統(tǒng)計(jì)學(xué)(本科)期末考試試題及參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.某校隨機(jī)抽取100名本科生，記錄其每日手機(jī)使用時(shí)長（分鐘），樣本均值為268，標(biāo)準(zhǔn)差為46。若已知總體服從正態(tài)分布，則總體均值μ的95%置信區(qū)間為A.(259.0,277.0)B.(260.8,275.2)C.(258.4,277.6)D.(261.0,275.0)答案：B解析：σ未知，n=100>30，用z近似。標(biāo)準(zhǔn)誤SE=46/√100=4.6，z0.025=1.96，區(qū)間268±1.96×4.6=(260.8,275.2)。2.在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于1且p值小于0.01，則下列說法正確的是A.各組總體方差不相等B.各組樣本量必須相同C.至少有兩組總體均值存在顯著差異D.因子與因變量無線性關(guān)系答案：C解析：F檢驗(yàn)顯著拒絕原假設(shè)H0:μ1=μ2=…=μk，只能得出“至少一對(duì)均值不等”，無法判斷方差齊性或線性。3.對(duì)于簡單線性回歸模型y=β0+β1x+ε，若ε~N(0,σ2)，則β1的95%置信區(qū)間公式為A.β?1±t0.025(n-2)·SE(β?1)B.β?1±z0.025·SE(β?1)C.β?1±t0.05(n-1)·SE(β?1)D.β?1±z0.05·SE(β?1)答案：A解析：σ2未知，用t分布，自由度n-2。4.設(shè)X~Poisson(λ)，若λ=4，則P(X=3)等于A.0.195B.0.224C.0.104D.0.433答案：A解析：P(X=3)=e^(-4)·43/3!=0.1954。5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則A.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效增大B.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效減小C.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，Ⅱ型錯(cuò)誤概率減小D.臨界域擴(kuò)大答案：B解析：α↓→拒絕域縮小→Ⅰ型錯(cuò)誤↓，同時(shí)β↑→功效1-β↓。6.下列關(guān)于相關(guān)系數(shù)r的敘述，錯(cuò)誤的是A.|r|越接近1，線性關(guān)系越強(qiáng)B.r=0表示兩變量獨(dú)立C.r對(duì)異常值敏感D.r無量綱答案：B解析：r=0僅表示無線性相關(guān)，變量可能非線性相關(guān)。7.若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)=(1-2t)^(-3)，則Var(X)為A.6B.12C.3D.24答案：B解析：Gamma(α=3,β=2)的MGF，均值αβ=6，方差αβ2=12。8.在列聯(lián)表χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若期望頻數(shù)小于5的格子比例超過20%，應(yīng)A.直接計(jì)算χ2B.增加樣本量或合并行列C.改用Fisher精確檢驗(yàn)D.B與C均可答案：D解析：χ2近似條件不滿足，可合并或改用精確方法。9.設(shè)θ?是θ的無偏估計(jì)，若Var(θ?)→0當(dāng)n→∞，則θ?具有A.一致性B.有效性C.充分性D.穩(wěn)健性答案：A解析：無偏+方差趨于0→均方誤差趨于0→一致性。10.對(duì)同一數(shù)據(jù)分別建立AIC=312、BIC=325的模型M1，以及AIC=310、BIC=330的模型M2，則A.M1優(yōu)于M2B.M2優(yōu)于M1C.無法比較D.需看樣本量答案：A解析：AIC、BIC越小越好，M1兩項(xiàng)均小。二、填空題（每空3分，共30分）11.設(shè)X~N(μ,9)，抽取n=36，得x?=48，則μ的90%置信區(qū)間為________。答案：(46.355,49.645)解析：σ=3已知，z0.05=1.645，區(qū)間48±1.645×3/6。12.若樣本比例p?=0.42，n=250，則總體比例p的99%置信區(qū)間半寬為________（保留三位小數(shù)）。答案：0.080解析：z0.005=2.576，半寬2.576×√[0.42×0.58/250]=0.080。13.在簡單隨機(jī)抽樣中，若總體大小N=1200，樣本n=60，則有限總體修正系數(shù)為________（保留四位小數(shù)）。答案：0.9748解析：√[(N-n)/(N-1)]=√(1140/1199)=0.9748。14.設(shè)X1,X2…Xn來自Exp(λ)，則λ的極大似然估計(jì)為________。答案：1/X?解析：似然函數(shù)L=λ^nexp(-λΣxi)，求導(dǎo)得λ?=n/Σxi=1/x?。15.若回歸模型中R2=0.64，則調(diào)整R2的最小可能值為________（給定k=5，n=25）。答案：0.56解析：AdjR2=1-(1-R2)(n-1)/(n-k-1)=1-0.36×24/19=0.56。16.設(shè)T~t(15)，則P(T>2.131)=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.025解析：查t分布表，雙尾0.05對(duì)應(yīng)單尾0.025。17.若隨機(jī)變量X的密度f(x)=3x2，0<x<1，則P(0.2<X<0.5)=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.117解析：∫0.2^0.53x2dx=x3|0.2^0.5=0.125-0.008=0.117。18.在雙尾Z檢驗(yàn)中，若|z|=2.18，則p值為________（保留四位小數(shù)）。答案：0.0292解析：2×P(Z>2.18)=2×0.0146=0.0292。19.若X~Bin(8,0.35)，則E(X2)=________（保留兩位小數(shù)）。答案：10.36解析：E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=8×0.35×0.65+(2.8)2=1.82+7.84=9.66（修正：1.82+7.84=9.66，原答案筆誤，應(yīng)為9.66）。20.若樣本中位數(shù)m=34，n=50，用Bootstrap1000次得標(biāo)準(zhǔn)誤為2.15，則m的95%Bootstrap置信區(qū)間為________。答案：(29.79,38.21)解析：百分位法，2.5%與97.5%分位數(shù)，近似m±1.96×2.15。三、計(jì)算與證明題（共50分）21.（10分）某生產(chǎn)線袋裝食品標(biāo)重500g，歷史σ=12g。今隨機(jī)抽取16袋，得x?=495g。（1）在α=0.05下檢驗(yàn)是否顯著不足（單尾）。（2）求檢驗(yàn)功效，當(dāng)真實(shí)均值μ=490g。解：（1）H0:μ≥500，H1:μ<500。z=(495-500)/(12/√16)=-5/3=-1.667。臨界值-z0.05=-1.645，-1.667<-1.645，拒絕H0，顯著不足。（2）功效=Φ(-1.645+10/3)=Φ(1.688)=0.954。22.（12分）隨機(jī)調(diào)查200名用戶，記錄性別與是否購買會(huì)員：||購買|未購買||--------|------|--------||男|38|62||女|52|48|（1）計(jì)算φ系數(shù)與Cramer’sV。（2）在α=0.05下檢驗(yàn)獨(dú)立性與列聯(lián)系數(shù)顯著性。解：（1）χ2=200(38×48-62×52)2/(100×100×90×110)=4.040，φ=√(χ2/n)=0.142，Cramer’sV=φ/√min(r-1,c-1)=0.142。（2）df=1，χ20.05=3.841，4.040>3.841，拒絕獨(dú)立，φ顯著。23.（14分）給出10組數(shù)據(jù)(x,y)：(12,15),(14,18),(16,22),(18,25),(20,28),(22,30),(24,33),(26,35),(28,38),(30,40)。（1）求回歸方程y?=β?0+β?1x。（2）計(jì)算殘差標(biāo)準(zhǔn)誤s。（3）檢驗(yàn)H0:β1=0（α=0.01）。（4）當(dāng)x=25時(shí)，求y的99%預(yù)測區(qū)間。解：（1）x?=21，y?=28.4，Sxx=330，Sxy=465，β?1=465/330=1.409，β?0=28.4-1.409×21=-1.189，y?=-1.189+1.409x。（2）SSE=Σ(yi-y?i)2=6.364，s=√(SSE/8)=0.892。（3）SE(β?1)=s/√Sxx=0.892/√330=0.049，t=1.409/0.049=28.8，t0.005(8)=3.355，|t|>3.355，極顯著。（4）x0=25，y?=34.04，預(yù)測區(qū)間=34.04±t0.005(8)·s·√[1+1/10+(25-21)2/330]=34.04±3.355×0.892×1.098=(30.75,37.33)。24.（14分）設(shè)X1…Xn來自Uniform(0,θ)，θ>0未知。（1）求θ的矩估計(jì)θ?與極大似然估計(jì)θ?。（2）證明θ?是充分統(tǒng)計(jì)量。（3）計(jì)算E(θ?)并修正為無偏估計(jì)。解：（1）矩估計(jì)：E(X)=θ/2→θ?=2X?。似然函數(shù)L=θ^(-n)I_{x(n)≤θ}，在θ