目錄第11章

格林函數(shù)法11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法11.3求解格林函數(shù)的電像法第2篇

數(shù)學(xué)物理方程11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法11.1三維無界區(qū)域中的

格林函數(shù)法11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法首先以三維無界區(qū)域中的泊松方程的定解問題為例。對于一個連續(xù)電荷分布體，其電荷密度為ρ(r)，它在三維無界區(qū)域中產(chǎn)生的電勢u(r)滿足泊松方程下面我們用格林函數(shù)的概念來確定方程(11.1-1)的解。借助于格林函數(shù)的概念，可以把方程(11.1-1)的解表示為其中G(r，r')為所對應(yīng)的格林函數(shù)。將式(11.1-2)代入方程(11.1-1)，可以得到格林函數(shù)G(r，r')所滿足的方程可見，方程(11.1-3)就是一個單位電荷的點源所滿足的泊松方程。下面確定格林函數(shù)G(r，r')的形式。為了討論方便，暫時用

r來取代r-r'，這樣方程(11.1-3)變?yōu)榻柚谌S傅里葉積分變換以及三維空間的δ

函數(shù)的定義11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法由方程(11.1-4)可以得到然后再進(jìn)行反演，則有

11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法把式(11.1-9)代入式(11.1-2)，可以得到這與由通常的疊加原理得到的結(jié)果是一致的。下面再利用格林函數(shù)的方法求解三維無界區(qū)域中波動方程的定解問題為了便于討論，我們令其中u1(r，t)和u2(r，t)分別滿足如下方程11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法及首先用格林函數(shù)法求解方程(11.1-13)。令其中G1(r，r'，t)是點源的瞬時格林函數(shù)。

將式(11.1-15)代入式(11.1-13)，可以得到G1(r，r'，t)所滿足的方程為在如下討論中，與前面的做法一樣，暫時用r來取代方程(11.1-16)中的r-r'。根據(jù)三維傅里葉積分變換及δ

函數(shù)的定義，可以把方程(11.1-16)變?yōu)?1.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法由此，可以得到然后再進(jìn)行反演，有11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法但考慮到a>0及t>0，有δ(r+at)=0，因此有這樣方程(11.1-13)的解為它表示一個位于r'處的點源在t

時刻后在r點產(chǎn)生的場。

將式(11.1-19)代入式(11.1-15)，可以得到泛定方程(11.1-13)的解為類似地，令將其代入式(11.1-14)，可以得到11.1三維無界區(qū)域中的格林函數(shù)法同樣，對式(11.1-22)先進(jìn)行傅里葉積分變換，然后再進(jìn)行反演，有把式(11.1-23)代入式(11.1-21)，可以得到分別把式(11.1-20)和式(11.1-24)代入式(11.1-12)，則可以得到泛定方程(11.1-11)的解為這就是

§10.1節(jié)中得到的泊松公式。11.2三維有界區(qū)域中的

格林函數(shù)法11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法從上一節(jié)的討論可以看出，對于三維無界區(qū)域，格林函數(shù)的形式較為簡單，可以直接由格林函數(shù)所滿足的方程確定出來。然而，對于有界區(qū)域，一個點源產(chǎn)生的場不僅與對應(yīng)的方程有關(guān)，還要受到邊界條件或初始條件的影響，而且這些影響的本身也是待定的。因此，在這種情況下，格林函數(shù)的形式要復(fù)雜得多。本節(jié)僅以泊松方程為例，討論三維有界區(qū)域中求解泛定方程的格林函數(shù)法。在三維空間中，泊松方程的一般形式為其中D

為所考慮的區(qū)域，ρ(r)為已知的源函數(shù)。此外，方程(11.2-1)的解還要受到如下邊界條件

11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法分別將G(r，r')乘以方程(11.2-1)的兩邊和將u(r)乘以方程(11.2-3)的兩邊，然后將二者相減，并在所考慮的區(qū)域D

內(nèi)積分，則有其中V

是區(qū)域D

所包含的體積。根據(jù)格林第二公式可以把式(11.2-4)的左邊的體積分轉(zhuǎn)化為面積分，這樣可以得到將上式中的r及r'對調(diào)，并利用格林函數(shù)的對稱性11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法則可以把式(11.2-6)改寫為這就是泊松方程的積分公式，其中n'為沿著表面的法線方向。上式右邊的第一項和第二項分別來自于源函數(shù)ρ(r')和邊界效應(yīng)的貢獻(xiàn)

(1)第一類邊界條件，即勢場u(r)在邊界上滿足如下條件在這種情況下，如果要求格林函數(shù)G(r，r')滿足第一類齊次邊界條件11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法則式(11.2-8)變?yōu)檫@時格林函數(shù)G(r，r')由方程(11.2-3)和邊界條件(11.2-10)來確定。(2)第三類邊界條件，即勢場u(r)在邊界上滿足式(11.2-2)，其中α

和β都不為零。這時，可以令G(r，r')滿足第三類齊次邊界條件，即分別將G(r，r')乘以式(11.2-2)的兩邊和將u(r)乘以式(11.2-12)的兩邊，并相減，可以得到將式(11.2-13)代入式(11.2-8)的右邊第二項，則可以得到這時格林函數(shù)G(r，r')由方程(11.2-3)和邊界條件(11.2-12)來確定。11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法(3)第二類邊界條件，即勢場u(r)在邊界上滿足如下條件如果認(rèn)為格林函數(shù)滿足第二類齊次邊界條件，即則有表面上看，這樣做是沒有什么問題的。

但實際上，在邊界條件(11.2-16)下泛定方程(11.2-3)的定解是不存在的。為了更清楚地理解這個問題，可以對方程(11.2-3)兩邊進(jìn)行積分，有11.2三維有界區(qū)域中的格林函數(shù)法可以將上式左邊轉(zhuǎn)化成面積分顯然，上式與邊界條件(11.2-16)矛盾。為了消除這種矛盾，需要對方程(11.2-3)進(jìn)行修改，在其右面引進(jìn)一個恒定的“吸收”項，即由此可以看出，對于上述三類邊界條件，一旦確定出格林函數(shù)G(r，r')，就可以知道勢場u(r)的空間分布。11.3求解格林函數(shù)的電像法11.3求解格林函數(shù)的電像法本節(jié)僅以第一類邊界條件為例，采用電像法來確定格林函數(shù)。

這時對應(yīng)的定解問題是假設(shè)所考慮的區(qū)域為一個半徑為a的導(dǎo)體球，則方程(11.3-1)所對應(yīng)的物理問題為:在導(dǎo)體球內(nèi)r'點放置一個電量為1的單位點電荷，當(dāng)球面接地時，求該點電荷在球內(nèi)所產(chǎn)生的電勢分布。由電磁學(xué)理論可以知道，在一個接地的導(dǎo)體球內(nèi)放置一個點電荷時，將在球面上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，球內(nèi)任意一點的電勢為該點電荷所產(chǎn)生的勢和球面感應(yīng)電荷產(chǎn)生的勢之和。因此，泛定方程(11.3-1)的解為其中G0

是不考慮球面邊界存在時位于r'點的點電荷所產(chǎn)生的勢，G1

是球面上感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的勢。由上一節(jié)的討論可知，G0

滿足如下方程在三維無界空間中，其解為這樣可以得到G1

滿足的方程為11.3求解格林函數(shù)的電像法下面采用電像法來確定G1

的形式。

電像法的基本思想是:用一個假想的等效點電荷來代替表面上的感應(yīng)電荷，其電量為q，使得原有的點電荷在表面上產(chǎn)生的勢與假想的點電荷在表面上產(chǎn)生的勢之和為零。

很顯然，等效電荷不能位于球內(nèi)，因為感應(yīng)電荷產(chǎn)生的勢要滿足方程(11.3-5)，即球內(nèi)是無源的。

假設(shè)原有的點電荷位于球內(nèi)

M'(r')點，根據(jù)對稱性，等效電荷要位于球心

O點到M'的延長線OM'上的某點M1(r1)，見圖11-1。設(shè)P

是球面上任意一點，則三角形OPM'與三角形OPM1

有公共角∠POM1。如果按如下比例關(guān)系來確定等效電荷的位置，即

M1(r1)點，則三角形OPM'與三角形OPM1

相似，因此有這樣，在球面內(nèi)任意一點r的總電勢為11.3求解格林函數(shù)的電像法將式(11.3-7)代入式(11.3-8)，可以得到球面上的電勢為可見，如果選取等效電荷的電量為可以使得總電勢滿足邊界條件G|Σ=0。這樣，等效電荷的位置r1

和電量q分別由式(11.3-6)和式(11.3-10)給出。求解如下拉普拉斯方程的第一邊值問題其中所考慮的區(qū)域是半徑為a的球。11.3求解格林函數(shù)的電像法解：由于球內(nèi)沒有電荷分布，根據(jù)上一節(jié)的討論可知[見式(11.2-11)]，在第一邊界條件下，球內(nèi)的電勢分布為其中格林函數(shù)為

其中ψ

是r與r'(r1)之間的夾角，則有11.3求解格林函數(shù)的電像法在球面上，有r'=a，可以得到這樣，球內(nèi)的電勢分布為采用球坐標(biāo)系，可以把上式寫成最后，還需要確定ψ

與θ，φ，θ'及φ'的關(guān)系。由于則有即這就是所謂的球面三角公式。11.3求解格林函數(shù)的電像法在半無界空間(z>0)內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題解：對應(yīng)的格林函數(shù)G(r，r')滿足如下方程這相當(dāng)于在上半平面(z>0)M0(x'，y'，z')點放置一個電量為1的單位點電荷，求當(dāng)導(dǎo)體面(z=0)上的電勢為零時上半平面中的電勢分布，如圖11-2所示。下面采用電像法求出對應(yīng)的格林函數(shù)G(r，r')。當(dāng)導(dǎo)體面不存在時，位于M0(x'，y'，z')點的單位點電荷在

M(x，y，z)點產(chǎn)生的電勢為11.3求解格林函數(shù)的電像法而當(dāng)導(dǎo)體面存在時，為了滿足G|z=0=0的條件，假設(shè)在M0(x'，y'，z')的對稱點

M1(x'，y'，-z')存在一個像電荷，其電量為-1，它在

M(x，y，z)點產(chǎn)生的電勢為這樣，在上半平面上的總電勢分布為顯然滿足邊界條件G|z=0=0。根據(jù)式(11.2-11)，泛定方程(11.3-16)的定解為根據(jù)式(11.3-17)~式(11.3-19)，則有將式(11.3-22)代入式(11.3-21)，則最后得到11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的

格林函數(shù)法11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法前面采用格林函數(shù)討論了三維有界區(qū)域中泊松方程的解。把前面的結(jié)果稍作修改，就可以適用于二維有界區(qū)域中泊松方程的定解問題。在如下討論中，仍以第一邊值問題為例。設(shè)S

為所考慮的二維平面區(qū)域，l為其邊界線，則二維泊松方程的第一邊值問題為其中rl

為邊界線l上的點。與方程(11.4-1)對應(yīng)的格林函數(shù)G(r，r')則滿足如下方程其中r，r'∈S。與三維情況類似，在二維情況下，格林第二公式為用G

取代上式中的v，設(shè)u

滿足方程(11.4-1)，則可以得到其中n'為沿著邊界線的法線方向?？梢?，只要知道了二維格林函數(shù)G(r，r')，就可以確定出方程(11.4-1)的定解。下面采用電像法求解方程(11.4-2)。11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法設(shè)所考慮的區(qū)域是一個半徑為a的圓，則方程(11.4-2)的物理意義是:在半徑為a的圓內(nèi)，放置一個電量為1的單位點電荷，當(dāng)圓周的電勢保持為零時，求解圓內(nèi)的電勢分布。下面需要確定邊界不存在時二維格林函數(shù)的形式，即無界區(qū)域中的格林函數(shù)G0。首先確定如下方程

由此可以得到其中c1

及c0

為常數(shù)。對方程(11.4-5)兩邊進(jìn)行面積分，則有把上式左邊轉(zhuǎn)化成線積分，則可以得到11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法

這樣，單位點電荷在二維無界區(qū)域中的格林函數(shù)為當(dāng)考慮邊界存在時，設(shè)單位點電荷位于圓內(nèi)

M'(r')點，另一個電量為q的像電荷位于圓外M1(r1)點，見圖11-3。這樣，圓內(nèi)任意一點M(r)的電勢為11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法由于在圓的邊界r=a上電勢為零G|r=a=0，則有其中ψ=φ-φ'。式(11.4-10)的成立應(yīng)與ψ

無關(guān)，即在圓周上處處成立，因此有由此得到或11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法要使得上式對于任意的角度ψ都成立，必須有由此得到

11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法這樣式(11.4-9)變?yōu)?/p>

11.4二維有界區(qū)域中泊松方程的格林函數(shù)法將式(11.4-15)和式(11.4-14)代入式(11.4-4)，可以得到這就是二維泊松方程第一邊值問題在圓內(nèi)的解。對于圓內(nèi)的拉普拉斯方程(ρ=0)的第一邊值問題，式(11.4-16)約化為這就是圓內(nèi)的泊松積分公式。目錄第12章

球函數(shù)12.1勒讓德方程的級數(shù)解12.2勒讓德多項式的基本性質(zhì)12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例第3篇

特殊函數(shù)12.4連帶勒讓德函數(shù)12.5球函數(shù)定義和性質(zhì)12.6非軸對稱情況下拉普拉斯方程的定解問題12.1勒讓德方程的級數(shù)解12.1勒讓德方程的級數(shù)解對于勒讓德方程其變量x的變化范圍是：-1≤x

≤1。該方程是一個變系數(shù)的二階常微分方程，而且在x=±1(即θ=0和θ=π)處具有奇異性。但根據(jù)物理問題的性質(zhì)，通常要求該方程在整個閉區(qū)域-1≤x≤1中應(yīng)有界，這就構(gòu)成了本征值問題。下面將看到，僅當(dāng)待定常數(shù)λ=l(l+1)時，勒讓德方程在整個閉區(qū)域中才存在有界解，其中l(wèi)=0，1，2，…。在一般情況下，很難得到該方程的解析解。但我們注意到，x=0為勒讓德方程的一個常點。因此，可以將它的解y(x)在x=0處展開成如下級數(shù)其中ck

為展開系數(shù)。對式(12.1-2)求導(dǎo)，可以得到12.1勒讓德方程的級數(shù)解將式(12.1-2)~式(12.1-4)代入方程(12.1-1)，則有進(jìn)一步化簡和變換后，有上式參與求和的各項是相互獨立的，要使上式兩邊相等，只有兩邊任意項xk的系數(shù)相等，即可見系數(shù)ck

滿足如下遞推關(guān)系該式表明，所有下標(biāo)為偶數(shù)的系數(shù)c2k

可以用c0

來表示，而所有下標(biāo)為奇數(shù)的系數(shù)c2k+1

可以用c1

來表示，其中c0

及c1

為常數(shù)。這樣，勒讓德方程(12.1-1)的通解可以表示為12.1勒讓德方程的級數(shù)解其中而且y0(x)與y1(x)線性無關(guān)。下面我們進(jìn)一步討論上述級數(shù)展開的收斂性。利用冪級數(shù)收斂半徑公式的比值判別法(3.2-4)，則上述兩個級數(shù)的收斂半徑為可見，對于有限大小的λ(或λ

≤k2)，上述兩個級數(shù)的收斂半徑都是1。但是，可以驗證：它們在x=±1處是發(fā)散的。也就是說，x=±1為勒讓德方程的奇點。如果參數(shù)λ

取特殊的值λ=l(l+1)，且l=0，1，2，3，…，情況就不同了。這時有12.1勒讓德方程的級數(shù)解顯然，當(dāng)k=l時，有cl+2=0。接著，由遞推關(guān)系有cl+4=0，cl+6=0，…。這樣式(12.1-7)和式(12.1-8)兩個無窮級數(shù)中必有一個為多項式。當(dāng)l為偶數(shù)時，y0(x)為多項式，即而y1(x)仍為無窮級數(shù);當(dāng)l為奇數(shù)時，y1(x)為多項式，即而y0(x)仍為無窮級數(shù)。由此可見，僅當(dāng)參數(shù)λ=l(l+1)(l=0，1，2，3，…)時，勒讓德方程在閉區(qū)間-1≤x

≤1中才存在有界的解。λ=l(l+1)是勒讓德方程在自然邊界條件下的本征值，對應(yīng)的多項式為本征函數(shù)，即勒讓德函數(shù)(或多項式)。對應(yīng)于一個l值，只有唯一的一個多項式?，F(xiàn)在我們再確定式(12.1-10)和式(12.1-11)中的系數(shù)。如果最高次冪的系數(shù)cl被確定，則按照遞推公式(12.1-9)可以確定出cl-2，cl-4，…。這意味著所有的系數(shù)都能依次被確定。原則上cl

是一個任意的常數(shù)，不過如果取12.1勒讓德方程的級數(shù)解將會使勒讓德多項式呈現(xiàn)出最簡潔的形式。這樣利用遞推公式，可以得到令k=l-2，則有類似地，有12.1勒讓德方程的級數(shù)解借助于歸納法，有這樣，可以得到l階勒讓德多項式為其中

N

是求和指標(biāo)n

的最大值

l/2。由于N

必須是自然數(shù)，則有12.1勒讓德方程的級數(shù)解這樣在任何情況下，N

的值都是整數(shù)。注意在勒讓德多項式中，求和指標(biāo)n的最小值n=0對應(yīng)于最高次冪xl，它的系數(shù)為式(12.1-12);而求和指標(biāo)最大值n=N

對應(yīng)于常數(shù)項，它的系數(shù)為c0。勒讓德多項式的前6項為12.1勒讓德方程的級數(shù)解由式(12.1-15)，有則當(dāng)l=2m+1(奇數(shù))及x=0時，有而當(dāng)l=2m(偶數(shù))時，P2m(x)應(yīng)含有常數(shù)項，即為式(12.1-14)中l(wèi)=2m的那一項，所以有可以看出：當(dāng)l為偶數(shù)時，Pl(x)為偶函數(shù);當(dāng)l為奇數(shù)時，Pl(x)為奇函數(shù)。圖12-1顯示了勒讓德多項式前幾項隨x

變化的圖形。12.2勒讓德多項式的基本性質(zhì)1.勒讓德多項式的微分和積分表達(dá)式在討論勒讓德多項式的一些性質(zhì)或計算有關(guān)問題時，還需要用到它的其他形式的表達(dá)式，如微分和積分表達(dá)式。(1)微分表達(dá)式勒讓德多項式的微分表達(dá)式為通常又稱它為勒讓德多項式的羅德里格斯公式。證明：根據(jù)二項式展開定理則有在對上式進(jìn)行求導(dǎo)時，凡是冪次2l-2n低于l的項在l次求導(dǎo)后將為零，所以只需保留冪次2l-2n

≥l的項，即n

≤l/2的項。這樣有1.勒讓德多項式的微分和積分表達(dá)式(2)積分表達(dá)式根據(jù)復(fù)變函數(shù)論中的柯西公式(見

§2.3節(jié))及令f(x)=(x2-1)l，則可以將勒讓德多項式的微分表示式用如下回路積分來表示

另外，還可以得到1.勒讓德多項式的微分和積分表達(dá)式這樣，可以把式(12.2-2)變?yōu)檫@就是勒讓德多項式的積分表達(dá)式。由上面的積分表達(dá)式很容易看到2.勒讓德多項式的生成函數(shù)勒讓德多項式最先是由勒讓德在討論勢場問題時引入的。我們知道一個位于r'

點的單位點電荷在r點產(chǎn)生的庫侖勢為其中θ

為位置矢量r和r'

的夾角。設(shè)t=r'

/r

及x=cosθ，則可以將上面的庫侖勢改寫為假設(shè)|t|<1，并注意到|x|<1，則可以將函數(shù)(1+t2-2tx)-1/2作泰勒展開：下面證明展開系數(shù)al(x)就是勒讓德多項式。根據(jù)復(fù)平面上泰勒展開系數(shù)的積分表示式[見式(3.3-2)]，則有其中c為復(fù)平面上包含原點z=0的閉合圍道，而且閉合圍道內(nèi)沒有根式的奇點。引入變換2.勒讓德多項式的生成函數(shù)則有這樣將以上各式代入式(12.2-10)，則可以得到其中c'是u平面上與c相應(yīng)的、正向繞u=x

一周的圍道。上式正是勒讓德多項式Pl(x)的積分表達(dá)式，見式(12.2-2)。這樣有2.勒讓德多項式的生成函數(shù)通常稱(1+t2-2tx)-1/2

為勒讓德多項式Pl(x)的生成函數(shù)，而上式為勒讓德多項式的生成函數(shù)公式。對于x=±1，由式(12.2-12)可以得到故有這與式(12.2-4)和式(12.2-5)是一致的。這樣，根據(jù)式(12.2-12)，單位點電荷的庫侖勢可以表示為3.勒讓德多項式的遞推關(guān)系利用上面給出的生成函數(shù)公式，可以給出相鄰的勒讓德多項式之間的關(guān)系式，即遞推關(guān)系式。將式(12.2-12)兩邊對t求導(dǎo)，則可以得到將上式兩邊乘以(1+t2-2tx)，則有再利用公式(12.2-12)，上式改寫為進(jìn)一步對上式整理后可以得到將上式左邊第一項和第二項分別替換l+1→l及l(fā)-1→l，再比較兩邊tl

的系數(shù)，即可以得到如下遞推關(guān)系將式(12.2-12)兩邊對x求導(dǎo)，則可以得到3.勒讓德多項式的遞推關(guān)系將上式兩邊乘以(1+t2-2tx)，并再利用公式(12.2-12)，則有整理后，比較兩邊tl+1

的系數(shù)，即可以得到遞推關(guān)系

上述遞推關(guān)系很重要，尤其是式(12.2-19)。后面將看到，利用這些遞推關(guān)系式，可以簡化含勒讓德多項式的積分。4.勒讓德多項式的正交完備性兩個不同本征值λk=k(k+1)和λl

=l(l+1)的兩個本征函數(shù)Pk(x)和Pl(x)在區(qū)間[-1，1]正交，即(1)勒讓德多項式的正交性如果變量從x

回到原來的角變量θ，則上式變?yōu)榘凑毡菊骱瘮?shù)的模的一般定義，見式(8.5-13)，勒讓德多項式Pl(x)的模為(2)勒讓德多項式的模將勒讓德的生成函數(shù)公式4.勒讓德多項式的正交完備性兩邊進(jìn)行平方，并對x

從-1到1積分，則有其中利用了勒讓德多項式的正交性關(guān)系式(12.2-21)。式(12.2-24)左邊的積分為4.勒讓德多項式的正交完備性這樣，將式(12.2-25)代入式(12.2-24)，并比較兩邊t2l的系數(shù)，即可以得到勒讓德多項式的模為這樣可以把勒讓德多項式的正交性關(guān)系式寫成

解：利用勒讓德多項式的遞推公式(12.2-19)則有注意到：無論l是奇數(shù)還是偶數(shù)，均有Pl(1)=1;另一方面，由于l為偶數(shù)，則l+1和l-1均為奇數(shù)，因此有Pl+1(0)=0和Pl-1(0)=0。這樣，有4.勒讓德多項式的正交完備性

解：利用遞推關(guān)系式(12.2-15)，即則有可見：當(dāng)k=l-1時，有當(dāng)k=l+1時，有而對于其他情況，該積分的值均為零。4.勒讓德多項式的正交完備性(3)勒讓德多項式的完備性勒讓德多項式Pl(x)不但是正交的，而且還是完備的，即位于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的函數(shù)f(x)可以以Pl(x)作為基函數(shù)，進(jìn)行廣義傅里葉級數(shù)展開其中cl

為展開系數(shù)。將上式兩邊同乘以Pk(x)，并對x在區(qū)間[-1，1]上積分，以及利用勒讓德多項式的正交性關(guān)系式(12.2-27)，可以得到以勒讓德多項式為基函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上把函數(shù)f(x)=2x3+3x+4展開成廣義傅里葉級數(shù)。解：本題不必應(yīng)用一般的展開式(12.2-28)。由于f(x)是x的三次多項式，因此可以令將勒讓德多項式的前四項的表示式分別代入上式，則可以得到比較兩邊同次冪的系數(shù)，則可以得到所以有12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例勒讓德多項式在電磁學(xué)、熱學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，尤其是借助于勒讓德多項式，可以研究拉普拉斯方程的定解問題。由第八章的討論可以知道，在軸對稱性條件下，拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的一般解為[見式(8.4-20)]其中Al

及Bl為待定系數(shù)，應(yīng)由實際問題中的具體邊界條件來確定。

下面舉例進(jìn)行說明。一個半徑為r=a的導(dǎo)體球殼，球面上的電勢分布為u(a，θ)=u0cos2θ，分別求球殼內(nèi)外任一點的電勢分布。解：由于邊界條件與角度φ無關(guān)，顯然該問題具有對稱性，因此電勢空間分布的一般形式應(yīng)由式(12.3-1)給出，但在球殼內(nèi)外，其具體形式是不同的。(1)在球殼內(nèi)(r<a)，考慮到電勢在球心處(r=0)應(yīng)有限，因此要求系數(shù)Bl=0，則電勢分布為為了確定系數(shù)Al，把上式代入邊界條件，有12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例即

把上式代入式(12.3-4)，有比較該式兩邊同階Pl(x)的系數(shù)，可以得到這樣球殼內(nèi)部電勢的分布為12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例(2)在球殼外(r>a)，考慮到電勢在無窮遠(yuǎn)處(r→∞)應(yīng)有限，因此要求系數(shù)Al=0，則電勢分布為同樣，由邊界條件可以確定出系數(shù)Bl

為這樣球殼外部的電勢分布為當(dāng)邊界函數(shù)u(a，θ)=f(θ)的形式比較復(fù)雜時，就不能由上面的簡單方法來確定展開系數(shù)，這時需要利用勒讓德多項式的正交性來確定，見式(12.2-29)。如當(dāng)r<a時，展開系數(shù)Al為當(dāng)r>a

時，展開系數(shù)Bl

為12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例在一個均勻分布的電場E0

中放置一個均勻介質(zhì)小球。設(shè)球的半徑為a，介電常數(shù)為ε。求介質(zhì)球內(nèi)外的電場分布。解：介質(zhì)球的球心為坐標(biāo)系的原點，取電場E0

的方向為z

軸的方向。顯然，該問題具有軸對稱性。當(dāng)介質(zhì)球放到均勻的電場中時，將在球面上產(chǎn)生極化現(xiàn)象，即在球面上出現(xiàn)束縛電荷。反過來，束縛電荷的出現(xiàn)又會改變球外的原有電場分布。但是，無論在球內(nèi)還是在球外，電勢u(r，θ)仍滿足拉普拉斯方程這樣在球內(nèi)外的電勢分布為其中系數(shù)Al，Cl

和Dl

由邊界條件確定。在無窮遠(yuǎn)處(r→∞)，介質(zhì)球的存在對原來的均勻電場E0

沒有影響。由于選取E0

的方向沿z軸方向，所以在無窮遠(yuǎn)處，電場的各分量為：Ex=0，Ey=0，Ez=E0。這樣，在無窮遠(yuǎn)處的邊界條件為12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例即把這個邊界條件代入式(12.3-12)，可以得到這樣球外的電勢分布則變?yōu)橛捎陔妱菰谇蛎孢B續(xù)，則有

12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例

比較兩邊的系數(shù)，有12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例由此可以解得將以上系數(shù)分別代入式(12.3-11)和式(12.3-16)，則最終得到的球內(nèi)外電勢分布為其中A0

是常數(shù)，與電勢的零點選取有關(guān)。12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例根據(jù)式(12.3-19)，又可以把球內(nèi)的電勢改寫成由此可見，球內(nèi)的電場大小為方向仍沿著z

軸，而且是均勻的。

也就是說，在球內(nèi)電場仍是均勻分布的，只不過變?nèi)趿?ε>1)。由式(12.3-19)還可以看到，在球外電場不再是均勻分布的，它由兩部分組成，即原來的均勻電場E0

和一個極化電場Ep(r，θ)。設(shè)一個半徑為a的均勻介質(zhì)球，其介電常數(shù)為ε。在離球心為b(b>a)的地方放置一個電量為q的點電荷。求在介質(zhì)球內(nèi)外的電勢分布。解：取介質(zhì)球的球心為坐標(biāo)原點，z軸通過點電荷所在的位置，見圖12-2。顯然該問題具有軸對稱性，與角度φ無關(guān)。電荷將在介質(zhì)球表面產(chǎn)生極化電荷，從而在介質(zhì)球的內(nèi)外產(chǎn)生極化電場。除了在介質(zhì)球的表面和點電荷所在的位置外，在介質(zhì)球的內(nèi)外其他地方均沒有電荷存在，故電勢滿足拉普拉斯方程(具有軸對稱性)12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例在球的內(nèi)部，考慮到球心處(r→0)的電勢應(yīng)有限，則電勢分布為其中Al為待定系數(shù)。在球的外部，電勢由兩部分組成，一部分是來自于球面極化電荷產(chǎn)生的電勢up(r，θ)，另一部分是由點電荷產(chǎn)生的電勢uq(r，θ)，即考慮到球面上極化電荷產(chǎn)生的電勢在無窮遠(yuǎn)處(r

→∞)應(yīng)有限，則其中Dl

為待定系數(shù)。點電荷在球外產(chǎn)生的電勢為這里我們采用了靜電單位。特別是對于a<r<b的情況，根據(jù)勒讓德多項式的生成函數(shù)公式(12.2-14)，則有12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例待定系數(shù)Al

和Dl可以由邊界條件來確定。與前面的例子相同，在球面上電勢和電位移矢量的法線分量都連續(xù)，即將式(12.3-22)和式(12.3-23)分別代入上面的邊界條件，則可以得到分別比較上面兩個方程兩邊Pl(cosθ)的系數(shù)，則可以得到12.3勒讓德多項式的應(yīng)用舉例由此可以解出則球內(nèi)外的電勢分布為12.4連帶勒讓德函數(shù)12.4連帶勒讓德函數(shù)前面已經(jīng)看到：在非軸對稱性情況下，拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程的解與方位角φ有關(guān)，即u(r，θ，φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)。這時函數(shù)Θ(θ)滿足如下連帶勒讓德方程其中x=cosθ，y(x)=Θ(θ)，m

≥0。

下面只討論λ=l(l+1)的情形，并求出連帶勒讓德方程在-1≤x

≤1的解。1.連帶勒讓德方程的解原則上，可以仿照

§12.1節(jié)的方法在x=0點的鄰內(nèi)域求解連帶勒讓德方程的級數(shù)解，但這種方法較為繁瑣。下面采用一種較為簡便的方法來求解。令1.連帶勒讓德方程的解則有分別把以上三個式子代入方程(12.4-1)，則可以得到將以上方程兩邊對x

求導(dǎo)，則有可

以看出，如果把方程(12.4-3)中的m

變成m+1，把u變成u'，則方程(12.4-3)就變成了方程(12.4-4)。另一方面，當(dāng)m=0時方程(12.4-3)就是勒讓德方程。因此推斷出，方程(12.4-3)是由勒讓德方程求導(dǎo)m

次的結(jié)果，即方程(12.4-3)的解為1.連帶勒讓德方程的解這樣連帶勒讓德方程(12.4-1)的解為

或?qū)τ诠潭ǖ膍，要求當(dāng)m=0時，連帶勒讓德多項式即退化為勒讓德多項式，即當(dāng)m

≥1，l=1，2時，連帶勒讓德多項式的表示式為對于其他情況，可以由式(12.4-6)得到連帶勒讓德多項式的具體形式。2.連帶勒讓德多項式的微分表示式根據(jù)式(12.4-6)及勒讓德多項式Pl(x)的微分表示式(12.2-1)，則立刻可以得到連帶勒讓德函數(shù)的微分表示式

這里不進(jìn)行證明。3.連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)(1)正交性：作為施圖姆-劉維爾方程本征值問題的特例，對于同一階m

而不同次l的連帶勒讓德函數(shù)在區(qū)間(-1，1)應(yīng)該是正交的，即或

把連帶勒讓德函數(shù)的微分表示式(12.4-11)代入上式，經(jīng)過繁瑣的分部積分后，可以得到即3.連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)(3)完備性：作為施圖姆

劉維爾方程本征值問題的特例，可以把定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)

f(x)展開成如下廣義傅里葉級數(shù)其中展開系數(shù)為類似地，可以把定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)

f(θ)展開成如下廣義傅里葉級數(shù)其中展開系數(shù)為12.5球函數(shù)定義和性質(zhì)1.球函數(shù)的定義由前面的討論可知，經(jīng)過分離變量后，可以把球函數(shù)Y(θ，φ)=Θ(θ)Φ(φ)所滿足的方程轉(zhuǎn)化成如下兩個方程及其中m

及λ為常數(shù)。對于式(12.5-2)，利用周期性邊界條件Φ(φ)=Φ(φ+2π)，可以得到其實數(shù)形式的解或復(fù)數(shù)形式的解其中A，B

及C