目錄第4章

留數(shù)定理及應(yīng)用

4.1留數(shù)定理4.2留數(shù)的計(jì)算方法4.3留數(shù)定理的應(yīng)用4.4補(bǔ)充內(nèi)容第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用4.1留數(shù)定理4.1留數(shù)定理

現(xiàn)在以z0

為圓心，作一個(gè)圓周線c，并將上式兩邊沿著c積分，則有利用積分公式(2.1-8)則有4.1留數(shù)定理可見，在洛朗級數(shù)展開式中，系數(shù)a-1

具有獨(dú)特的地位，它直接與函數(shù)

f(z)沿回路c的積分有關(guān)。因此，專門給a-1

起了個(gè)名字，稱為函數(shù)

f(z)在z0

的留數(shù)(Residue)，通常記為a-1

=Resf(z0)，則留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)

f(z)在閉合圍道c內(nèi)除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1，z2，…，zn

外單值解析，而且在c上沒有奇點(diǎn)，則有其中Resf(zk)是函數(shù)

f(z)在第k個(gè)孤立奇點(diǎn)zk

處的留數(shù)。證明：以zk

為圓心，作小的圓周ck(k=1，2，…，n)，使得這些小圓均位于閉合圍道c內(nèi)，且彼此相互隔離，如圖4-1所示。這樣由復(fù)連通區(qū)域中的柯西定理，則有然后，把

f(z)展開成洛朗級數(shù)，并利用式(4.1-4)，即可以得到留數(shù)定理。4.2留數(shù)的計(jì)算方法4.2留數(shù)的計(jì)算方法由留數(shù)定理可以看出，計(jì)算函數(shù)

f(z)沿著閉合圍道c的積分，可以歸結(jié)為計(jì)算留數(shù)Resf(zk)的問題。原則上講，只要將函數(shù)

f(z)在以奇點(diǎn)zk

為圓心的環(huán)形區(qū)域上展開成洛朗級數(shù)，并取該級數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)a-1就行了。但是，如果能夠不對函數(shù)

f(z)進(jìn)行洛朗級數(shù)展開而直接計(jì)算出留數(shù)，那將使計(jì)算積分的工作量減輕很多。下面介紹計(jì)算留數(shù)的方法。1.一階極點(diǎn)的情況假設(shè)函數(shù)

f(z)在所考慮的區(qū)域D

內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)z0，且是一階的，則它在z0

點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展開式為將上式兩邊乘以(z-z0)，然后令z

→z0，則可以得到這就是計(jì)算一階極點(diǎn)的留數(shù)的基本公式。若函數(shù)

f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)及Q(z)都在z0

點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析，且z0

是Q(z)的一階零點(diǎn)及P(z0)≠0，則有其中用到了Q(z)在z0

點(diǎn)的泰勒展開式2.m

階極點(diǎn)的情況(m

≥2)假設(shè)函數(shù)

f(z)在所考慮的區(qū)域D

內(nèi)有一個(gè)m

階極點(diǎn)z0，則它在z0

點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展開式為其中a-m≠0。將上式兩邊同乘以(z-z0)m，則可以得到然后，求導(dǎo)(m-1)次，有最后，令z

→z0，則可以得到留數(shù)為這就是求m

階極點(diǎn)的留數(shù)的基本公式。顯然，當(dāng)m=1時(shí)，式(4.2-3)即退化為一階極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算公式(4.2-1)。

2.m

階極點(diǎn)的情況(m

≥2)

解：可以將被積函數(shù)的分母寫為εz2+2z+ε=ε(z-z1)(z-z2)，其中

解：可以看出，該函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為三階極點(diǎn)z=0和一階極點(diǎn)z=i，它們對應(yīng)的留數(shù)分別為2.m

階極點(diǎn)的情況(m

≥2)2.m

階極點(diǎn)的情況(m

≥2)

故該函數(shù)沿著單位圓周的積分為可以看出，利用留數(shù)定理來計(jì)算一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿著一個(gè)閉合圍道的積分，其基本步驟如下：(1)首先確定被積函數(shù)在這個(gè)閉合圍道內(nèi)的所有極點(diǎn)，并判斷每個(gè)極點(diǎn)的階數(shù)：(2)利用計(jì)算留數(shù)的公式，計(jì)算出被積函數(shù)在該極點(diǎn)的留數(shù)：(3)最后，利用留數(shù)定理，即可確定出該積分的值。4.3留數(shù)定理的應(yīng)用4.3留數(shù)定理的應(yīng)用

類型一

有理三角函數(shù)積分其中被積函數(shù)是cosθ

或sinθ

的有理函數(shù)，且在0，2π內(nèi)連續(xù)。作積分變量代換z=eiθ，則有

當(dāng)有理函數(shù)在單位圓周c內(nèi)有n

個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)zk

k=1，2，…，n，則由留數(shù)定理有

解：令z=eiθ，則有

解：令z=eiθ，則有

類型一

有理三角函數(shù)積分

解：首先利用三角函數(shù)公式cos2θ=1-2sin2θ，可以把該積分轉(zhuǎn)化成然后令z=eiθ，則有其中類型一

有理三角函數(shù)積分類型一

有理三角函數(shù)積分由于z1

不在單位圓內(nèi)，所以由留數(shù)定理有由以上討論可以看出，對于利用留數(shù)定理計(jì)算這種有理三角函數(shù)的積分，其基本步驟為：(1)通過變量替代z=eiθ，把原來的積分(積分區(qū)間從0到2π)轉(zhuǎn)化成沿著復(fù)平面上一個(gè)單位圓的積分，其中圓心位于原點(diǎn)：(2)找出被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的所有極點(diǎn)，并判斷每個(gè)極點(diǎn)的階：(3)根據(jù)計(jì)算留數(shù)的公式，計(jì)算出被積函數(shù)在每個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)：(4)最后，根據(jù)留數(shù)定理，就可以得到積分結(jié)果。類型二

無窮積分其中：①

與實(shí)變函數(shù)

f(x)相對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)

f(x)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的：②

在實(shí)軸及上半平面上，當(dāng)|z|→∞時(shí)，有|zf(z)|→0。要想利用留數(shù)定理計(jì)算上面的積分，首先需要進(jìn)行如下操作：(1)設(shè)R為一無限大的正常數(shù)，則可以將積分[式(4.3-5)]寫成(2)以R

為半徑，在上半平面作一個(gè)半圓形回路，其中半圓周為cR，圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，見圖4-2。這樣則有類型二

無窮積分(3)由于當(dāng)|z|→∞時(shí)，|zf(z)|→0，則則有其中|

上半平面

為函數(shù)

f(z)在上半平面的留數(shù)之和。說明：(1)如果函數(shù)

f(z)在下半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析，則也可以用下半平面的留數(shù)定理來計(jì)算積分[式(4.3-5)]，其積分結(jié)果與式(4.3-6)的右邊相似，但相差一個(gè)負(fù)號(hào)。(2)當(dāng)

f(x)是x

的偶函數(shù)時(shí)，則有

則由留數(shù)定理，有類型二

無窮積分

則由留數(shù)定理有類型二

無窮積分對于利用留數(shù)定理計(jì)算這種無窮積分，其基本步驟如下：(1)對原有的積分路徑進(jìn)行補(bǔ)充，使之變成一個(gè)閉合的圍道，如上半平面或下半平面的半圓：(2)確定被積函數(shù)在上半平面(或下半平面)上的所有極點(diǎn)和極點(diǎn)的階數(shù)，并計(jì)算出相應(yīng)的留數(shù)：(3)根據(jù)留數(shù)定理，即可以得到積分的值。類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分其中：①m

為大于零的實(shí)數(shù)：②

與

f(x)對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)f(z)在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析：③

在實(shí)軸及上半平面上，當(dāng)|z|→∞時(shí)，有|f(z)|→0。為了完成上面的積分計(jì)算，需要引入一個(gè)重要的引理，即約當(dāng)引理：設(shè)當(dāng)|z|→∞時(shí)，函數(shù)

f(z)在上半平面及實(shí)軸上一致趨于零，則其中m>0，cR

是以z=0為圓心、以R

為半徑的半圓周，位于上半平面。證明：在，cR

上，設(shè)z=Reiθ，則類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分取R

足夠大，使得f(Reiθ)<ε，其中ε

為任意小的正數(shù)，則

可見，當(dāng)R

→∞時(shí)，上式的結(jié)果趨于零，這就證明了約當(dāng)引理。下面利用約當(dāng)引理及留數(shù)定理完成式(4.3-8)的積分。在上半平面上，以零點(diǎn)為圓心，以R為半徑作一個(gè)半圓，對應(yīng)的半圓周為cR，則有

由公式(4.3-11)，可以得到類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分由約當(dāng)引理，顯然當(dāng)R→∞時(shí)，上式右邊的第二項(xiàng)的積分結(jié)果為零。再根據(jù)留數(shù)定理，有特別地，當(dāng)

f(x)為偶函數(shù)時(shí)，則有而當(dāng)

f(x)為奇函數(shù)時(shí)，則有

再由公式(4.3-12)，可以得到類型三

含有三角函數(shù)的無窮積分關(guān)于利用留數(shù)定理計(jì)算這種含有三角函數(shù)的無窮積分，其基本步驟如同前面的類型二，這里不再重復(fù)。4.4補(bǔ)充內(nèi)容1.實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情況在前面介紹的三類積分問題中，都要求被積函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，但在一些實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到被積函數(shù)在實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形。下面介紹如何利用留數(shù)定理來計(jì)算這類積分。考慮如下積分其中

f(x)除了在實(shí)軸上有一個(gè)奇點(diǎn)x=b

外，它滿足類型二的條件。為了完成這類積分的計(jì)算，需要作如下操作：以z=b

為圓心，以無限小的正數(shù)ε為半徑作一個(gè)小的半圓周cε：以z=0為圓心，以充分大的R為半徑作一個(gè)大的半圓周cR

。這樣由cR

、cε

及實(shí)軸[-R，R]構(gòu)成了一個(gè)閉合圍道c，見圖4-3。這樣有1.實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情況

其中P(z-b)是洛朗級數(shù)的解析部分，它在cε

上有界，即這樣有1.實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情況

注意：由于cε的方向是順時(shí)針的，故上式的積分結(jié)果為負(fù)。根據(jù)以上結(jié)果，最后可以得到

解：可以將該積分改寫為可見，被積函數(shù)

f(z)=1/z在實(shí)軸上有一階極點(diǎn)z=0，而在上半平面上沒有極點(diǎn)，因此有即這是一個(gè)很重要的積分結(jié)果，在物理學(xué)中十分有用。1.實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情況2.菲涅耳積分在研究光學(xué)衍射問題時(shí)，會(huì)遇到如下兩種菲涅耳積分

令R

→∞，則上式左邊第一項(xiàng)的積分為2.菲涅耳積分

在輻角為π/4的射線l上，