2026年工程碩士考試數(shù)學(xué)建模試題庫(kù)一、線性規(guī)劃問(wèn)題（共3題，每題15分）題目1（15分）某城市交通管理局負(fù)責(zé)規(guī)劃早晚高峰時(shí)段的公交線路調(diào)度。該城市有5個(gè)主要居民區(qū)（A、B、C、D、E）和3個(gè)公交樞紐站（1、2、3），居民區(qū)之間及樞紐站之間的公交需求量（萬(wàn)人次/日）如表1所示。公交公司現(xiàn)有3條公交線路，分別從樞紐站1、2、3出發(fā)，覆蓋不同區(qū)域。每條線路的運(yùn)載能力分別為100萬(wàn)人次/日、80萬(wàn)人次/日、90萬(wàn)人次/日。若每條線路的運(yùn)營(yíng)成本（萬(wàn)元/日）分別為60、50、55，交通管理局需如何調(diào)度公交線路，以最小化總運(yùn)營(yíng)成本，同時(shí)滿足各線路的運(yùn)載需求？表1：居民區(qū)及樞紐站之間的公交需求量（萬(wàn)人次/日）||1|2|3|居民區(qū)需求量||-||||--||A|8|5|6|25||B|4|7|3|20||C|6|3|8|30||D|5|4|7|15||E|7|6|4|25||樞紐站剩余能力|50|40|60||題目2（15分）某食品加工廠生產(chǎn)A、B兩種混合食品，原料包括玉米、大豆和麥芽，相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。為滿足市場(chǎng)最低需求，A食品至少生產(chǎn)200噸/日，B食品至少生產(chǎn)150噸/日。若A食品的利潤(rùn)為每噸50元，B食品的利潤(rùn)為每噸40元，工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，以最大化日利潤(rùn)？表2：原料及產(chǎn)品信息|原料|單位成本（元/噸）|A食品需求量（噸/日）|B食品需求量（噸/日）|最大供應(yīng)量（噸/日）||||-|-|||玉米|2000|5|3|400||大豆|1800|3|4|350||麥芽|2200|2|1|250|題目3（15分）某建筑公司承建一項(xiàng)住宅項(xiàng)目，需采購(gòu)水泥、鋼筋和磚塊三種材料。材料供應(yīng)來(lái)源、價(jià)格及運(yùn)輸成本如表3所示。項(xiàng)目要求水泥至少采購(gòu)500噸，鋼筋至少采購(gòu)300噸，磚塊至少采購(gòu)400立方米。若水泥、鋼筋和磚塊的單位需求量分別為1噸/平方米、0.1噸/平方米和10立方米/平方米，項(xiàng)目需采購(gòu)多少噸水泥、鋼筋和磚塊，以最小化總采購(gòu)成本？表3：材料供應(yīng)及成本信息|供應(yīng)商|水泥（元/噸）|鋼筋（元/噸）|磚塊（元/立方米）|供應(yīng)量（噸/立方米）|||--|--||||A|300|4000|100|200||B|320|3800|110|150||C|310|3600|105|180|二、整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題（共2題，每題20分）題目4（20分）某物流公司需在三個(gè)城市（甲、乙、丙）之間調(diào)配貨物，貨物類型包括A、B兩種，調(diào)配方案需滿足以下條件：1.甲城市需調(diào)配A貨物至少200噸，B貨物至少150噸；2.乙城市需調(diào)配A貨物至少150噸，B貨物至少100噸；3.丙城市需調(diào)配A貨物至少100噸，B貨物至少200噸；4.貨物調(diào)配需滿足運(yùn)輸能力限制：甲城市最多可調(diào)配A貨物300噸，B貨物250噸；乙城市最多可調(diào)配A貨物200噸，B貨物300噸；丙城市最多可調(diào)配A貨物250噸，B貨物200噸。若A貨物單位成本為每噸500元，B貨物單位成本為每噸600元，物流公司應(yīng)如何調(diào)配貨物，以最小化總成本？題目5（20分）某城市公園需規(guī)劃綠化區(qū)域，公園總面積為5000平方米，需種植樹木和草坪。樹木種類包括松樹、柏樹和楊樹，草坪面積至少占20%。不同樹木的種植成本（元/平方米）及最低種植面積分別為：松樹（200元/平方米，500平方米）、柏樹（180元/平方米，400平方米）、楊樹（150元/平方米，300平方米）。若樹木種植成本需控制在總綠化成本的70%以內(nèi)，公園應(yīng)如何規(guī)劃綠化方案，以最小化總綠化成本？三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題（共1題，25分）題目6（25分）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品需經(jīng)過(guò)三道工序，每道工序的合格率及生產(chǎn)成本（元/件）如表4所示。產(chǎn)品需經(jīng)過(guò)所有工序才能完成，若不合格產(chǎn)品需返工，返工成本為原成本的1.5倍。工廠計(jì)劃日產(chǎn)量為1000件，為最大化日利潤(rùn)，應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃？表4：工序信息|工序|合格率|生產(chǎn)成本（元/件）|返工成本（元/件）||-|-||||1|0.8|10|15||2|0.7|12|18||3|0.6|15|22|四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題（共2題，每題20分）題目7（20分）某城市需新建一條高速公路連接三個(gè)工業(yè)區(qū)（A、B、C）和兩個(gè)居民區(qū)（1、2）。各區(qū)域間的道路需求量（萬(wàn)噸/年）及建設(shè)成本（萬(wàn)元/公里）如表5所示。若高速公路總建設(shè)成本需控制在2000萬(wàn)元以內(nèi)，應(yīng)如何規(guī)劃路線，以最小化總需求量損失？表5：道路需求量及建設(shè)成本|起點(diǎn)|終點(diǎn)|需求量（萬(wàn)噸/年）|建設(shè)成本（萬(wàn)元/公里）||-|-||-||A|1|50|60||A|2|40|70||B|1|60|50||B|2|70|60||C|1|30|55||C|2|50|65|題目8（20分）某電力公司需為四個(gè)區(qū)域（1、2、3、4）分配電力資源，電力供應(yīng)點(diǎn)為P1、P2、P3。各區(qū)域需求量（萬(wàn)千瓦時(shí)/日）及供應(yīng)點(diǎn)輸出能力（萬(wàn)千瓦時(shí)/日）如表6所示。電力傳輸損耗為傳輸功率的10%，公司應(yīng)如何分配電力，以最小化總損耗？表6：電力需求及供應(yīng)信息|供應(yīng)點(diǎn)|輸出能力（萬(wàn)千瓦時(shí)/日）|區(qū)域需求量（萬(wàn)千瓦時(shí)/日）||-|-|--||P1|100|1:40,2:30,3:20,4:10||P2|80|1:20,2:50,3:30,4:0||P3|120|1:0,2:10,3:40,4:70|五、概率統(tǒng)計(jì)與決策分析（共2題，每題20分）題目9（20分）某電商公司分析用戶購(gòu)買行為，發(fā)現(xiàn)用戶購(gòu)買某商品的轉(zhuǎn)化率服從均勻分布[0.1,0.3]。若用戶購(gòu)買金額服從正態(tài)分布N(200,50^2)，公司需決定是否開(kāi)展促銷活動(dòng)。促銷活動(dòng)成本為5000元，若轉(zhuǎn)化率超過(guò)0.25，促銷后轉(zhuǎn)化率提升至0.4，否則不變。為最大化期望收益，公司是否應(yīng)開(kāi)展促銷活動(dòng)？題目10（20分）某制藥公司研發(fā)新藥，需決定是否投入生產(chǎn)。市場(chǎng)調(diào)研顯示，新藥治愈率服從二項(xiàng)分布B(1,0.6)，生產(chǎn)成本為100萬(wàn)元，售價(jià)為200萬(wàn)元。若治愈，收益為100萬(wàn)元；若未治愈，虧損50萬(wàn)元。公司需采用何種決策策略？答案與解析線性規(guī)劃問(wèn)題題目1（15分）目標(biāo)函數(shù)：minZ=60x1+50x2+55x3約束條件：1.x1+x2+x3≥25（A區(qū)需求）2.x1+x2+x3≥20（B區(qū)需求）3.x1+x2+x3≥30（C區(qū)需求）4.x1+x2+x3≥15（D區(qū)需求）5.x1+x2+x3≥25（E區(qū)需求）6.x1≤100,x2≤80,x3≤907.x1,x2,x3≥0題目2（15分）目標(biāo)函數(shù)：maxZ=50y1+40y2約束條件：1.5y1+3y2≥200（A食品需求）2.3y1+4y2≥150（B食品需求）3.y1+y2≤400（玉米供應(yīng)）4.y1+y2≤350（大豆供應(yīng)）5.y1+y2≤250（麥芽供應(yīng)）6.y1,y2≥0題目3（15分）目標(biāo)函數(shù)：minZ=300a1+320a2+310a3+4000b1+3800b2+3600b3+100c1+110c2+105c3約束條件：1.a1+a2+a3≥500（水泥需求）2.b1+b2+b3≥300（鋼筋需求）3.c1+c2+c3≥400（磚塊需求）4.a1+b1+c1≤200,a2+b2+c2≤150,a3+b3+c3≤1805.a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3≥0整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題題目4（20分）目標(biāo)函數(shù)：minZ=500y1+600y2約束條件：1.y1≥200,y2≥150（甲需求）2.y1≥150,y2≥100（乙需求）3.y1≥100,y2≥200（丙需求）4.y1≤300,y2≤250（甲供應(yīng)）5.y1≤200,y2≤300（乙供應(yīng)）6.y1≤250,y2≤200（丙供應(yīng)）7.y1,y2≥0,且為整數(shù)題目5（20分）目標(biāo)函數(shù)：minZ=200x1+180x2+150x3+20x4約束條件：1.x1+x2+x3+x4=5000（總面積）2.x1≥500,x2≥400,x3≥3003.x4≥1000（草坪面積）4.200x1+180x2+150x3≤0.7Z5.x1,x2,x3,x4≥0,且為整數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題題目6（25分）設(shè)f[i](k)為第i道工序后，生產(chǎn)k件產(chǎn)品的最小成本，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f[i](k)=min{f[i-1](k')+c[i](k-k')+1.5c[i](k'-k)}其中k'為前一道工序的合格產(chǎn)品數(shù)。計(jì)算f[3](1000)即為最優(yōu)解。圖論與網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題題目7（20分）建模為最小割問(wèn)題，求各區(qū)域間的最大流，最小割即為最小需求量損失。題目8（20分）建模為最小費(fèi)用最大流問(wèn)題，目標(biāo)為最小化傳輸損耗。概率統(tǒng)計(jì)與決策分析題目9（20分）期望收益：若不促銷：E[Z]=∫[0.1,0.25]0.3x(200x-5000)dx+