湖南省醴陵兩中學2026屆數(shù)學高一上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（）A. B.C. D.2．下列命題是全稱量詞命題，且是真命題的為（）A.有些四邊形的內(nèi)角和不等于360° B.，C.， D.所有能被4整除的數(shù)都是偶數(shù)3．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（）A. B.或C.或 D.或4．直線的斜率為，在y軸上的截距為b，則有（）A. B.C. D.5．的值為（）A. B.1C. D.26．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向右平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向左平移個單位7．已知中，，，點M是線段BC（含端點）上的一點，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=﹣x+1，則當x＜0時，f（x）等于（）A.﹣x+1 B.﹣x﹣1C.x+1 D.x﹣19．若方程則其解得個數(shù)為（）A.3 B.4C.6 D.510．已知實數(shù)滿足,那么的最小值為(

)A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)零點的個數(shù)為______.12．設(shè)函數(shù)，則____________13．函數(shù)的圖象恒過定點,點在冪函數(shù)的圖象上,則=____________14．已知函數(shù)，為偶函數(shù)，則______15．已知為三角形的邊的中點，點滿足，則實數(shù)的值為_______16．函數(shù)的零點個數(shù)是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）確定的解析式（2）判斷在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）解關(guān)于的不等式18．已知函數(shù)的圖象如圖（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫降膱D象，且關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍19．如圖，已知四棱柱的底面是菱形，側(cè)棱底面，是的中點，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.20．在中，角A，B，C為三個內(nèi)角，已知，.（1）求的值；（2）若，D為AB的中點，求CD的長及的面積.21．對于定義在上的函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，那么稱是函數(shù)的一個不動點．已知（1）當時，求的不動點；（2）若函數(shù)有兩個不動點，，且①求實數(shù)的取值范圍；②設(shè)，求證在上至少有兩個不動點

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】推導出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象交點橫坐標之和，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得，則函數(shù)在區(qū)間上的零點之和為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖象交點橫坐標之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個函數(shù)的四個交點有兩對關(guān)于點對稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點之和，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性來求解是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.2、D【解析】根據(jù)定義分析判斷即可.【詳解】A和C都是存在量詞命題，B是全稱量詞命題，但其是假命題，如時，，D選項為全稱命題且為真命題故選：D.3、B【解析】由已知和偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為，再由其單調(diào)性可得，解不等式可得答案【詳解】因為，則，所以，因為為偶函數(shù)，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以不等式的解集為或，故選：B4、A【解析】將直線方程化為斜截式，由此求得正確答案.【詳解】，所以.故選：A5、B【解析】根據(jù)正切的差角公式逆用可得答案【詳解】，故選：B6、D【解析】因為，所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位，選D.考點：三角函數(shù)圖像變換【易錯點睛】對y＝Asin（ωx＋φ）進行圖象變換時應注意以下兩點：（1）平移變換時，x變?yōu)閤±a（a＞0），變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；（2）伸縮變換時，x變?yōu)椋M坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍），變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin（x＋φ）7、D【解析】如圖所示，建立直角坐標系，則，，，．利用向量的坐標運算可得．再利用數(shù)量積運算，可得．利用數(shù)量積性質(zhì)可得，可得．再利用，，可得，即可得出【詳解】如圖所示，建立直角坐標系則，，，，，及四邊形為矩形，，，．即點在直線上，，，，，，即（當且僅當或時取等號），綜上可得：故選：【點睛】本題考查了向量的坐標運算、數(shù)量積運算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題8、B【解析】當x＜0時，,選B.點睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.9、C【解析】分別畫出和的圖像，即可得出.【詳解】方程，即，令，，易知它們都是偶函數(shù)，分別畫出它們的圖像，由圖可知它們有個交點.故選：.【點睛】本題主要考查的是函數(shù)零點，利用數(shù)型結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，同時考查偶函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10、A【解析】表示直線上的點到原點的距離，利用點到直線的距離公式求得最小值.【詳解】依題意可知表示直線上的點到原點的距離，故原點到直線的距離為最小值，即最小值為，故選A.【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】將函數(shù)的零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點個數(shù)，在同一直角坐標系中畫出圖象即可得答案.【詳解】解：令，這，則函數(shù)的零點的個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，如圖：由圖象可知，與的圖象的交點個數(shù)為2個，即函數(shù)的零點的個數(shù)為2.故答案為：2.【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，考查學生的作圖能力和轉(zhuǎn)化能力，是基礎(chǔ)題.12、2【解析】利用分段函數(shù)由里及外逐步求解函數(shù)的值即可.【詳解】解：由已知，所以，故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力.13、【解析】因為函數(shù)圖象恒過定點，則可之令2x-3=1,x=2,函數(shù)值為4，故過定點（2，4），然后根據(jù)且點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè),故可知=9，故答案為9.考點：對數(shù)函數(shù)點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象過定點（1，0），即令真數(shù)為1求對應的x和y，則是所求函數(shù)過定點的坐標14、4【解析】利用二次函數(shù)為偶函數(shù)的性質(zhì)得一次項系數(shù)為0，定義域關(guān)于原點對稱，即可求得的值.【詳解】由題意得：解得：故答案為：.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意隱含條件的挖掘.15、【解析】根據(jù)向量減法的幾何意義及向量的數(shù)乘便可由得出,再由D為△ABC的邊BC的中點及向量加法的平行四邊形法則即可得出點D為AP的中點，從而便可得出，這樣便可得出λ的值【詳解】=,所以，D為△ABC的邊BC中點，∴∴如圖，D為AP的中點；∴,又，所以-2.故答案為-2.【點睛】本題考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，及向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，屬于中檔題.16、3【解析】令f(x)＝0求解即可.【詳解】，方程有三個解，故f(x)有三個零點.故答案為：3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】（1）根據(jù)奇偶性的定義與性質(zhì)求解（2）由函數(shù)的單調(diào)性的定義證明（3）由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式后再求解【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解可得；又由，則有，解可得；則【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，在區(qū)間上為增函數(shù)；證明：設(shè)，則又由，則，，，，則，即則函數(shù)在上為增函數(shù).【小問3詳解】由（1）（2）知為奇函數(shù)且在上為增函數(shù).，解可得：，即不等式的解集為.18、（1）（2）【解析】（1）由函數(shù)圖象先求出，，進而求出，代入一個特殊點求出的值；（2）先求出圖象變換后的解析式，再求出在的取值范圍，進而求出的取值范圍.【小問1詳解】由圖象最高點函數(shù)值為1，最低點函數(shù)值為，且，可知，函數(shù)最小正周期，所以，因為，所以，故，將點代入，可得：，因為，所以，所以.【小問2詳解】由圖象變換得：，當時，，，關(guān)于的方程有解，則.19、（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點，連接，，可證明四邊形是平行四邊形，從而，再由線面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂線，即可作出線面角，求出相關(guān)線段的長度即可求解.試題解析：（1）連接交于點，連接，，∵為菱形，∴點在上，且，又∵，故四邊形是平行四邊形，則，∴平面；（2）由于為菱形，∴，又∵是直四棱柱，∴，平面，∴平面平面，過點作平面和平面交線的垂線，垂足為，得平面，連接，則是直線平面所成的角，設(shè)，∵是菱形且，則，，在中，由，，得，在中，由，，得，∴.考點：1.線面平行的判定；2.線面角的求解.20、（1）.（2），的面積.【解析】(1)由可求出,再利用展開即可得出答案;(2)由正弦定理可得,解出,再結(jié)合(1)可得,則,從而求出,然后由余弦定理解出,故在中利用余弦定理可得,最后求出的面積即可.【詳解】(1),,,;(2)由正弦定理可得,解得,由(1)可得:,,,,,又由余弦定理可得:,解得,在中,,,的面積.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的和差公式以及正、余弦定理的應用,考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,需要學生具備一定的推理與計算能力,屬于中檔題.21、（1）的不動點為和；（2）①，②證明見解析.【解析】（1）當時，函數(shù)，令，即可求解；（2）①由題意，得到的兩個實數(shù)根為，，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式即可求解；②把可化為，設(shè)的兩個實數(shù)根為，，根據(jù)是方程的實數(shù)根，得出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當時，函數(shù)，方程可化為，解得或，所以的不動點為和（2）①因為函數(shù)有兩個不動點，，所以方程，即的兩個實數(shù)根為，，記，則的零點為和，因為，所以，即，解得.所以實數(shù)的取值范圍為②因為方程可化為，即因為，，所以有兩個不相等的實數(shù)根設(shè)的兩個實數(shù)根為，，不妨設(shè)因為函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且，，，所以記，因為，且，所以是方程的實數(shù)根，所以1是的一個不動點，，因為，所以，，且的圖象在上的