【典例1-2】（2025·四川綿陽(yáng)·三模）在半徑為的中，弦的長(zhǎng)度為，則的值為（

）A． B． C． D．與有關(guān)【答案】B【解析】取線段AB的中點(diǎn)D，得，所以.所以.故選：B【變式1-1】（2025·寧夏銀川·一模）在中，，，，是內(nèi)一點(diǎn)，，且的面積是的面積的倍，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】過作于，于，，，由于，所以，即，由于，所以為等腰三角形，又，所以為中點(diǎn)，所以，由于四邊形為矩形，所以，又，所以，所以，，由圖形可知，，則，，所以.故選：.【變式1-2】（2025·全國(guó)·二模）如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】過點(diǎn)作于，令，由，得，，由分別為的中點(diǎn)，得，，所以.故選：B【變式1-3】（多選題）（2025·河北廊坊·模擬猜測(cè)）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，故A正確，B錯(cuò)誤；由于，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.02等和線問題、極化恒等式1、等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的.②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM【典例2-1】（2025·天津和平·一模）青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民才智的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱.（i）請(qǐng)用表示；（ii）請(qǐng)寫出的取值范圍.【答案】【解析】（i）在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，為中點(diǎn)，；（ii）；當(dāng)為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)與正六邊形的邊垂直時(shí)，取得最小值；六邊形為正六邊形，為正三角形，；作，則為中點(diǎn)，；，即的取值范圍為.故答案為：；.【典例2-2】（2025·高三·云南保山·期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，所以的取值范圍是，即，又由，所以.故選：B.【變式2-1】（2025·高三·江西·開學(xué)考試）如圖，已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接、，則，又，所以，，即，所以，．故的取值范圍為．故選：C03平面對(duì)量范圍與最值問題平面對(duì)量中有關(guān)范圍最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面對(duì)量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后依據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行推斷；②“數(shù)化”，即利用平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)學(xué)問來解決．【典例3-1】（2025·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角中，斜邊，點(diǎn)在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B．8 C． D．12【答案】D【解析】如圖：以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，可設(shè)，則，所以所以.又由于，所以.故選：D【典例3-2】（2025·北京朝陽(yáng)·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.故選：B【變式3-1】（2025·江蘇揚(yáng)州·模擬猜測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，作，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，設(shè)，且，故，，故，而，.故選：C【變式3-2】（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬猜測(cè)）已知，是兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知是兩個(gè)單位向量，且，則，則，則，設(shè)分別是軸與軸正方向上的單位向量，則，，，設(shè)，則，由于，所以，故中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距離為，．故選：B．1．已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．4 B．2 C． D．5【答案】C【解析】由于，所以所以，所以.故選：C2．在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，由于，所以，所以，即.故選：A3．如圖，已知AB是圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積記為，圓的面積記為，當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，可知直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，可設(shè)，可得，則，且，由于開口向上，對(duì)稱軸為，且，可知當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且，所以.故選：A.4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，而，則，因此，由，得，則，因此，所以的取值范圍為.故選：B5．如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)稱中心為，以為圓心作半徑為1的圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：如圖所示：連接，設(shè)，連接，依題意得，，，，則，．由于，所以，（三角函數(shù)的有界性）所以．故選：C．解法二

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，過且和垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得，，，由于圓的半徑為1，所以可設(shè)，所以，，所以，又，（三角函數(shù)的有界性）所以．故選：C．解法三如圖所示：設(shè)，則．可看成是在上的投影，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)最小，最小值為，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)最大，最大值為0，故．故選：C．6．已知圓是圓心為原點(diǎn)的單位圓，是圓上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為弦的中點(diǎn)，則．由于兩點(diǎn)不重合，則直線AB與圓O相交，所以點(diǎn)在圓內(nèi).考慮點(diǎn)D為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)D，O，M三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)為，因C在圓內(nèi)，則；考慮點(diǎn)E為圓上或圓內(nèi)一點(diǎn)，如圖當(dāng)且僅當(dāng)O，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，最短為，因C在圓內(nèi)，則.綜上，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，，則.故選：D．7．已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對(duì)角線BD相切，P是圓C上的一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，過作的平行線交圓于點(diǎn)，過作，垂足為，在平行四邊形中，，，，可得，，則由余弦定理可得，由，可得，則四邊形為正方形，則，由于，則的最小值為，即的最小值為，故C正確。故選：C.8．如圖，在菱形中，，，分別為上的點(diǎn)，，．若線段上存在一點(diǎn)，使得，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，三點(diǎn)共線，，解得：，，.故選：A.9．（多選題）若平面對(duì)量滿足且，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為5C．的最小值為2D．的最大值為【答案】BD【解析】當(dāng)向量方向相同，與方向相反時(shí)，滿足，此時(shí)有最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)向量方向相同時(shí)，滿足，此時(shí)有最大值，B選項(xiàng)正確；，有，即，則，向量方向相同時(shí)，的最小值為0，的最小值為3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；向量方向相反時(shí)，的最大值為2，的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．（多選題）已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，【答案】ACD【解析】設(shè)，由，，得；由，得，，當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，如圖①，，所以，即，故A正確；由于，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為3，故C正確；當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖②，，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，即解得，所以，即，故D正確．故選：ACD.11．已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，則，又，又由于，故三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在中線上運(yùn)動(dòng)，在正三角形中，，又，，則，故.故答案為：12．如圖所示，已知滿足，為所在平面內(nèi)一點(diǎn).定義點(diǎn)集.若存在點(diǎn)，使得對(duì)任意，滿足恒成立，則的最大值為.【答案】【解析】延長(zhǎng)到滿足，取的靠近的三等分點(diǎn)，連接，如圖，，所以三點(diǎn)共線，又存在點(diǎn)，使得對(duì)任意，滿足恒成立，則的長(zhǎng)表示到直線的距離，即的邊上的高，設(shè)，由得，，公用，因此，所以，中，設(shè)，由正弦定理得，記為角，所以，，，所以，若不是鈍角，則，又，所以，即，所以，設(shè)，則，，它是減函數(shù)，所以時(shí)，，若是鈍角，則，設(shè)，則，，令，則，，時(shí)，，遞減，時(shí)，遞增，所以時(shí)，，，綜上，，此時(shí)．故答案為：3．13．已知平面對(duì)量滿足，若平面對(duì)量滿足，則的最大值為.【答案】/【解析】如圖，設(shè)，由于，所以，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，表示兩點(diǎn)間的距離，所以的最大值為.故答案為：.14．已知平面對(duì)量、、滿足：，，則的最小值為．【答案】【解析】因，由可得，即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，又由可得，不妨設(shè)，則，，于是，因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.15．已知向量滿足，與的夾角為，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為．【答案】1【解析】如圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即可得的最小值為，又與的夾角為，即，易知，所以.即的最小值為1.故答案為：116．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)、滿足且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由，則，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，可設(shè)、，由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，可得，由三角函數(shù)的定義與性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，與均為正數(shù)，此時(shí)存在最大值，由于，當(dāng)時(shí)，的最大值為，即有最大值，由于恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．17．已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為．【答案】【解析】由于，所以，，，由題意設(shè)，則，，設(shè)，如圖，由于求的最小值，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為：.18．如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在線段上，且，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則，故，故，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，此時(shí)取最小值.故答案為：．19．已知平面對(duì)量滿足：，若，則的最小值為．【答案】2【解析】由于，且，故有，所以，記，則有，從而或，即或.總之有，故，即.存在，，時(shí)條件滿足，且此時(shí)，所以的最小值是2.故答案為：2.20．設(shè)正n邊形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)依次為，若存在點(diǎn)P滿足，且，則n的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】5【解析】由題意知點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，

，當(dāng)共線且方向時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，則，則，故時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，

，當(dāng)共線且反向時(shí)，取最小值，此時(shí)共線，，，則，則當(dāng)共線且同向時(shí)，必有，故時(shí)，存在點(diǎn)P滿足，且；當(dāng)時(shí)，如圖，正七邊形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的高h(yuǎn)必大于正六邊形對(duì)邊之間的高，依此類推，故此時(shí)不存在點(diǎn)P滿足，且；故n的最小值為5，故答案為：521．已知等邊的外接圓的面積為，動(dòng)點(diǎn)在圓上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】依題意，設(shè)的外接圓的半徑為，則，故，在等邊中由正弦定理得，則；取線段的中點(diǎn)，連接，則，所以；取線段的中點(diǎn)，連接，則在線段上，且，所以，則又，故，則．故答案為：.22．已知在菱形ABCD中，，若點(diǎn)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為．【答案】．【解析】解法一：，記的交點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，則，故，又則．解法二：，如圖2所示，當(dāng)M在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)可得，即，又，所以．故答案為：23．在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若設(shè)，，則可用表示為；點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，若，則的最大值為.【答案】【解析】由，可得，則；由，可得，則，由，可得，即，整理得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為．故答案為：；．24．在中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，則；設(shè)M為平面上一點(diǎn)，且，其中，則的最小值為．【答案】4【解析】中，D是AC邊的中點(diǎn)，，，，解得，即；中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，點(diǎn)在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標(biāo)系，則有，設(shè)由，得，解得，，即，則有，，，則有時(shí)，有最小值.故答案為：4；.25．已知，如圖所示，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記，用表示；當(dāng)時(shí)．

【答案】3【解析】,由題意，為等腰三角形，則，，所以.故答案為：；326．平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，用和表示；若，則的最小值為【答案】【解析】由于，故；為等邊三角形，則，若，則D在以E為圓心的圓上且在直線AC的左側(cè)部分運(yùn)動(dòng)，方可取到最小，，易知時(shí)取得最小值，故的最小值為.故答案為：；.27．已知為的外接圓圓心，且．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為．【答案】【解析】由題可得，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，的中垂線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：由于，所以，記圓心，半徑為，所以圓的方程為，，不妨設(shè)，所以,,,由于所以，由于，所以，所以可得，將代入上式可得，①，由于，②，將①的平方