初中2024-2025學(xué)年廣東省深圳市光明實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）衢州瑩白瓷以瓷質(zhì)細(xì)膩、釉面柔和、透亮皎潔，似象牙又似羊脂白玉而名聞遐邇，被譽(yù)為瓷中珍品．如圖是衢州瑩白瓷的直口杯，它的左視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（）A．8 B．12 C．0.4 D．0.63．（3分）如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20°4．（3分）將拋物線y＝x2+2先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x﹣3）2+3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+15．（3分）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則sin∠ABE＝（）A．55 B．35 C．456．（3分）一次函數(shù)y＝ax+a與二次函數(shù)y＝ax2+ax+1的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線x=?12．對(duì)于下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠?12）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（3分）到目前為止，勾股定理的證明已超過(guò)400種，其中一種簡(jiǎn)潔易懂方法叫做“常春證法”，即利用面積分割法證得．如圖，已知△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，邊ED和CD分別與AB交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，連接CF．若△ABD的面積為7，且tan∠ECF=13，則A．52 B．3 C．103 二．填空題（每題3分，共15分）9．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．10．（3分）若二次函數(shù)y＝2x2﹣x+m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是．11．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且△AOB與△DOC的面積比是1：4，若AB＝6，則CD的長(zhǎng)為．12．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．將△ABO沿直線AB翻折得到△ABC．若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，則k13．（3分）如圖四邊形ABCD，AD=AB=BC，∠ACD=30°，cos∠BAC=217，CD=2，則AC三．解答題（共61分）14．（9分）計(jì)算：（1）2cos230°﹣tan60°cos45°；（2）8?2sin45°+2cos60°+|1?15．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形；（2）若cos∠EBF=35，BF＝5，連接CD，求16．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；（3）若點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，線段PA交x軸于點(diǎn)C，O為原點(diǎn)，△PCO的面積是△ACO的面積的5倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．17．（8分）如圖，現(xiàn)打算用60m的籬笆圍成一個(gè)“日”字形菜園ABCD（含隔離欄EF），菜園的一面靠墻MN，墻MN可利用的長(zhǎng)度為39m．（籬笆的寬度忽略不計(jì)）（1）菜園面積可能為252m2嗎？若可能，求邊長(zhǎng)AB的長(zhǎng)，若不可能，說(shuō)明理由．（2）因場(chǎng)地限制，菜園的寬度AB不能超過(guò)8m，求該菜園面積的最大值．18．（8分）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的長(zhǎng)及sin∠APC的值．19．（10分）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：高鐵建設(shè)與運(yùn)營(yíng)中的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)項(xiàng)目背景：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，高速鐵路網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)覆蓋了全國(guó)大部分地區(qū)．假設(shè)某城市計(jì)劃建設(shè)一條新的高鐵線路，以縮短與鄰近城市的旅行時(shí)間．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)在查閱相關(guān)資料的情況下，開(kāi)展了相關(guān)探究．素材一：為了保證安全，高鐵列車從靜止加速到最高速度以及從最高速度減速到停止，都需要一定的時(shí)間，假設(shè)加速度和減速度都是常數(shù)且加減速過(guò)程中，列車速度隨時(shí)間變化的關(guān)系為：v＝v0+at，其中v是最終速度，v0是初始速度，a是加速度（或減速度），t是時(shí)間．素材二：列車將保持以最高速度勻速行駛一段距離，已知列車從靜止加速到最高速度以及從最高速度減速到停止所需的路程相同，均為d千米，時(shí)間也相同，均為t秒．素材三：勻加速（即加速度不變）或勻減速過(guò)程中，在單向行駛時(shí)，路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系為：s=v0t+12at2，其中：s任務(wù)—：理解與計(jì)算（1）如果高鐵列車的最高速度v＝360千米/小時(shí)，加速度a＝0.5米/秒2，則從靜止加速到最高速度所需的時(shí)間t＝秒．（2）在（1）的條件下，列車從靜止加速到最高速度所需的最小路程d＝千米．任務(wù)二：應(yīng)用與推理（3）在（1）的條件下，假設(shè)高鐵線路全程x千米中，除去兩端的加減速路程d，列車以最高速度行駛的距離為x﹣2d，請(qǐng)直接寫出列車全程行駛的時(shí)間T的表達(dá)式．（單位：小時(shí)）任務(wù)三：設(shè)計(jì)與分析（4）假設(shè)距某站臺(tái)2千米有一輛高鐵正以180千米/小時(shí)的速度駛來(lái)，由于某人從站臺(tái)跳入軌道撿手機(jī)，列車需緊急停車，若減速度a＝﹣0.5米/秒2，列車能否安全停車？分析計(jì)算后的答案，結(jié)合現(xiàn)實(shí)，說(shuō)說(shuō)你的想法．20．（10分）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和對(duì)角線AC上，∠EDF＝45°，求證：BE=2【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和對(duì)角線AC上，∠EDF＝∠BAC，AE＝1，求CF的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖③，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和對(duì)角線AC上，tan∠EDF=34，CF＝1，DE，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫出

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市光明實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DBDDCCBD一．選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）衢州瑩白瓷以瓷質(zhì)細(xì)膩、釉面柔和、透亮皎潔，似象牙又似羊脂白玉而名聞遐邇，被譽(yù)為瓷中珍品．如圖是衢州瑩白瓷的直口杯，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)視圖的意義，從左邊看所得到的圖形即可．【解答】解：該直口杯的左視圖為：故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖．2．（3分）近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（）A．8 B．12 C．0.4 D．0.6【分析】用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【解答】解：經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的面積為20×0.6＝12．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．3．（3分）如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20°【分析】根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵sin∠C=AB∴AB＝AC?sin∠C＝200sin20°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（3分）將拋物線y＝x2+2先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x﹣3）2+3 C．y＝（x+3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+1【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：將拋物線y＝x2+2先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為y＝（x﹣3）2+2﹣1，即y＝（x﹣3）2+1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．5．（3分）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則sin∠ABE＝（）A．55 B．35 C．45【分析】設(shè)EF＝x，則AH＝3x，根據(jù)全等三角形，正方形的性質(zhì)可得AE＝4x，再根據(jù)勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)EF＝x，則AH＝3x，∵△ABE≌△DAH，四邊形EFGH為正方形，∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，∴AE＝4x，∵∠AEB＝90°，∴AB=A∴sin∠ABE=AE故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)值的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）一次函數(shù)y＝ax+a與二次函數(shù)y＝ax2+ax+1的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），排除D選項(xiàng)；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=?12，排除選項(xiàng)A；根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向和一次函數(shù)的圖象的走向，排除選項(xiàng)【解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+a，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，即一次函數(shù)y＝ax+a圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），∴選項(xiàng)D不符合題意；∵二次函數(shù)y＝ax2+ax+1，∴對(duì)稱軸為：x=?a∴故選項(xiàng)A不符合題意；∵二次函數(shù)y＝ax2+ax+1的圖象開(kāi)口向上，∴a＞0，∴當(dāng)a＞0時(shí)，一次函數(shù)y＝ax+a圖象呈上升趨勢(shì)，∴故選項(xiàng)B不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線x=?12．對(duì)于下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+c＝0；③am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠?12）；④若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（﹣2，0）以及其對(duì)稱軸，求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（1，0），利用待定系數(shù)法得到b＝a，c＝﹣2a，再根據(jù)拋物線開(kāi)口方向向下，即可判斷②正確，①錯(cuò)誤，根據(jù)am2+bm＝am2+am＝a（m+12）2?14a.14（a﹣2b）=14（a﹣2a）=?14a，a＜0，m≠?12【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?12，且拋物線與∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），把（﹣2，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：4a?2b+c=0a+b+c=0解得b=ac=?2a∴2a+c＝0，故②正確；∵拋物線開(kāi)口方向向下，∴a＜0，∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；∵am2+bm＝am2+am＝a（m+12）2?14a.14（a﹣2b）=14∴am2+bm?14（a﹣2b）＝a（m+1又∵a＜0，m≠?1∴a（m+12）即am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠?1∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1∴當(dāng)x＞?12時(shí)，y隨∵x1＞x2＞1＞?1∴y1＜y2，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．8．（3分）到目前為止，勾股定理的證明已超過(guò)400種，其中一種簡(jiǎn)潔易懂方法叫做“常春證法”，即利用面積分割法證得．如圖，已知△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，邊ED和CD分別與AB交于點(diǎn)F和點(diǎn)G，連接CF．若△ABD的面積為7，且tan∠ECF=13，則A．52 B．3 C．103 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DEC＝∠ACB＝90°，設(shè)EF＝x，CE＝3x，得到BC＝CE＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE=32x，求得AC＝DE=32x+3x=92x，根據(jù)勾股定理得到AB=AC2+BC2=3132x，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠【解答】解：∵△ABC≌△DCE，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，∵tan∠ECF=EF∴設(shè)EF＝x，CE＝3x，∴BC＝CE＝3x，∵∠DEC+∠ACB＝180°，∴DE∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴EFBC∴AE=32∴AC＝DE=32x+3x=∴DF＝DE﹣EF=72∴AB=AC∵△ABC≌△DCE，∴∠CAB＝∠CDE，∠AFE＝∠DFG，∴∠DGF＝∠AED＝90°，∵S△ACB=12AC?BC=1∴92x?3x=3132∴CG=913∵DF∥BC，∴△DFG∽△CBG，∴DFBC∴72∴DG=2113∵△ABD的面積為7，∴12AB?DG=12×3∴x=2∴FD=72x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的證明，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（每題3分，共15分）9．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：x＝0時(shí)，y＝2，所以，圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2）．故答案為（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法是解題的關(guān)鍵．10．（3分）若二次函數(shù)y＝2x2﹣x+m的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是m≤18【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2﹣x+m的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，解得m≤1即m的取值范圍為m≤1故答案為：m≤1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．11．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且△AOB與△DOC的面積比是1：4，若AB＝6，則CD的長(zhǎng)為12．【分析】根據(jù)AB∥CD，得出△AOB和△DOC相似，從而得出ABDC=1【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴S△AOB∴ABDC∵AB＝6，∴6DC∴DC＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．將△ABO沿直線AB翻折得到△ABC．若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，則k＝【分析】連接OC，交AB于E，作CD⊥x軸于D，先求得OA＝1，OB＝2，進(jìn)而求得AB=5，由翻折變換的性質(zhì)得出OC⊥AB，OE＝CE，根據(jù)三角形面積求得OE，進(jìn)而求得OC，然后通過(guò)證得△AOE∽△COD，求得OD=85，利用勾股定理求得CD，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入y=【解答】解：連接OC，交AB于E，作CD⊥x軸于D，由題意可知，OC⊥AB，OE＝CE，∵一次函數(shù)y＝﹣2x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，∴A（1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∴AB=1∵12OA?OB=12AB∴OE=1×2∴OC=4∵∠AOE＝∠COD，∠AEO＝∠CDO＝90°，∴△AOE∽△COD，∴ODOE=OC∴OD=8∴CD=O∴C（85，4∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k∴k=8故答案為：3225【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，求得D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖四邊形ABCD，AD=AB=BC，∠ACD=30°，cos∠BAC=217，CD=2，則AC＝【分析】過(guò)點(diǎn)D、B分別作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分別為E、H，設(shè)AC＝x，易得AE=x?3，根據(jù)勾股定理得出AD2=AE2+D【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D、B分別作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分別為E、H，設(shè)AC＝x，∵在Rt△CDE中，CD＝2，∠ACD＝30°，DE⊥AC，∴DE=12CD=1∴則AE=x?3在Rt△AED中，由勾股定理得：AD∵AB＝BC，BH⊥AC，∴AH=1∵cos∠BAC=AH∴(AH即(1整理得：35x解得：x1=43當(dāng)AC=453時(shí)，AC∴AC=43故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是勾股定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)的定義和等腰三角形的性質(zhì)求得AH=12AC=三．解答題（共61分）14．（9分）計(jì)算：（1）2cos230°﹣tan60°cos45°；（2）8?2sin45°+2cos60°+|1?【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可；（2）先去絕對(duì)值，計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．【解答】解：（1）原式=2×(=3?（2）原式=2=22=22【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，去絕對(duì)值，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．15．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線交BC于點(diǎn)E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形；（2）若cos∠EBF=35，BF＝5，連接CD，求【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相平分且垂直即可證明四邊形AEBF是菱形；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，得矩形AFGC，根據(jù)cos∠EBF=35，BF＝5，可得BG＝3，F(xiàn)G＝AC＝4，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D為AB邊中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵DF＝ED，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；（2）解：如圖，連接CD，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，得矩形AFGC，∵cos∠EBF=BGBF=∴BG＝3，∴FG＝AC＝4，∵四邊形AEBF是菱形，∴CG＝AF＝BF＝5，∴BC＝CG+BG＝5+3＝8，∴AB=AC2∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝2∴CD的長(zhǎng)為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．16．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；（3）若點(diǎn)P是二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，線段PA交x軸于點(diǎn)C，O為原點(diǎn)，△PCO的面積是△ACO的面積的5倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，20）或（6，20）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象；（3）設(shè)P（t，t2﹣2t﹣4），利用三角形面積公式可得到P點(diǎn)到x軸的距離等于A點(diǎn)到x軸的5倍，則t2﹣2t﹣4＝20，然后解方程可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（﹣1，﹣1）分別代入y＝x2+bx+c得c=?41?b+c=?1解得b=?2c=?4∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣4；（2）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣5）；如圖，（3）設(shè)P（t，t2﹣2t﹣4），∵△PCO的面積是△ACO的面積的5倍，∴P點(diǎn)到x軸的距離等于A點(diǎn)到x軸的5倍，∴t2﹣2t﹣4＝20，解得t1＝﹣4，t2＝6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，20）或（6，20）．故答案為：（﹣4，20）或（6，20）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法個(gè)求二次函數(shù)解析式．17．（8分）如圖，現(xiàn)打算用60m的籬笆圍成一個(gè)“日”字形菜園ABCD（含隔離欄EF），菜園的一面靠墻MN，墻MN可利用的長(zhǎng)度為39m．（籬笆的寬度忽略不計(jì)）（1）菜園面積可能為252m2嗎？若可能，求邊長(zhǎng)AB的長(zhǎng)，若不可能，說(shuō)明理由．（2）因場(chǎng)地限制，菜園的寬度AB不能超過(guò)8m，求該菜園面積的最大值．【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為xm，則BC的長(zhǎng)為（60﹣3x）m，根據(jù)矩形的面積＝252列出方程，解方程取符合題意的值即可；（2）設(shè)AB的長(zhǎng)為xm，菜園面積為ym2，根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：（1）設(shè)AB的長(zhǎng)為xm，則BC的長(zhǎng)為（60﹣3x）m，根據(jù)題意得：x（60﹣3x）＝252，解得x＝6或x＝14，當(dāng)x＝6時(shí)，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去；當(dāng)x＝14時(shí)，BC＝60﹣42＝18＜39，滿足題意，∴花園面積可能是252m2，此時(shí)邊AB長(zhǎng)為14m；（2）設(shè)AB的長(zhǎng)為xm，菜園面積為ym2，由題意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＜10時(shí)，y隨x的增大而增大，∵x≤8，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y最大，最大值為288．答：該菜園面積的最大值為288平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出方程和解析式．18．（8分）中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的長(zhǎng)及sin∠APC的值．【分析】（1）根據(jù)題意先求解CE＝PE＝1m，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；（2）利用勾股定理先求解CP=2m，過(guò)C作CH⊥AP于H，結(jié)合tanα=tan∠PAE=CHAH=14，設(shè)CH＝xm，則AH【解答】解：（1）由題意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．∴CE＝PE．∴β＝∠PCE＝45°；tanα=tan∠PAE=PE（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，∴CP=1如圖，過(guò)C作CH⊥AP于H，∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，設(shè)CH＝xm，則AH∴x2+（4x）2＝AC2＝9．∴x=3∴CH=3∴sin∠APC=CH【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．19．（10分）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：高鐵建設(shè)與運(yùn)營(yíng)中的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)項(xiàng)目背景：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，高速鐵路網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)覆蓋了全國(guó)大部分地區(qū)．假設(shè)某城市計(jì)劃建設(shè)一條新的高鐵線路，以縮短與鄰近城市的旅行時(shí)間．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)在查閱相關(guān)資料的情況下，開(kāi)展了相關(guān)探究．素材一：為了保證安全，高鐵列車從靜止加速到最高速度以及從最高速度減速到停止，都需要一定的時(shí)間，假設(shè)加速度和減速度都是常數(shù)且加減速過(guò)程中，列車速度隨時(shí)間變化的關(guān)系為：v＝v0+at，其中v是最終速度，v0是初始速度，a是加速度（或減速度），t是時(shí)間．素材二：列車將保持以最高速度勻速行駛一段距離，已知列車從靜止加速到最高速度以及從最高速度減速到停止所需的路程相同，均為d千米，時(shí)間也相同，均為t秒．素材三：勻加速（即加速度不變）或勻減速過(guò)程中，在單向行駛時(shí)，路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系為：s=v0t+12at2，其中：s任務(wù)—：理解與計(jì)算（1）如果高鐵列車的最高速度v＝360千米/小時(shí)，加速度a＝0.5米/秒2，則從靜止加速到最高速度所需的時(shí)間t＝200秒．（2）在（1）的條件下，列車從靜止加速到最高速度所需的最小路程d＝10千米．任務(wù)二：應(yīng)用與推理（3）在（1）的條件下，假設(shè)高鐵線路全程x千米中，除去兩端的加減速路程d，列車以最高速度行駛的距離為x﹣2d，請(qǐng)直接寫出列車全程行駛的時(shí)間T的表達(dá)式．（單位：小時(shí)）任務(wù)三：設(shè)計(jì)與分析（4）假設(shè)距某站臺(tái)2千米有一輛高鐵正以180千米/小時(shí)的速度駛來(lái)，由于某人從站臺(tái)跳入軌道撿手機(jī)，列車需緊急停車，若減速度a＝﹣0.5米/秒2，列車能否安全停車？分析計(jì)算后的答案，結(jié)合現(xiàn)實(shí)，說(shuō)說(shuō)你的想法．【分析】（1）根據(jù)素材一得t=v?（2）根據(jù)素材三和素材二，將數(shù)據(jù)代入s=v0t+12（3）根據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”建立函數(shù)關(guān)系式即可；（4）求出安全停車的路程，再與2千米比較即可．【解答】解：（1）根據(jù)題中所給的信息可得：v＝v0+at，變形可得：t=v?∵v0＝0，v＝360千米/小時(shí)＝100米/秒，a＝0.5米/秒2，∴t=100?0故答案為：200；（2）由（1）知：v0＝0，t＝200，a＝0.5，∴s=v∵10000米＝10千米，∴列車從靜止加速到最高速度所需的最小路程d＝10千米，故答案為：10；（3）∵加速和減速時(shí)間都是t秒且加減速路程都是d千米，∴加速和減速的總時(shí)間為2t＝400秒=1∴勻速行駛的時(shí)間為(T?19)∴T?1∴T=x∴列車全程行駛的時(shí)間T的表達(dá)式為T=x（4）∵v＝0，v0＝180千米/小時(shí)＝50米/秒，a＝﹣0.5米/秒2，∴t=0?50∴s=v∵2.5千米＞2千米，∴列車不能安全停車．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，正解理解題意，確定各數(shù)量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（10分）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊