(完整版)數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(X2)等于A.λ??B.λ2??C.λ+λ2??D.λ2+λ答案：C解析：泊松分布的方差Var(X)=λ，而E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=λ+λ2。2.從N(μ,σ2)中抽取容量為n的樣本，樣本均值X?的分布為A.N(μ,σ2)??B.N(μ,σ2/n)??C.N(0,1)??D.t(n?1)答案：B解析：由中心極限定理，X?~N(μ,σ2/n)。3.設(shè)X?,…,X?i.i.d.~Exp(λ)，則2λ∑X?的分布為A.χ2(n)??B.χ2(2n)??C.Γ(n,λ)??D.Γ(2n,λ)答案：B解析：指數(shù)分布Exp(λ)可化為Γ(1,λ)，而2λX?~χ2(2)，故2λ∑X?~χ2(2n)。4.在簡(jiǎn)單線性回歸y=β?+β?x+ε中，若ε~N(0,σ2)，則β??的方差為A.σ2/Sxx??B.σ2/n??C.σ2Sxx??D.σ2/(n?2)答案：A解析：β??=∑(x??x?)(y???)/Sxx，其方差為σ2/Sxx。5.設(shè)T~t(n)，則T2的分布為A.χ2(n)??B.F(1,n)??C.F(n,1)??D.t(n)答案：B解析：t(n)變量平方即服從F(1,n)。6.對(duì)于正態(tài)總體N(μ,σ2)，σ2未知，檢驗(yàn)H?:μ=μ?的統(tǒng)計(jì)量為A.(X??μ?)/(σ/√n)??B.(X??μ?)/(S/√n)??C.(X??μ?)/σ??D.(X??μ?)/S答案：B解析：σ未知時(shí)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，得t統(tǒng)計(jì)量。7.設(shè)X~Bin(n,p)，則當(dāng)n→∞，p固定，(X?np)/√[np(1?p)]的極限分布為A.N(0,1)??B.χ2(1)??C.t(n?1)??D.Poisson(np)答案：A解析：棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。8.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第二類錯(cuò)誤概率β與顯著性水平α的關(guān)系是A.β隨α增大而增大??B.β隨α增大而減小??C.β與α無(wú)關(guān)??D.β恒為0答案：B解析：α增大，拒絕域擴(kuò)大，β減小。9.設(shè)X?,…,X?i.i.d.~U(0,θ)，則θ的MLE為A.X???B.max{X?}??C.min{X?}??D.2X?答案：B解析：均勻分布的似然函數(shù)在θ≥max{X?}處取得最大值。10.若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)為M_X(t)=exp(μt+σ2t2/2)，則X的分布為A.N(μ,σ2)??B.Poisson(μ)??C.Exp(σ)??D.χ2(μ)答案：A解析：正態(tài)分布的矩母函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式。二、填空題（每空5分，共30分）11.設(shè)X?,…,X?i.i.d.~N(μ,σ2)，則樣本方差S2=1/(n?1)∑(X??X?)2是σ2的________估計(jì)。答案：無(wú)偏解析：E(S2)=σ2。12.若X~χ2(k)，則E(X)=________，Var(X)=________。答案：k；2k解析：χ2(k)即Γ(k/2,1/2)，期望k，方差2k。13.設(shè)X?與S2獨(dú)立，且X?~N(μ,σ2/n)，(n?1)S2/σ2~χ2(n?1)，則√n(X??μ)/S服從________分布。答案：t(n?1)解析：t分布定義。14.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，樣本均值X?的方差與總體方差σ2的關(guān)系為Var(X?)=________。答案：σ2/n解析：基本抽樣定理。15.設(shè)X~Bin(n,p)，則當(dāng)n很大，p很小時(shí)，可用________分布近似。答案：Poisson(np)解析：泊松極限定理。16.若θ?是θ的MLE，則g(θ?)是g(θ)的________。答案：MLE解析：MLE的不變性。三、計(jì)算題（共80分）17.（15分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.~Poisson(λ)，求λ的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)，并比較其方差。答案：矩估計(jì)：令樣本均值X?等于總體均值λ，得λ??=X?。MLE：似然函數(shù)L(λ)=∏e^(?λ)λ^(X?)/X?!，對(duì)數(shù)似然?(λ)=?nλ+(∑X?)lnλ?∑lnX?!，令d?/dλ=?n+∑X?/λ=0，得λ??=X?。方差：X?~Poisson(nλ)/n，故Var(λ??)=λ/n。結(jié)論：二者相同，方差均為λ/n。18.（20分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.~N(μ,σ2)，σ2未知，給定樣本觀測(cè)值：n=16，x?=12.5，s=2.4。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)H?:μ=11.0vsH?:μ≠11.0，α=0.05。答案：（1）t?.???(15)=2.131，CI=x?±t·s/√n=12.5±2.131×2.4/4=12.5±1.28，即(11.22,13.78)。（2）t=(x??μ?)/(s/√n)=(12.5?11.0)/(2.4/4)=2.5，|t|=2.5>2.131，拒絕H?，認(rèn)為μ顯著不等于11.0。19.（20分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=2,0<y<x<1。（1）求邊緣密度f(wàn)_X(x)；（2）求條件密度f(wàn)_{Y|X}(y|x)；（3）求E(Y|X=x)。答案：（1）f_X(x)=∫??2dy=2x,0<x<1。（2）f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=2/(2x)=1/x,0<y<x。（3）E(Y|X=x)=∫??y·(1/x)dy=x/2。20.（25分）某工廠生產(chǎn)鋼絲，其抗拉強(qiáng)度X~N(μ,σ2)?，F(xiàn)抽取n=25根，測(cè)得x?=780MPa，s=30MPa。（1）求σ2的90%置信區(qū)間；（2）若要求估計(jì)μ的誤差不超過(guò)5MPa，置信水平95%，求所需最小樣本量；（3）若歷史σ=25MPa，檢驗(yàn)H?:σ=25vsH?:σ>25，α=0.05。答案：（1）χ2?.??(24)=13.848，χ2?.??(24)=36.415，CI=[(n?1)s2/χ2?.??,(n?1)s2/χ2?.??]=[24×900/36.415,24×900/13.848]≈[593,1559](MPa2)。（2）n≥(z?.???·σ/E)2=(1.96×30/5)2≈138.3，取139。（3）χ2=(n?1)s2/σ?2=24×900/625=34.56，臨界值χ2?.??(24)=36.415，34.56<36.415，不拒絕H?，無(wú)充分證據(jù)表明標(biāo)準(zhǔn)差增大。四、證明題（共30分）21.（15分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.來(lái)自密度f(wàn)(x;θ)=θx^(θ?1),0<x<1,θ>0。證明T=?∑lnX?是充分統(tǒng)計(jì)量，并求其分布。證明：聯(lián)合密度f(wàn)(x;θ)=θ?(∏x?)^(θ?1)=θ?exp[(θ?1)∑lnx?]，由因子分解定理，取h(x)=1，g(T;θ)=θ?exp[(θ?1)(?T)]，故T=?∑lnX?為充分統(tǒng)計(jì)量。令Y?=?lnX?，則X?=e^(?Y?)，雅可比|dx/dy|=e^(?y)，f_Y(y)=f_X(e^(?y))·e^(?y)=θe^(?θy),y>0，即Y?~Exp(θ)，于是T~Γ(n,θ)，密度f(wàn)_T(t)=θ?t^(n?1)e^(?θt)/Γ(n),t>0。22.（15分）設(shè)X?,…,X?i.i.d.~N(μ,σ2)，定義樣本均值X?與樣本方差S2。證明X?與S2獨(dú)立，并給出S2的分布。證明：令A(yù)為n×n正交矩陣，第一行(1/√n,…,1/√n)，令Z=AX，則Z?=√nX?，且Z?,…,Z?i.i.d.~N(0,σ2)，S2=1/(n?1)∑(X??X?)2=1/(n?1)∑_{i=2}^nZ?2，僅依賴于Z?,…,Z?，而X?僅依賴于Z?，故X?與S2獨(dú)立。又∑_{i=2}^nZ?2/σ2~χ2(n?1)，故(n?1)S2/σ2~χ2(n?1)。五、綜合應(yīng)用題（共40分）23.（20分）某電商平臺(tái)研究用戶點(diǎn)擊轉(zhuǎn)化率，隨機(jī)抽取100個(gè)頁(yè)面，記錄點(diǎn)擊數(shù)X與轉(zhuǎn)化數(shù)Y，得∑X?=5200，∑Y?=364，∑X?2=281000，∑Y?2=1400，∑X?Y?=20100。假設(shè)Y?~Bin(X?,p)，且各頁(yè)面獨(dú)立。（1）求p的MLE；（2）構(gòu)造p的95%漸近置信區(qū)間；（3）檢驗(yàn)H?:p=0.06vsH?:p≠0.06，α=0.05。答案：（1）似然L(p)=∏C(X?,Y?)p^Y?(1?p)^(X??Y?)，對(duì)數(shù)似然?(p)=const+∑Y?lnp+∑(X??Y?)ln(1?p)，令d?/dp=∑Y?/p?∑(X??Y?)/(1?p)=0，得p?=∑Y?/∑X?=364/5200=0.07。（2）信息量I(p)=∑X?/[p(1?p)]，Var(p?)≈1/I(p)=p(1?p)/∑X?，代入p?得SE=√[0.07×0.93/5200]=0.0035，CI=p?±1.96×SE=0.07±0.0069，即(0.0631,0.0769)。（3）z=(p??p?)/SE?=(0.07?0.06)/√[0.06×0.94/5200]=0.01/0.0033≈3.03，|z|>1.96，拒絕H?，認(rèn)為轉(zhuǎn)化率顯著不同于6%。24.（20分）某氣象站記錄過(guò)去50年冬季平均溫度，得x?=?2.1°C，s=1.4°C。假設(shè)溫度服從正態(tài)分布。（1）求溫度標(biāo)準(zhǔn)差σ的90%置信區(qū)間；（2）若認(rèn)為全球變暖導(dǎo)致溫度升高，檢驗(yàn)H?:μ=?2.5°CvsH?:μ>?2.5°C，α=0.05；（3）若真實(shí)μ=?1.8°C，求（2）中檢驗(yàn)的功效。答案：（1）χ2?.??(49)=33.93，χ2?.??(49)=66.34